Презентация "Прямая пропорциональность"

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность

Определение . Прямой пропорциональностью называется функция вида у = kx , где k ≠ 0 – число.

у = 2х; у = -8х; у = 0,57х.

Естественная область определения прямой пропорциональности - вся числовая прямая.

Прямая пропорциональность имеет единственный нуль – это точка х = 0 .

Переменная у называется прямо пропорциональной переменной х (слово «прямо» часто опускается),

а число k – коэффициентом прямой пропорциональности .

Прямая пропорциональность

Теорема . Если переменная у пропорциональна переменной х с коэффициентом k , то переменная х пропорциональна переменной у

с коэффициентом .

у = k х, к ≠ 0 . х = ∙ у, к ≠ 0

Переменная у

пропорциональна

переменной х

c коэффициентом k .

Переменная х

пропорциональна

переменной у

c коэффициентом .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность переменных х и у означает, что их отношение постоянно, т.е. зависимость между ними при х ≠ 0

выражена формулой , k ≠ 0 .

Пример

Являются ли переменные p и q пропорциональными?

Решение .

p 1 : q 1 = 12,8 : 3,2 = 4 ; p 3 : q 3 = 20 : 5 = 4 ;

p 2 : q 2 = 16,4 : 4,1 = 4 ; p 4 : q 4 = 26,6 : 7,6 = 3,5 .

Ответ : Переменные p и q не пропорциональны .

q

3,2

p

12,8

4,1

5

16,4

20

7,6

8,4

26,6

33,6

Прямая пропорциональность

Теорема . Пусть переменные х и у прямо пропорциональны. Тогда при х ≠ 0 для их соответствующих значений верно равенство

.

Пример . Переменные а и b прямо пропорциональны. Зная, что а 1 = 37 , а 2 = 11 , b 2 = 17 , найти b 1 .

Решение. Поскольку а и b прямо пропорциональны , то

и значит .

График функции у = kx (k ≠ 0)

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат .

у

у = 4х

Графиком

прямой пропорциональности

у = kx (k ≠ 0) может быть

любая прямая, проходящая

через начало координат,

кроме осей координат.

у = 3х

4

3

2

1

О 1 2 3 х

Нечетная функция

Определение . Если значения функции, соответствующие любым двум противоположным значениям аргумента (т.е. значениям х и –х ), противоположны друг другу, то такая функция называется нечетной .

• D( у) симметрична

относительно нуля, т.е.

если х D( у), то и (-х) D( у).

• у(-х) = - у(х).

График нечетной функции

симметричен относительно

начала координат О(0;0).

у

1

О 1 2 х

-2 -1

-1

у(-2) = - у(2) = -1.

Свойства функции у = kx (k ≠ 0)

Теорема (о свойствах функции у = kx , k ≠ 0 ).

• Областью определения функции у = kx (k ≠ 0) является множество R всех действительных чисел.
• Множеством значений функции у = kx (k ≠ 0 ) является множество R всех действительных чисел.
• Функция у = kx (k ≠ 0 ) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
• График у = kx (k ≠ 0 ) имеет единственную точку пересечения с осями координат (0;0) – начало координат.

0 , и убывающей, если k 0 . у k = - ½ k = ½ 0 у 1 1 О 1 2 х -2 -1 О 1 2 х -2 -1 -1 -1 Убывающая функция Возрастающая функция " width="640"

Свойства функции у = kx (k ≠ 0)

• Значение аргумента х = 0 является нулем функции у = kx (k ≠ 0) .
• Функция у = kx (k ≠ 0) является нечетной.
• Функция у = kx (k ≠ 0) является возрастающей на области определения, если k 0 , и убывающей, если k 0 .

у

k = - ½

k = ½ 0

у

1

1

О 1 2 х

-2 -1

О 1 2 х

-2 -1

-1

-1

Убывающая функция

Возрастающая функция

0) принимает отрицательные значения ( у ) при х (-∞; 0) и положительные значения ( у 0 ) при х (0; + ∞), т.е. ее график расположен в I и III координатных углах. Функция у = kx (k 0) принимает отрицательные значения ( у ) при х (0; + ∞) и положительные значения ( у 0 ) при х (-∞; 0), т.е. ее график расположен в II и IV координатных углах. k = ½ 0 k = - ½ у у I 1 1 II О 1 2 х -2 -1 -2 -1 -1 -1 III IV " width="640"