30.11 Решение неравенств методом интервалов
Равносильные преобразования неравенств.
Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства.
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства.
Основные правила решения неравенств.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный
Решаем неравенства :
1.
Все действия на слайде – последовательно щелчком мышки.
х
-4
Ответ:
4
4
13х - 1 2 . Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1 5х + 6х – 13х 3 – 1 -2х 2 (: (-2)) х -1 \\\\\\\\\\\\\\\\\ Ответ: (-∞; -1) x " width="640"
5х + 3(2х – 1) 13х - 1
2 .
Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1
5х + 6х – 13х 3 – 1
-2х 2 (: (-2))
х
-1
\\\\\\\\\\\\\\\\\
Ответ: (-∞; -1)
x
Решение квадратных неравенств методом интервалов.
- Разложить квадратный трехчлен на множители, воспользовавшись формулой ах 2 +вх+с=а(х-х 1 )(х-х 2 ).
- Отметить на числовой прямой корни квадратного трехчлена.
- Определить на каких промежутках трехчлен имеет положительный или отрицательный знак.
- Учитывая знак неравенства, включить нужные промежутки в ответ.
16 б) х 2 +5 0 х 2 -16 0 Ответ: верно при ( х-4)(х+4) 0 любом значении Х. в) х 2 + 5 Ответ: не имеет Ответ:(-∞;-4) U (4;+∞) решений. " width="640"
Решение неравенств
2 . Решить квадратное неравенство:
а) х 2 16 б) х 2 +5 0
х 2 -16 0 Ответ: верно при
( х-4)(х+4) 0 любом значении Х.
в) х 2 + 5
Ответ: не имеет
Ответ:(-∞;-4) U (4;+∞) решений.
Решение неравенств
Решить квадратное неравенство:
2 способ (метод интервалов): х 2 +6х+8
Рассмотрим функцию у = х 2 +6х+8
Нули функции х 2 +6х+8=0
х 1 =-4; х 2 =-2
( x+4)(x+2)
Ответ: -4
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
Решите неравенства методом интервалов:
Проверь своё решение
Вариант 2.
Вариант 1.
а)
а)
+
–
+
–
+
+
x
x
-4
-3
0,4
2,5
Ответ:
Ответ:
б)
б)
+
+
–
+
+
–
x
x
-3/2
-2/3
1/3
1/2
Ответ:
Ответ:
1
Решим неравенство
Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - х 0 корень многочлена кратности k .
1) Данный многочлен имеет корни:
x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1;
x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5.
2) Нанесем эти корни на числовую ось.
!
!
–
–
–
–
+
+
3) Определим знак многочлена на каждом интервале . Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:
4) Запишем ответ:
Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:
- Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом
- При четном k многочлен справа и слева от х 0 имеет один и тот же знак (знак многочлена не меняется)
- При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется)
- При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется)
Решите неравенство
1 вариант:
2 вариант:
Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.
Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов
1 . Привести данное неравенство к виду
2. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители;
3. Нанести на числовую ось числа, при которых каждый множитель равен нулю и разделить числовую ось на промежутки;
4.Изобразить выбитыми те точки, которые не являются решением неравенства;
5. Выяснить знаки промежутков;
6. Выбрать ответ.
Самостоятельная работа. Решить неравенства:
1 вариант 2 вариант
- а)5х+4
- б)х 2 + 3х-4≥ 0 б)х 2 -5х-36
- в)(х+5)(х-7) 0
- г)(х-1) 2 (2х-1)(х+2)≤ 0 г)(х-2) 2 (5х+4)(х-7)≥0
- д) д)
4 1. x≤-3 2. x≤-4; x≥1 2. -43. -54. -25. -3≤x≤-2; x5 5. x≤-8: -21. х 4 1. x≤-3 2. x≤-4; x≥1 2. -45 5. x≤-8: -2" width="640"
Проверь себя:
- 1 Вариант 2 Вариант
- 1 Вариант 2 Вариант
1. х 4 1. x≤-3
2. x≤-4; x≥1 2. -4
3. -5
4. -2
5. -3≤x≤-2; x5 5. x≤-8: -2
- 1. х 4 1. x≤-3 2. x≤-4; x≥1 2. -45 5. x≤-8: -2
Самостоятельная работа
Решите неравенства методом интервалов:
Вариант 2.
Вариант 1.
а) (2х-5)(х+3)≥0
б) 4х 2 +4х-3
в) (х-3)(х+1)
х
а) (5х-2)(х+4)
б) 9х 2 +3х-2≥0
в) (х+2)(х-4)
х
≤ 0
≤ 0
Проверь своё решение
Вариант 2.
Вариант 1.
а)
а)
+
–
+
–
+
+
x
x
-4
-3
0,4
2,5
Ответ:
Ответ:
б)
б)
+
+
–
+
+
–
x
x
-3/2
-2/3
1/3
1/2
Ответ:
Ответ:
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
в) (х-3)(х+1)
х
ОДЗ: х≠0
- + - +
-1 0 3
Ответ: (-∞;-1] U (0;3]
в) (х+2)(х-4)
х
ОДЗ: х≠0
- + - +
-2 0 4
Ответ: (-∞;-2]U(0;4]
≤ 0
≤ 0