Приемы устного счета

Способы быстрого сложения и вычитания

Промежуточное приведение к "круглым" числам

157 + 196 =157 + (196 + 4) – 4 = 157 + 200 – 4 = 357 – 4 = 353.

Так же при вычитании: 635 – 197 = 635 – 200 + 3 = 438.

Использование изменения порядка счета

5827 +3458 +2451  =

Складываем старший разряд слагаемых:5+3+2=10; приписываем к полученной сумме "0": 10 = 100; продолжаем прибавлять цифры следующего разряда: 100 + 8 + 4 + 4 = 116; опять приписываем 0 и прибавляем цифры третьего разряда: 1160 + 2 + 5 + = 1172; приписываем последний раз 0 и завершаем вычисления:

11720 + 7 + 8 + 1 = 11736.

«Метод решения хорош, если с самого

начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».

Приемы устного счета

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому некоторые приемы быстрого сложения и вычитания помогут сделать сам процесс выполнения действия не только важным, но и интересным занятием.

Способ "средних" чисел, или сумма арифметической прогрессии

Если число ее членов нечетно, то вычисление можно упростить следующим способом: выполнив произведение среднего числа на общее количество чисел: 310 + 340 + 370 + 400 + 430 + 460 + 490 =400 * 7 = 2800 31 + 33 + 35 = 33 * 3 = 99.

Если количество членов четно, то находим сумму первого и последнего членов и умножаем ее на полусумму количества членов: 310 + 340 + 370 + 400 + 430 + 460 = (310 + 460) * 6/2 = 770 * 3 = 2310

Переход от вычитания к сложению
Обычно человеку гораздо легче складывать, нежели вычитать. Этим часто можно пользоваться, при этом из уменьшаемого вычитается круглое число, а затем прибавляется поправка:
3117 - 53 = 3117 - 100 + 47 = 3017 + 47 = 3064

Умножение на 125

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8.

32 125 = 32 : 8 1000 = 4000.

Умножение на 11

1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число.

24111 = 2410 + 241 = 2651

2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Умножение двузначного числа на 101 и на 10101

Самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.

1) 57 101 = 5757.

2) 89 10101 = 898989.

Умножение на 7

При умножении числа на семь, 7 представляется в виде суммы 5+2.

97*7 = 97* (5 + 2) = 97*5 + 97*2 = 97*10:2 + 97*2 = 485 + 194 = 679

Способы быстрого умножения и деления

Умножение на 4, 8, 16 и т.д.

Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают.

213 8 = (213 2) 4= (4262) 2 = 852 2= 1704.

Умножение на 5

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2

138 5 = (138 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.

Умножение на 50

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2 .

87 50 =(87100) : 2 = 4350.

Умножение на 15

Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.

Умножение на 25

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4.

34825 = 34800 : 4 = 8700.

Использование изменения порядка счета
При сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старших разрядов. Тогда в ходе вычисления приходится помнить все более длинное число, но зато мы прибавляем к нему каждый раз только число одно-двузначное. Это существенно облегчает устное вычисление.

Сложим три трёхзначных числа: 173 + 270 + 656 = ((1 + 2 + 6) * 10 + 7 + 7 + 5) * 10 = 3 + 0 + 6 = (90 + 19) * 10 + 9 = 1099.

Способ "корневых" чисел
Если все слагаемые интуитивно близки к определённому "среднему" числу, то часто полезно сложить эти корневые числа и затем учесть поправки. Посчитаем число дней в нечётных месяцах года:

31 + 31 + 31 + 31 + 30 + 30 = (30 + 1) * 4 + 30 * 2 = 30 * 6 + 4 = 184

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности

1)8 318 = 8 (300 + 0+8)= 2400 + 80 + 64 =2544;

2) 7 196 = 7 (200 - 4) = 1400 – 28 = 1372.

Умножение на 9, 99 и 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

1) 286 9 = 2860 – 286 = 2574;

2) 23 99 = 2300 – 23 = 2277;

3) 18 999 = 18000 – 18 = 17982.

Умножение на 6

1 способ: последовательное умножение – сперва умножить на 3, затем умножить на

248*6 = 48*3*2 = 144*2 = 288

2 способ: – представление числа 6 в виде суммы 5+1 и использование распределительного закона умножения:

48*6 = 48*(5+1) = 48*5 + 48*1 = (48*10:2) + 48 = 240 + 48 = 288

Умножение чисел от 10 до 20

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

16 * 18 = (16 + 8) *10 + 6*8 = 288

Умножение чисел на 22, 33, 44, ….99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4*11; 55 = 5*11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

18 * 44 = 18 * 4 * 11 = 72 * 11 = 7(7+2)2 = 792

Умножение на 75,750 и т. д

Чтобы число умножить на 75,750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

Крестьянский способ умножения

Пример: умножим 47 на 35,

1. запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

2.левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

3.деление заканчивается, когда слева появится единица;

4.вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат

Метод решетки

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

Умножение на 37

При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111.

27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

Умножение "крестом"

В этом способе работа на каждом этапе осуществляется с цифрами, приводящими к результату одного порядка 23*48 преобразуем как 24*102 + (2*8 + 3*4)*101 + 3*8*100= 800 + 280 + 24 = 1104 Вычисляем сначала произведение нулевого порядка (3*8 = 24); затем произведение первого порядка ((2*8 + 3*4)*101 = 280) и складываем его, с учетом порядка, с предыдущим (280 + 24= 304); затем дополняем текущую сумму произведением 2-го

Порядка

(2*4*102 = 800)

и получаем

окончательный итог:

800 + 304 = 1104.

Умножение чисел, близких к 100

 При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)

98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999.

Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154=1540-154=1386.

Но еще проще ознакомить детей с правилом — «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):

154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386

Умножение одинаковых чисел заканчивающихся на 5

Такие число как 15*15, 25*25, 35*35 и т.д., легко умножить следующим образом: Все знают, что 5*5 = 25 , далее к первому числу +1 и умножаем его на первое число второго множителя. 35 * 35 = (3+1) * 3 || (5*5) = 1225

Умножение «крестиком»

Пример: 24 х 32 = 768

Последовательно производим

следующие действия:

1. 4 х 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе,

единицу запоминаем.

3. 2 х 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе. Ответ – 768.

Число 100 в качестве опорного

96+7=97+6= 103,

1. 103-10=93. 2. 93×100=9300.

3. 4×3=12 4. 9300+12=9312.

Число 10 в качестве опорного

13 ×14 = ( складываем накрест.)

1. 13+4, и 14+3 равно 17

2. Пишем 17 после знака равенства

3. Умножаем 17 на 10. Получаем 170. 17×10=170. -это промежуточный результат, записываем его после знака равенства

Перемножаем в кружках 3×4=12.

Прибавляем 170 к 12, получаем 182

Вычисления по формуле (а+b) (а-b) = а² — b²

умножение 52*48

Представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)

и применяем

приведенную в формулу.

Деление на 5; 50 и 500

Чтобы число разделить на 5; 50 или 500, надо это число разделить  на 10; 100  или 1000 соответственно, и затем результат умножить на  2. 

1) 21600 : 50 = 21600 : 100 2 = 432.  

2) 42400 : 5 = 42400 : 10 2 = 8480

Деление на 25

Чтобы число разделить на  25, надо это число разделить на 100 и умножить на  4 .

12100 : 25 =  12100 : 100 4 = 484

Деление на 125

Чтобы число разделить на 125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000

9000 : 125 = 9000 : 1000 8 = 72.

значит 1836 делится на 4.

Деление на 250, 2500 и т.д.

Чтобы выполнить деление числа на 250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4

312000:250 = 312000:1000*4 = 1248.

Деление на 4

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

Например:124:4 = (124:2):2 = 62:2 = 31.

Признаки делимости на 4:- число делится на 4, если на 4 делится число, состоящее из последних двух цифр числа.

Например: 1836, число 36:4 = 4, значит 1836 делится на 4

Деление на 1250,12500

Чтобы разделить число на 1250 и т.д., надо это число разделить на 10000 и т. д. и умножить на 8.

70000: 1250 = 70000:10000*8 = 56.

Деление на 75,750 и т. д

Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 4

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

Деление на 15

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 75

Возвести в квадрат оканчивающиеся на 75 числа удобно по формуле:
 ( А75 )² = [(А || 5) * (А + 1)] || 625

Примеры:
175² = (15 * (1 + 1)) || 625 = 30625;
375² = (35 * (3 + 1)) || 625 = 140625;
1175² = (115 * (11 + 1)) || 625 = 1380625

Возведение в квадрат числа, близкого к круглому

Нужно применить формулы квадрата суммы или разности.

Примеры:
19² = (20-1)² = 400–40+1=361

42² = (40+2)² = 1600+160+4 = 1764

Возведение в квадрат чисел вида (50 + z)

Возводим по формуле:
(50 + z)² = (25 + z) * 100 + z²

Примеры:
57² = (25 + 7)*100 + 7² = 3200 + 49 = 3249;
48² = (25 - 2)*100 + 4 = 2304;
38² = (25 - 12)*100 + 12² = 1300 + 144 = 1444 и т.п.

Возведение в квадрат любого двузначного числа

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

37²=12*100+13²=1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) ²=100M-2500+2500–100M+M²=M²

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25, выполняется по формуле: (А25)² = (А*А + А:2)*10*1000 + 625

Примеры:
225² = (2*2 + 2:2)*10*1000 + 625 = 50625;
1325² = [(13² + 13:2)*10] | | 625 = 1755625.

Способы быстрого возведения чисел в квадрат

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5

(например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1=7), и к его полученному числу приписывают 25 (6 7 = 42. Ответ: 4225).

95²=9025; 125²=15625

9 ●10 12●13

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Примеры:

56² = (25+6), приписать 6² =36,

56² = 3136

58² = (25+8), приписать 8² = 64,

58² = 3364

53²= (25+3), приписать 3² = 09,

53² = 2809