Презентация для 9 класса "Некоторые способы решения уравнений высших степеней"

Некоторые приемы решения уравнений высших степеней

Выполнила:

учитель математики

Астапкович М. К.

САРАТОВ

2014

Возвратно – симметричные уравнения

Симметричным называется целое рациональное уравнение вида

а 0 x n + а 1 x n – 1 + … +a 1 x + a 0 = 0.

Симметричные уравнения – частный случай возвратных уравнений, которые имеют вид, где а ≠ 0, при k = 0,1,…,n.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин «возвратные уравнения» был введён Л. Эйлером.

Возвратно – симметричные уравнения 3- ей степени

В общем виде возвратно - симметричное уравнение 3-ей степени имеет вид : ax 3 + bx 2 +bx + a=0

Сгруппируем первый и последний, второй и третий члены, вынесем общие множители, тем самым, разложив левую часть уравнения на множители: ax 3 +bx 2 +bx+a=a(x 3 +3)+bx(x+1)=a(x+1)(x 2+ x+1)+bx(x+1)=(x+1)(ax 2 -ax+a+bx)=(x+1)(ax 2 +(b-a)x+a)

Тогда уравнение примет вид (x+1)(ax 2 +(b-a)x+a)=0 полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений ,х+1=0 и ax 2 +(b-a)x+a =0, решая первое получаем один из корней уравнения х=-1 , другие корни, если они есть, находят, решая второе уравнение. Заметим, что (-1) является корнем возвратно - симметричного уравнения любой нечётной степени.

• Пример 1. Решите уравнение:

Х 3 -7х 2 -7х+3=0.

Решение:

Имеем возвратно - симметричное уравнение третьей степени. Сгруппируем первый и четвёртый, второй и третий члены, вынесем общий множитель за скобки, получим:

3(х 3 +1)-7х(х+1)=0

Полученное уравнение сводится к решению совокупности двух уравнений: х+1=0 или

3х 2 -10х+3=0

Решая первое, получим корень , решая второе: .

Ответ: - 1; ; 3.

Рассмотрим симметричное уравнение четвёртой степени вида

ах 4 ±bx 3 +cx 2 +bx+a=0

где a, b и c — некоторые числа, причём a  0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

- разделить левую и правую части уравнения на x 2 . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a  0;

-группировкой привести полученное уравнение к виду

a (х 2 + ) + b (х± ) + c = 0 ;

-ввести новую переменную t = х± , тогда выполнено

t 2 = х 2 ±2 + то есть х 2 + = t 2 ± 2;

-в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at 2 + bt + c ± 2a = 0 ;

-решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной, решив два уравнения х+ =t 1

и х+ =t 2

Возвратно – симметричными уравнениями четвёртой степени назовём уравнения вида: ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+c=0 , в котором выполняется зависимость между коэффициентами .

Уравнение вида ax 4 ±bx 3 +cx 2 +bkx+ak 2 =0

при будем называть обобщённо возвратным. Такое уравнение также несложно решать, если разделить все члены уравнения на x 2 и затем ввести замену t=x±

Искусственные (нестандартные) приёмы, используемые для решения уравнений

Иногда при решении уравнений используются искусственные приёмы: умножение уравнения на функцию, представление одного из слагаемых в виде некоторой суммы или, в частности, прибавление или вычитание одного и того же выражения, с целью последующей группировки слагаемых, угадывание корня уравнения.

Пример. Решите уравнение: Х 8 -х 6 +х 4 -х 2 +1=0

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе части уравнения на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Умножим обе части уравнения на многочлен х 2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение: X 10 +1=0

Ясно, что это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

В курсе алгебры уравнения занимают ведущее место, решая их можно получить ответы на вопросы, связанные с наукой и техникой. В работе были рассмотрены несколько способов решения уравнений.

При решении приведённых выше уравнений ученики расширяют свой математический кругозор, при этом происходит развитие логического мышления, умения анализировать, сравнивать. Кроме того, решение уравнений различными способами – это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремлённость, усидчивость, сила воли.