Презентация к уроку "Метод Мажорант"

В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту, нужно провести исследование функции , применяя различные методы . При этом можно использовать свойства неравенств, некоторые известные равенства и неравенства, определение возрастающей и убывающей

функций и т. д.

0 и B0) " width="640"

Метод мажорант.

Теорема1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу. Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений

Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = A+B равносильно системе уравнений

Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)·g(x)= А·B равносильно системе уравнений (при условии, что A0 и B0)

Примеры решения задач методом мажорант. 1.Найдите мажоранту и область значения функции (Рассмотрим два способа.)

2

+

f(x)=

1

x

3

1. Графический .

Очевидно, E (f) =[3;+∞], М=0

2. Аналитический.

Оценим выражение

0 ≤ x²

1≤ x²+1

3≤

E (f) =[3;+∞], М=0

Очевидно, что графический

способ не всегда удобен, так

как может потребоваться

строить графики очень

сложных функций! Поэтому

мы будем учиться решать

такие задания аналитически!

2

+

1

x

3

2

+

1

x

M

3

2

+

x

1

f(x)=

3

Найдите область значения функции.

Пример.

Решение.

0 ≤ 3sin ² x ≤ 3

1 ≤ 1 + 3sin ² x ≤ 4

0 ≤ log (1+3sin x) ≤ 2

0,25 ≤ 0,5 ≤ 1

E(f) = [ 0,25; 1 ]

Задания для самостоятельной работы.

2

log (1+3sin x)

1

2

0,5

f(x)=

x

1-2

1) f(x) =

4

7

2) f(x) =

log

17+ 16+ lg x

3

2

1

8

( ( 3sinx-cosx+2))

arctg

3) f(x) =

2

4

π

2

log (1+3sin x)

2

2.Решите уравнения.

Пример.

Задания для самостоятельной работы.

 

-x

x

3 + 3 = log (4 -|x|)

2

1) 2 sinxcosx = sin46º

Решение.

1

а) Так как

≥ 2 , то

a +

2) с os ² (sinx)=1+ log (x ²- 6x+10)

1

a

x

1

10

≥ 2.

+

x

3

1-x

x+1

3) 2 + 2 = - 4x ² - x ²

3

б) 4-|x|≤ 4

Ю

log (4-|x|) ≤ 2.

2

1

1

+

=

4)

1,4

Из а), б) получим

x ² - 4x +29

x ² - 4x +5

-x

м

x

п

п

x = 0

3 + 3 = 2



н

п

log (4-|x|) = 2

п

2

о

1 6 4) cos3x ≤ x +1 3 3 " width="640"

3. Решите неравенства.

Задания для самостоятельной работы.

Пример.

Решение.

Правая часть неравенства

не больше 1, левая –

больше 1, значит, корней

нет.

π

cosx - z ³ ≥ y ² +

y

3

1) 2 - 2cosx + y - x ² -1 ≤0

x ² -2x+2

а) 1 ≤ cosx ≤ 1

2) 2x + 2- x ² ≥ 3

+

2

- ∞ - z ³ ≤ 0

3) x ² + 4x + 6≤

y ² - 6y +10

- ∞ - z ³ ≤ 1

π

π

б) y ² + ≥ 1

6

4) cos3x ≤ x +1

3

3

4.Различные задания

Пример.

Найти наибольшее целое

значение c, при котором

решение неравенства

||2x+4|-7|-13 ≤ 2c ²

удовлетворяет условию

x є [-37;35].

Решение.

-37 ≤ x ≤ 35

-70 ≤ 2x+4 ≤ 74

0 ≤│2x+4│≤ 74

0 ≤ ││2x+4│-7│≤ 67

-13 ≤ ││2x+4│-7│-13 ≤ 54

Для выполнения неравенства,

надо, чтобы -13≤2с²≤54.

То есть наибольшее целое

с=5.

Задания для самостоятельной работы.

1) Найти сумму целых значений

функции

2) Из множества значений функции

удалили целые числа. Сколько

получилось числовых

промежутков?

2

f(x)=3 36cos x -12sinx + 27

sin2x + cos2x

f(x)= 3+ 4arcsin

2

Пример задания группы С (С 3, ЕГЭ 2011).

-|x- 3|

7 · log (6x-x ² -7) ≥ 1

Решите неравенство

Решение.

Так как, левая часть неравенства не больше1, а правая -

равна 1, то

2

-|x-3|

a) 0 7 ≤ 1

б) log (6x-x ² -7)= log (2-(x-3) ² ) ≤ log 2 =1

2

2

2

м

log (6x-x ² -7) =1

п

2

п

н



x = 3

-|x- 3|

п

п

7 = 1

о

0 x п п н п log (x ² -12 |x|+37 ) - log (x ² -12|x|+37 ) ≥ 0 п x ² x ² о 1- 1+ 37 37 " width="640"

Решите самостоятельно задание C3.

1. (2011 г.) cos ²(x+1) · lg(9-2x-x ²) ≥1.

2. ( ЕГЭ 2012. Типовые тестовые задания.

Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко)

м

x

x

25 + 3 · 10 -4 · 4 0

x

п

п

н

п

log (x ² -12 |x|+37 ) - log (x ² -12|x|+37 ) ≥ 0

п

x ²

x ²

о

1-

1+

37

37