Презентация к уроку по теме: "Движения"

Содержание

• Отображение плоскости на себя
• Движение и его виды
• Свойства движений
• Центральная симметрия
• Осевая симметрия
• Параллельный перенос
• Поворот
• Наложение
• Заключение
• Проверь себя

Отображение плоскости на себя

• Отображение плоскости на себя – это такое преобразование, при котором каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной другой точке.
• Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F1, то фигура F1 является образом фигуры F, а фигура F – прообразом фигуры F1.
• Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F1,а затем фигура F1 переводится в фигуру F2, то отображение, переводящее F в F2 называется композицией двух отображений.

Движение и его виды

• Существует множество типов отображения плоскости на себя, одним из которых является движение.
• Движение - это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками.
• Виды движений:

1. Центральная симметрия.

2. Осевая симметрия.

3. Параллельный перенос.

4. Поворот.

Свойства движений

• Точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
• При движении отрезок переходит в равный ему отрезок, угол – в равный ему угол, луч – в луч, прямая – в прямую.
• При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.
• При движении параллельные прямые переходят в параллельные прямые, перпендикулярные прямые – в перпендикулярные прямые.
• При движении сохраняются площади фигур.
• Движение сохраняет векторные операции.
• Движение обратимо. Отображение, обратное движению, является движением.
• Композиция двух движений является движением.

Центральная симметрия

• Центральная симметрия с центром в точке О – это отображение плоскости, при котором любой точке М сопоставляется такая точка М 1 , что точка О является серединой отрезка ММ 1 .
• М и М 1 симметричные относительно О точки.

Центральная симметрия

• Характерное свойство центральной симметрии: центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные.
• То есть если при центральной симметрии относительно точки О точкам М и N соответствуют точки М 1 и N 1, то МN = - М 1 N 1.

Осевая симметрия

• Точки М и М 1 являются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если а является серединным перпендикуляром отрезка ММ 1 . Прямая а называется осью симметрии.
• Каждой точке М соответствует

единственная точка М 1 ,

симметричная М относительно а.

Каждая точка, лежащая на

прямой а, симметрична сама себе.

Осевая симметрия

• Осевой симметрией называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно данной прямой.
• Осевая симметрия сохраняет

расстояния между точками,

следовательно она является движением.

Параллельный перенос

• Параллельный перенос – это движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.
• Параллельный перенос на а

произвольным точкам

плоскости М и N ставит

в соответствие точки М 1 и N 1 ,

так что ММ 1 = NN 1 = а.

Параллельный перенос

• Параллельный перенос – это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса.
• Характерное свойство

параллельного переноса:

при параллельном

переносе сохраняются

направления.

Поворот

• Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1 , что ОМ =

= ОМ 1 , угол МОМ 1 равен α, луч

ОМ 1 откладывается от луча ОМ

в заданном направлении. Точка

О называется центром поворота,

а угол α – углом поворота.

Поворот

• Центральная и осевая симметрии являются частным случаем поворота, а именно поворота плоскости в пространстве на 180 ̊ вокруг оси симметрии а или центра симметрии Р.

Наложение

• Движения связаны с понятием равенства фигур, которое в курсе геометрии определяется с помощью наложений.
• Фигура F равна фигуре F1, если их можно совместить наложением.
• Наложение фигуры F на фигуру F1 – это отображение фигуры F на фигуру F1, при этом не только точки фигуры F, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, то есть наложение – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. Значит, наложение является движением.

Заключение

• Создание математической теории движений и осознание их важной роли в геометрии связано с именем немецкого математика 19–20 века Ф.Клейна, который при вступлении на должность профессора по кафедре геометрии в университете города Эрлангена прочитал лекцию о роли движений в геометрии.
• Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, способствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

Проверь себя

1. В какую фигуру переходит при движении квадрат? Ответ объяснить.

2. На каком рисунке

точки Т и Т 1

симметричны

относительно точки У?

3. На каком рисунке

точки Х и Х 1

симметричны

относительно

прямой Z?

Проверь себя

4. Найти координаты точки, симметричной

точке А (-3;4) относительно: 1) оси х;

2) оси у; 3) начала координат.

5. Построить фигуру, в которую перейдёт

отрезок АВ при повороте около точки О на

угол 60 ̊ по часовой стрелке.

6. Даны точки А, В, С. Построить точку С 1 , в которую перейдёт точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в точку В.