Презентация по геометрии в ходе подготовки к ГИА

Устная работа

Д/з

Решение задач

Проверка д/з

Повторение геометрии при подготовке к итоговой аттестации

ТЕМА УРОКА:

• обобщить и систематизировать полученные и приобретенные знания, умения, навыки;
• активация элементов ранее изученного материала;
• повторить свойства фигур, рассмотреть различные способы расположения геометрических фигур на плоскости;
• при решении стандартных задач рассматривать возможность другой конфигурации фигур.

ЦЕЛИ УРОКА:

Веприкова Римма Хабибулаевна (учитель математики)

Зайцева Вера Васильевна (учитель информатики)

МОУ – Гимназия № 2 г. Клин Московской области

АВТОРЫ:

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Решение задач

Задача 1

Задача 3

Задача 2

C

B

Дано:  CBD=35  ; BF=2см; AD=3см; AF=FC;  CAD=  ACB.

Найти:  ADF; FD ; BC .

F

2

3

D

A

Решение

1

2

Устная работа

Д/з

Проверка д/з

Решение задач

Задача 2

Задача 3

Задача 1

C

B

Дано:  CBD=35  ; BF=2см; AD=3см; AF=FC;  CAD=  ACB.

Найти:  ADF; FD ; BC .

F

2

3

A

D

Решение

1). Так как  CAD=  ACB – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых BC||AD.

2). Рассмотрим  AFD=  BFC по стороне и двум прилежащим углам (1.AF=FC; 2.  CAD=  ACB; 3.  AFD =  BFC).

• ВF=FD;  FBC=  ADF; BC=AD

• BC=AD=3 (см); ВF=FD=2 (см);  ADF=35  .

Ответ: 35  ; 3 см; 2 см.

2

1

Устная работа

Решение задач

Д/з

Проверка д/з

Задача 3

Задача 1

Задача 2

B

Дано:

AB=BC; CF=FD.

Доказать, что AB||DF.

C

D

A

Доказательство

F

1

2

Устная работа

Решение задач

Д/з

Проверка д/з

Задача 3

Задача 1

Задача 2

B

Дано:

AB=BC; CF=FD.

Доказать, что AB || DF.

C

D

A

Доказательство

1).  ABC – равнобедренный (по определению), так как AB=BC   BAC=  ACB по свойству равнобедренного треугольника.

F

2).  CDF – равнобедренный по определению, так как CF=FD   DCF=  CDF (по свойству).

3)  ACB=  DCF – вертикальные   BAC=  CDF – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых  AB||FD, что и требовалось доказать.

2

1

Устная работа

Решение задач

Д/з

Проверка д/з

Задача 1

Задача 3

Задача 2

B

C

Дано: (O;R) – окружность

т.A,B,C,D  (O;R)

AC ∩ BD= т.F

Записать: пропорциональные отрезки.

F

A

O

D

Решение

1

2

Устная работа

Решение задач

Д/з

Проверка д/з

Задача 3

Задача 2

Задача 1

C

B

Дано: (O;R) – окружность

т.A,B,C,D  (O;R)

AC ∩ BD= т.F

Записать: пропорциональные отрезки.

F

A

O

D

Решение

1).  ABD=  ACD – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу  AD.

2).  BAC=  CDB – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу  BC.

3).  AFB=  CFD – вертикальные  стороны AF и DF; BF и CF; AB и CD – сходственные стороны   ABF   CDF 

2

1

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Устная работа

Задача 2

Задача 1

A

Проверка д/з

Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках M и N. Найти длину отрезка MN, если расстояние от точки A до центра окружности равно a .

Решение

N

M

B

O

1

2

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Устная работа

Задача 1

Задача 2

Задача 2

Задача 1

A

Проверка д/з

Решение

OM и ON – радиусы окружности; по свойству радиуса, проведенного в точку касания, OM  MA; ON  NA.

∆ AMO= ∆ ANO – прямоугольные (по катету и гипотенузе: OM=ON=r; OA – общая)   OAM=  OAN.

AM=AN  ∆ AMN – равнобедренный (по определению)  AOM=  AON.

По свойству равнобедренного треугольника: AB – биссектриса, медиана и высота MB=BN; AB  MN.

M

N

B

O

S (∆AMO) =½MBˑAO или S (∆AMO) =½MOˑAM

Из ∆ AMO: по теореме Пифагора:

и Ответ:

Слайд 5

2

1

Проверка д/з

Устная работа

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

C

Проверка д/з

В параллелограмме ABCD (AB||CD) диагонали AC=c; BD=3с/2. Найти площадь параллелограмма, если  CAB=2  ABD.

O

Решение

A

D

1

2

Проверка д/з

Д/з

Устная работа

Решение задач

Задача 1

Задача 2

Задача 2

B

C

Проверка д/з

Решение

Точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Для вычисления площади применим формулу S (ABCD) =½ACˑBDˑsin  AOB;

O

S (ABCD) =¾c 2 ˑsin  AOB

Пусть  DBA=  , тогда  CAB=2  ,  AOB=π – 3  .

3 

A

D

По теореме синусов из ∆ AOB:

Тогда, используя формулу sin3  , получаем

sin  AOB=sin3  =3sin  –4sin3  =

Ответ:

2

1

Решение задач

Д/з

Устная работа

Проверка д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b . Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b .

a

Решение

Искомую сторону ∆ ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

1

3

4

5

2

6

8

T

Решение задач

Проверка д/з

Д/з

Устная работа

Задача 2

Задача 1

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b . Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b .

a

c

Решение

Искомую сторону ∆ ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

 B=  , тогда  C=2  . Проведем CD – биссектрису  C.

2

3

4

5

6

8

T

1

Решение задач

Д/з

Устная работа

Проверка д/з

Задача 2

Задача 1

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b . Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b .



c

a

D

Решение

2 





Искомую сторону ∆ ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

 B=  , тогда  C=2  . Проведем CD – биссектрису  C.

3

4

5

2

6

1

8

T

Решение задач

Д/з

Проверка д/з

Устная работа

Задача 2

Задача 1

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b . Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b .



c

a

D

Решение

2 





Искомую сторону ∆ ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

 B=  , тогда  C=2  . Проведем CD – биссектрису  C.

Рассмотрим ∆ CBD – равнобедренный, так как  BCD=  B=  (углы при основании ∆ ABD)  BD=CD.

Пусть BD = x, тогда AD= c – x, C D= x.

4

3

5

2

6

1

8

T

x

x

Решение задач

Проверка д/з

Д/з

Устная работа

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b . Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b .



c

a

D

Решение

2 





Искомую сторону ∆ ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

 B=  , тогда  C=2  . Проведем CD – биссектрису  C.

Рассмотрим ∆ CBD – равнобедренный, так как  BCD=  B=  (углы при основании ∆ ABD)  BD=CD.

Пусть BD – x, тогда AD= c – x, C D= x.

5

3

4

2

6

1

8

T

x

x

Решение задач

Проверка д/з

Д/з

Устная работа

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b . Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b .



c

a

D

Решение

2 





Искомую сторону ∆ ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

 B=  , тогда  C=2  . Проведем CD – биссектрису  C.

Рассмотрим ∆ CBD – равнобедренный, так как  BCD=  B=  (углы при основании ∆ ABD)  BD=CD.

Пусть BD – x, тогда AD= c – x, C D= x.

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника

6

3

4

5

2

1

8

T

Решение задач

Проверка д/з

Д/з

Устная работа

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Теорема о биссектрисе

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

D

Доказательство

Пусть AD – биссектриса  ABC.

Так как площади треугольников, имеющих общую вершину A, относятся как длины их оснований, то

C

A

с другой стороны, эти площади относятся как

длины сторон:

Из (1) и(2) следует, что Теорема доказана .

T

3

4

5

2

6

1

8

x

x

Решение задач

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника:



c

a

С другой стороны,  ACD=  , a  ADC=2  (как внешний угол  CBD). Тогда три угла ∆ ACD равны трем углам ∆ ABC, следовательно, ∆ ACD ̴ ∆ ABC.

D

2 

2 

Из подобия треугольников найдем





b

A

C

Приравнивая правые части (1) и (2) равенства, получим

Ответ:

8

3

4

5

2

6

1

T

Решение задач

Проверка д/з

Д/з

Устная работа

Задача 2

Задача 1

B

Проверка д/з

Точка N лежит на стороне AC правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, если AN:AC=n

C

N

A

Решение

Обозначим сторону треугольника ABC через а , тогда AN=n a .

Сторону BN найдем по теореме косинусов:

R1 – радиус окружности, описанной около  ABN.

R2 – радиус окружности, описанной около  ABC.

Применим формулу

1

2

3

Решение задач

Проверка д/з

Д/з

Устная работа

Задача 2

Задача 1

Проверка д/з

Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из середин сторон этого треугольника.

Радиус R окружности, описанной около треугольника, по его сторонам и полупериметру вычисляется по формуле:

Также радиус R окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен по формулам:

где S – площадь треугольника ,

h c – высота, проведенная из вершины С.

2

1

3

Решение задач

Д/з

Устная работа

Проверка д/з

Задача 2

Задача 1

B

Проверка д/з

Применяя формулу

получим, что

N

C

A

Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. А так как  ABN и  ABC имеют общую высоту, проведенную из вершины B, то их площади относятся как длины оснований:

Подставляя выражения для площадей, получим:

Ответ:

3

2

1

Д/з

Устная работа

Решение задач

Проверка д/з

Задача 2

Задача 1

Проверка д/з

B

C

Трапеция ABCD вписана в окружность. Найти среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус  BAC равен 1/3, синус  ABD равен 5/9.



M

N



D

15

A

Решение

1

2

Д/з

Решение задач

Устная работа

Проверка д/з

Задача 1

Задача 2

Проверка д/з

B

C

Решение



M

N

Средняя линия трапеции равна

Для нахождения средней линии надо найти длину основания BC.



15

D

A

Используя свойства вписанных и центральных углов окружности, а также радиус описанной окружности R, выразим:

Длина

Ответ: 12

2

1

Д/з

Устная работа

Решение задач

Проверка д/з

Задача 2

Задача 2

Задача 1

Проверка д/з

C

D

В трапеции ABCD (AB||CD) диагонали AC= a и BD=7/5 a . Найти площадь трапеции, если  CAB=2  DBA.

О

B

A

Решение

1

2

Д/з

Устная работа

Решение задач

Проверка д/з

Задача 2

Задача 2

Задача 1

Проверка д/з

C

D

Решение

Пусть  DBA=  , тогда  CAB=2  .

О

Через вершину C проведем CE||DB до пересечения ее с продолжением основания AB в точке E.

2 



A

E

B

BE=CD; CE=BD;  CEA=  DBA=  – соответственные при DB||CE и AE секущая.

h – высота  ACE и трапеции ABCD.

Для  ACE применим теорему синусов:

Ответ:

2

1

Проверка д/з

Устная работа

Д/з

Решение задач

Спасибо за внимание