Электронный образовательный ресурс: "Понятие арккосинуса. Решение уравнения cosx=a."

Козлова Н.Б.,

учитель математики,

МБОУ «СОШ № 14»,

г. Череповец, Вологодской обл.

Решение уравнения cosx=a

Решить уравнение:

cos t = ?

Рассмотрим решение одного и того же уравнения несколькими способами: «на окружности», «графически» и «аналитически».

2) Графически

1) На окружности

3) Аналитически

На окружности

у

0

х

Чтобы решить уравнение на окружности, мы построим единичную окружность(центр в начале координат и R=1) и прямую х=1/3( по определению косинуса на числовой окружности); и найдём(если они есть) общие точки этих линий (точки пересечения). Но записать их конкретными значениями мы не можем…

Ответ:

Назад

Х =

у=cosх

Графический способ

у =

1

0

-1

Чтобы решить уравнение «графически», мы построим в одной системе координат графики функций: у=cosx и у=1/3; и найдём(если они есть) общие точки этих графиков(точки пересечения). Обозначим точки пересечения графиков, с учётом: чётности косинуса, непрерывности и периодичности. Но записать их конкретными значениями мы не можем…

Ответ:

Назад

4

Определить число t

Составить формулы для решения уравнения

Определить свойства числа t

Аналитический способ

При м еры

При м еры

При м еры

Мы видим, что решение уравнения cosx=1/3 «графически» и «на окружности» – трудоёмкие способы решения! Нет ли формулы, правила для решения подобных уравнений? Для решения аналитическим способом нам необходимо определить число t, его свойства и наконец составить формулы для решения уравнения cosx=a.

4

Если -1  a  1, то

Определение.

arccos a = t

Определим ТО САМОЕ число t!

4

Пример 1

arccos

Вычислить:

t=

Прежде, чем воспользоваться определением арккосинуса, для решения поставленной задачи, необходимо убедиться, что число а=1/2 принадлежит [-1;1]. В противном случае – арккосинус вычислить нельзя.

Ответ: arccos =

4

Свойства арккосинуса:

cos(аrccosа) = а

-1 ≤ а ≤ 1

аrccos(cost) = t

0 ≤ t ≤

аrccos(-а) =  - аrccosа

-1 ≤ а ≤ 1

Первые два свойства прямо вытекают из определения, а вот справедливость третьего стоит доказать. Для этого повторим некоторые свойства точек, лежащих на числовой окружности.

4

№ 1. Найдите на числовой окружности точку К(-t)

если известно положение точки М(t)

М(t)

•

•

Повторим свойства точек, лежащих на числовой окружности.

Дуги АМ=АК. Почему?

Сравните

дуги АМ и КА.

К

4

№ 2. Найдите на числовой окружности точку Е(  +t)

если известно положение точки М(t)

М(t)

•



•

Дуги АМ=СЕ . Почему?

Сравните

дуги АМ и СЕ.

Е

4

№ 3. Найдите на числовой окружности точку Р(  -t)

если известно положение точки М(t)

М(t)

Р

•



•

Сравните

дуги АМ и РС.

Дуги АМ=РС . Почему?

4

͜ АМ = аrccosа

͜ АР = arccos(-а)

͜ АМ=͜ СР

͜ АР = АС - СР  - АМ =  - аrccosа

аrccos(-а)=  - аrccosа

(arccos(-а))

Р

(arccosа)

М

•

•

Рассмотрим дугу числовой окружности [0;  ]. Найдём точки М( arccosa ) и P( arccos(-a)). Дуга АМ обозначает arccos a , а дуга АР соответствует arccos(-a). Дуги АМ и РС равны.( Почему?)

С другой стороны точку Р можно получить и с помощью преобразования дуг АС-СР.

•

•

-a

a

А

С

4

Пример 2

arccos

Вычислить:

Применим формулу: аrccos(-а)=  - аrccosа

Ответ: arccos =

4

Решение уравнения cos t = a на окружности.

у

0

х

Воспользуемся единичной окружностью. Ранее, мы не могли записать числа t1 и t2 их конкретными значениями. Но всё кардинально изменилось, после того, как мы определили понятие arccosa. Кроме того следует отметить закономерность в нахождении решений уравнения, а ЗНАЧИТ можно составить и формулы!!!

Ответ:

х =а

4

• МНОГО МЕСТА?

• ТРУДОЁМКО?

Чертить окружность, строить графики-«Много места, трудоёмко?» Есть способ лучше: АНАЛИТИЧЕСКИ!!! По ФОРМУЛАМ!!!

4

уравнение имеет решения:

Если -1  a  1, то

Решение уравнения

cos t = a

по формулам:

Вот и долгожданное решение уравнения cosx=а!

4

Пример 3

Cosх =

Решить уравнение:

Чтобы решить уравнение, необходимо сначала проверить, что число а=1/3 принадлежит[-1;1], а затем применить соответствующие формулы. Если арккосинус числа можно вычислить, то это необходимо сделать.

Ответ:

4

Частные случаи:

cos t = 1

cos t = 0

cos t = - 1

Следует помнить:

Частные случаи – особые, т.е. при решении таких уравнений Общую формулу –не пишут.

Вспомним и геометрическую интерпретацию решения каждого уравнения на окружности.

0

-1

1

4

Спасибо за внимание!