Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Общая схема исследования функции

1) Найти область определения функции f(х)

2) Найти производную f ꞌ(x)

3) Найти стационарные точки (f ꞌ(x) = 0)

4) Найти промежутки возрастания и убывания

5) Найти точки экстремума и значения функции в этих точках

Результаты удобно записать в виде таблицы:

Пример. Исследовать и построить график функции f(x) = 3x² – x³

Решение:

1. D (f) = R, т.к. f – многочлен

2. Найдем производную функции: f ʹ(x) = 6x – 3x²

3. Найдем стационарные точки: f ʹ(x) = 0, т.е. 6x – 3x² =0

3x (2 – x) = 0

3x = 0 или 2 – х = 0

х = 0 х = 2

Вычислим значение функции в стационарных точках:

х = 0, f(0) = 3∙ 0² – 0³ = 0

х = 2, f(2) = 3∙ 2² – 2³ = 3∙ 4 – 8 = 4

4,5) Составляем таблицу

y

6) Строим график функции.

x

4

2

0

Решить самостоятельно:

Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x) = x⁴ −2х² −3