Примеры задач, направленные на развитие пространственного мышления обучающихся 10-х классов методом моделирования при обучении стереометрии

Для развития пространственного мышления считаем, что наиболее эффективной для учащихся будет следующая подборка задач:

1. Задачи на перевод словесных данных задачи в графический образ

Такие задачи широко используются в школьной геометрии (как в планиметрии, так и стереометрии). Они предполагают выполнение чертежа в соответствии с условием задачи, заданными в словесной или символьной форме. Решение такой задачи требует перевода ее текста в графический образ, т.е. выполнение чертежа, в точности воспроизводящего условия.

Есть и такие задачи, которые задаются словами и не содержат ни букв, ни символов в тексте. Нужно сделать чертеж и, опираясь на него решить задачу.

Таблица 2­– Развиваемый компонент пространственного мышления

1 Параллельные прямые и лежат в плоскости . Докажите, что прямая , пересекающая прямые и , также лежит в плоскости .

2 Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

3. Точка не лежит в плоскости трапеции с основанием . Докажите, что прямая параллельна плоскости .

4. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

5. Три точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

2. Задачи на выделение существенных признаков геометрических понятий, их актуализацию

Выделение существенных признаков может осуществляться:

– по словесному описанию условий задачи;

– по графическому изображению фигуры.

Из словесного текста задачи обучающиеся должны выделить те слова, в которых заключены существенные признаки понятий, опознать их; уметь дифференцировать словесно те условия (их совокупность), которые определяют, что «дано», а что «требуется найти» (доказать, вычислить и т.п.). Это необходимо, чтобы обучающиеся могли сознательно отчленять известное от искомого.

Вычисление существенных признаков понятий можно организовывать и по чертежу.

Таблица 3­– Развиваемый компонент пространственного мышления

6. Назовите все параллельные ребра параллелепипеда.

Рисунок 16. Данные к задаче 6

7. На рис. изображен параллелепипед. Точки и – середины ребер и . Укажите на этом рисунке все пары:

а) соноправленных векторов;

б) противоположно направленных векторов;

в) равных векторов.

Рисунок 17. Данные к задаче 7

8. На рис. изображен тетраэдр , ребра которого равны. Точки – середины сторон.

а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке.

б) Определите вид четырехугольника .

Рисунок 18. Данные к задаче 8

9. Назовите все пары скрещивающихся (т.е. принадлежащих скрещивающимся прямым) ребер тетраэдра . Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?

Рисунок 19. Данные к задаче 9

10. Покажите на рисунке все скрещивающиеся, параллельные и пересекающиеся прямые.

Рисунок 20. Данные к задаче 10

3. Задачи на вычленение фигуры из состава других фигур чертежа

Очень часто чертеж представляет собой не одну (однородную) фигуру, а их совокупность. Для решения задачи не все фигуры одинаковы значимы. Необходимо зрительно выделить эту фигуру из состава других, мысленно ее «подчеркнуть»; удержать в образе, чтобы работать с ней. Для этого необходимо фиксировать внимание не на всех, а лишь на отдельных фигурах; причем на разных этапах решения задачи может происходить как бы смена «фигуры и фона»: т.е. фигуры, которые рассматривались как значимые для решения задачи, должны смениться другими. Для этого обучающимся нужно от них отвлечься, чтобы перейти к другим. Этот переход не у всех обучающихся осуществляется сразу. Иногда наступает «смещение» образов, их персеверация. Поэтому необходимы специальные упражнения, обеспечивающие возможность не только продуктивного выделения фигуры из фона, но и динамической смены их.

Таблица 4­– Развиваемый компонент пространственного мышления

11. Рассмотрите рисунок. Посчитайте:

а) сколько треугольников в данной фигуре;

б) сколько вершин треугольников.

Рисунок 21. Данные к задаче 11

12. Рассмотрите рисунок. Посчитайте:

а) сколько квадратов в данной фигуре;

б) сколько углов в данной фигуре.

Рисунок 22. Данные к задаче 12

13. Найдите двугранный угол тетраэдра , если углы, и прямые, .

Рисунок 23. Данные к задаче 13

14. Дан куб . Найдите следующие двугранные углы:

а);

б) ;

в) , где – середина ребра .

Рисунок 24. Данные к задаче 14

15. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями см и f см и высотой h см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Рисунок 25. Данные к задаче 15

4. Задачи на сравнение фигур чертежа

Такие задачи требуют произвольного внимания, обеспечивающего гибкий переход от одних элементов к другим, с целью их сравнения по заданным признакам. Эти задачи требуют знания существенных признаков; фиксации внимания на двух или более фигурах; мысленного сопоставления фигур на основе их сходства и различия с целью вычленения общего признака, т.е. установления в образах определенной логической связи. Задачи на установление того, является ли данный объект элементом определенного множества объектов или нет и установление принадлежности данного объекта к одному из классов заданного множества объектов.

Таблица 5­– Развиваемый компонент пространственного мышления

16. Найдите все углы, имеющие одну общую вершину.

Рисунок 26. Данные к задаче 16

17. Точка не лежит в плоскости треугольника , точки и – середины отрезков , и соответственно, точка лежит на отрезке . Выясните взаимное расположение прямых:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и ;

д) и ;

е) и .

18. Параллельные отрезки, и заключены между параллельными плоскостями и . Определите вид четырехугольников , и.

Рисунок 27. Данные к задаче 18

5. Задачи на построение недостающих фигур чертежа в ходе решения задачи

Основаны на тщательном анализе исходных элементов чертежа, определении их существенных (по условию задачи) признаков, причем этот анализ идет в мысленном плане (элементы чертежа сравниваются зрительно). На этой основе возникает догадка о необходимости введения нового элемента и только после этого осуществляется его построение.

Таблица 6­– Развиваемый компонент пространственного мышления

19. Отрезокперпендикулярен к плоскости прямоугольника . Докажите, что прямая перпендикулярна к плоскости .

20. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна см, а ее высота равна см.

21. Сторона основания правильной треугольной призмы равна см, боковое ребро равно см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

22. Высота правильной треугольной призмы равна . Плоскость , проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол . Найдите площадь сечения призмы плоскостью .

23. Ребро куба равно . Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

6. Задачи на рассмотрение фигур чертежа с разных точек зрения

Эти задачи используются в тех случаях, когда некоторые фигуры чертежа надо рассмотреть в плане разных понятий, т.е. переосмыслить их. Это достигается вычленением отдельной фигуры, выделением ее из остальных и включением в новые фигуры, путем их сочетания. При выполнении требуется воссоздание образа по словесному описанию или чертежу и его мысленное видоизменение (без изменения самого чертежа).

Таблица 7­– Развиваемый компонент пространственного мышления

24. Тетраэдр разрезали по трем ребрам и развернули. Нарисуйте получившуюся развертку.

Рисунок 28. Данные к задаче 24

25. Нарисуйте развертку октаэдра.

26. На рисунке изображена фигура, являющаяся разверткой куба. Мысленно сверните куб из развертки. Определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань - нижняя.

Рисунок 29. Данные к задаче 26

27. На рисунке изображена фигура, являющаяся разверткой куба. Какие точки совместятся с точкой А при склеивании развертки, изображенной на рисунке?

Рисунок 30. Данные к задаче 27

28. На рисунке вы видите три детских кубика. Все они повернуты к нам одним и тем же рисунком - елочкой. Укажите, какие картинки мы увидим на каждом из кубиков, взглянув на них сверху, учитывая развертку кубика.

Рисунок 31. Данные к задаче 28

Далее в пункте 2.3 рассмотрим применение моделирования для развития пространственного мышления на уроках стереометрии.

Выполнение таких задач позволяет повысить уровень развития пространственного мышления учащихся, развить творческие способности, т.к. в основе творчества лежит деятельность образных компонентов мышления. Однако надо понимать, что с появлением графического моделирования и изучением основ компьютерной графики задача усложняется, так как приходится заменять наглядные изображения условными обозначениями, зачастую абстрактными, применяя различные знаки и символы, что также требует хорошо развитого пространственного мышления.