Применение производной для исследования функции

На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале (—8; 5). Определите промежутки, в которых производная функции положительна.

-3,5

4

Ответ: (-8;-3,5) и (1;4)

На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 6.

На рисунке изображен график функции

y = f (x) , определенной на интервале (-8; 3). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 4.

Решите самостоятельно . На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале ( a;b ). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

б)

a)

Ответ: 4.

Ответ: 5.

Решите самостоятельно . На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале ( a;b ). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

a)

б)

Ответ: 6.

Ответ: 3.

На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

-10

2

- 7

-1

6

Ответ: 6 .

На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

1

6

-4

-10

Ответ: 6 .

2

3

Ответ: 3 .

Решите самостоятельно . На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите промежутки возрастания функции f ( x ). В ответе укажите длину наименьшего из них.

3

Ответ: 1 .

4

Ответ: 2 .

На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

0+1+2+5+6= 14

Ответ: 14 .

На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале (-5;6) . В какой точке отрезка [0 ;5] функция принимает наибольшее значение?

Ответ: 0.

На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале (-7;4) . В какой точке отрезка [-6;-1] функция принимает наименьшее значение?

+

-

Ответ: -1 .

На рисунке изображен график функции y = f (x) ,

определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0.

Решение.

Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной.

если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const.

Ответ: 7.

На рисунке изображен график функции y = f (x) ,

определенной на интервале ( a; b ). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0.

Решите устно!

1

3

Ответ: 7.

Ответ: 7.

4

2

Ответ: 6.

Ответ: 8.

На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на интервале (-1;5) .

Ответ: 2.

На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале ( a; b ). Найдите точку экстремума функции f (x ) .

Решите устно!

1

3

-3

4

Ответ: -3.

Ответ: 4.

4

2

7

-1

Ответ: -1.

Ответ: 7.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

-9+(-6)+(-4)+(-2)+1=

-20

На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].

+

-

4,5

Ответ: 1 .

На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек максимума функции y = f (x) на отрезке [ a; b ].

1

+

-

a

b

Ответ: 1 .

2

+

b

+

+

-

-

-

a

Ответ: 3 .

Алгоритм исследования непрерывной функции f(x) на монотонность и экстремумы.

1) Найти производную f `(x) .

2) Найти стационарные и критические точки.

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4) Опираясь на Т.1, Т.2, Т.4, сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.

0 в каждой точке интервалаI интервала I f убывает на I f возрастает на I + - - f ′ - + + + f ′ f f х 3 х 1 х 2 х 2 х 1 функция возрастает, функция убывает. f ′ + - - f х 1 х 2 " width="640"

Промежутки возрастания, убывания

f ′ (x) - ?

f ′ (x)

f ′ (x) 0 в каждой точке

интервалаI

интервала I

f убывает на I

f возрастает на I

+

-

-

f ′

-

+

+

+

f ′

f

f

х 3

х 1

х 2

х 2

х 1

• функция возрастает,
• функция убывает.

f ′

+

-

-

f

х 1

х 2

Найти критические точки функции. Определить, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума. f (x) = 9+8x 2 -x 4

0 при х (0; 2) U (2; +∞)). Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка 0 является точкой минимума f min (x) = f(0) = 9. min f ’ + + - - -2 2 0 f " width="640"

Решение:

f ′ =16х – 4х 3 ;

f ′ (х) определена во всех точках,

f ′ = 0,

16х – 4х 3 = 0,

4х (4 – х 2 ) = 0,

х=0 или (2-х)(2+х)=0

х=0, х =-2, х=2.

В точке 0 производная меняет знак с «-» на «+» (f ′(х) х (-∞;-2) U (-2; 0) и f ’(х) 0 при х (0; 2) U (2; +∞)).

Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка 0 является точкой минимума f min (x) = f(0) = 9.

min

f ’

+

+

-

-

-2

2

0

f

№ 44.59. ( а ) Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы