Проект "Алгебраические уравнения: виды и способы решения"

Федеральное государственное казённое общеобразовательное учреждение

«Омский кадетский военный корпус

Министерства обороны Российской Федерации»

Проектная (исследовательская) работа

Алгебраические уравнения:
виды и способы решения.

Автор: Букарев Егор, обучающийся 11-3 класса

Руководитель:

преподаватель математики

Железная Н.О.

г. Омск

2022 год

Введение 3

1. Корни многочлена. Теорема Безу 4

2. Рац.уравнение: определение, основные методы решения .…………………6

2.1. Метод разложения на множители………………………………………...7

2.2. Метод введения новой переменной………………………………………8

3. Практикум «Решение рациональных уравнений» 6

3.1. Самостоятельная работа 7

3.2. Обобщающий тест 13

Заключение 20

Список литературы …………………………………………………………….21

Приложение Интерактивная игра «Реши! » ……………………………...23

Уравнение представляет собой наиболее
серьёзную и важную вещь в математике.

Лодж О.

Решение алгебраических уравнений — прекрасный способ с пользой провести свободное время, тренируя при этом свою логику и математическую интуицию. Данный вид математических задач входит в школьную программу 10 класса по теме «Многочлены. Алгебраические уравнения». Для проекта я выбрал тему «Алгебраические уравнения: виды и способы решения» потому, что посчитал ее очень интересной и актуальной для себя. При подготовке ко второй части ОГЭ и ЕГЭ по математике мне встречались задания на решение алгебраических уравнений. Так как заданий по данной теме в учебнике немного, я планирую также дополнить дидактическую копилку учителя собранным материалом - результатами моего проекта и создать интерактивную игру для ребят своей роты, чтобы провести ее на неделе ОД «Математика, информатика и ИКТ».

Нами были определены

Объектная область исследования - учебный предмет «математика».

Объект исследования – решение алгебраических уравнений.

Предмет исследования – математические задачи определенного типа.

Цель проекта:

- Повторение, обобщение и систематизация имеющихся знаний по теме «Модуль числа»;

- Расширение и углубление знаний по теме «Решение уравнений и неравенств», выработка навыка решения различных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

- Формирование устойчивого интереса к математике, умения и навыков исследовательской, проектной деятельности; развитие навыков самостоятельного поиска информации, формирование умения отбирать и структурировать материал.

Задачи:

• Изучить литературу по теме проекта;

• Систематизировать все собранные материалы;

• Подготовить подборку задач по теме проекта и представить полученные результаты в виде интерактивной интеллектуально-познавательной игры;

• Подготовить мультимедийную презентацию для представления результатов работы над проектом.

Тип проекта:

• по виду деятельности – практико-ориентированный;

• по организационной форме – индивидуальный;

• по времени выполнения - долговременный.

Этапы работы над проектом

Разработанный нами проект включает два этапа:

1-й этап аналитический

2-й этап обобщения

Основные виды работы над проектом:

• Изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии, задачники по математике, Интернет-ресурсы).

• Анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, решение задач).

1. Корни многочлена. Теорема Безу.

Этьен Безу – (31.03.1730 –27.09.1783) французский математик, член Парижской Академии наук (1758). Основные труды: по алгебре (исследование свойств систем алгебраических уравнений высоких степеней)).

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Определение. Число называется корнем , если .

Следствие: Если число является корнем многочлена , то делится на без остатка, т.е. существует многочлен .

Теорема о линейных множителях: Если многочлен имеет попарно различные корни , то он делится без остатка на .

Следствие 1: Многочлен степени имеет не более различных корней.

Следствие 2: Если многочлен степени имеет различных корней , то его можно представить в виде .

Важный факт (следствие из Основной теоремы алгебры): Любой ненулевой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения многочленов 1-й и 2-й степеней с действительными коэффициентами, причем для линейных многочленов – корень , а многочлены 2-й степени не имеют действительных корней: .

Утверждение. Многочлен 3-й степени имеет хотя бы один действительный корень.

Пр. 1) ;

2) .

Общие соображения

Будем рассматривать уравнения вида: ; , где – многочлены; , где – рациональные выражения.

Полезные факты:

1. Если – корень , то .

2. Пусть все коэффициенты многочлена – целые числа. Если целое число является корнем , то (необходимое условие существования целочисленного корня).

3. Разложимость многочлена с действ. коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Замечание: При решении целых рациональных уравнений (т.е. – многочлены) проверку корней делать не надо. При решении дробно-рациональных уравнений проверка обязательна.

2. Рациональные уравнения: определение, основные методы решения.

Определение. Рациональным уравнением называется уравнение вида , где , - многочлены.

Основными методами решения рациональных уравнений являются:

1. Приведение рационального выражения к общему знаменателю и решение полученного уравнения:

2. Разложение на множители. Если , то всякое решение уравнения является решением совокупности , …, . Обратное утверждение не всегда верно. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения .

3. Введение новых неизвестных и сведение исходного уравнения к квадратному или другому простому уравнению относительно новых неизвестных.

4. Для рациональных уравнений вида , где , часто используется метод разложения на множители, состоящий в подборе корня и понижения степени исходного уравнения. Если коэффициенты и уравнение имеет целый корень , то является делителем свободного члена . Понижение степени исходного уравнения может производиться делением многочлена на одночлен «уголком». Если коэффициент при старшей степени многочлена не равен единице, , то рациональные корни ищутся в виде , где – целый делитель , – натуральный делитель . Этот метод не годится для нахождения иррациональных корней.

2.1. Метод разложения на множители

Если , то любое решение уравнения (1)

является решением хотя бы одного из уравнений , т.е. решением совокупности уравнений:

(2)

Обратное не верно: не всякое решение совокупности (2) является решением уравнения (1).

Пр.1. (3)

, но при уравнение (3) не имеет смысла .

Но с появлением посторонних корней можно бороться с помощью ОДЗ.

Замечание: При решении уравнения (1) методом разложения на множители корнями уравнения (1) являются те и только те корни совокупности уравнений (2), которые входят в ОДЗ уравнения (1).

Пр. 2. .

Пр.3 .

Пр. 4. .

Решение: Делители 24: . , . . Второй многочлен корней не имеет.

Ответ: .

Утв. Для того, чтобы несократимая дробь являлась корнем уравнения , необходимо и достаточно, чтобы и .

Алгоритм подбора корней:

1. Найти все целые делители ( ).

2. Найти все натуральные делители ( ).

3. Составить все дроби с найденными возможными значениями числителя и знаменателя и проверить их подстановкой в .

Пр.5 .

Решение: Делители 6: ; делители 2: 1; 2. Значит, надо проверить числа: . Подставляя эти числа в исходное уравнение, находим: . Делим на , получаем частное . Решая уравнение , получаем .

Ответ: .

2.2. Метод введения новой переменной.

Этот метод основывается на следующем очевидном факте:

Если – корень уравнения , а – корень уравнения , то является корнем уравнения , т.е. сделана замена .

1. Биквадратные уравнения.

Решается заменой .

Пр. 1. .

1. Симметрические уравнения (возвратные)

, где .

Симметрическое уравнение степени можно свести к уравнению степени заменой .

Рассмотрим : . – кв. уравнение.

Пр. 2. ;

.

а) ;

б) .

1. Другие виды замен

, , получим приведенное уравнение.

Пр.3. .

Пр.4. ; . ; .

Пр. 5.

Пр.6. ;

1) 2) .

Пр.7. ; ОДЗ: . . ; 1) ;

2) .

Дополнительно: Вариации на тему симметрических и возвратных уравнений:

1. ; .

2. , причем , т.е. ; .

Пр. 1. ; ; ; ; .

Пр. 2. .

Пример 1. Среднее арифметическое всех корней уравнения равно

А) 0,5 B) 2 C) 3 D) 1 E) – 3

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений . Следовательно, среднее арифметическое корней равно 2.

Ответ: В.

Пример 2. Найдите произведение корней уравнения

Решение. ОДЗ: . Преобразуем данное уравнение , . Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье – с четвертым, вынося общий множитель: . Первый корень не подходит по ОДЗ, поэтому уравнение имеет два корня: , произведение которых равно – 1.

Ответ: – 1.

Пример 3. Сумма корней уравнения равна

А) –5 B) –4 C) 5 D) 4 E) – 3

Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем уравнение: . Обозначим . Тогда получим уравнение , корни которого и . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений . Первое уравнение имеет корни и . Второе уравнение корней не имеет. Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа 1 и –6, их сумма равна –5.

Ответ: А.

Пример 4. Сумма корней уравнения равна

А) 6 B) –8 C) 7 D) 8 E) – 6

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4–ой степени, приводимым к квадратному. Для этого разделим обе части уравнения на и сгруппируем слагаемые . Сделаем замену . Тогда получаем и . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений . Таким образом находим корни исходного уравнения , . Следовательно, сумма корней равна 7.

Ответ: С.

Пример 5. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения равно

А) – 1 B) C) 3 D) E) –0,5

Решение. Представим исходное уравнение в виде и введем новую переменную . Тогда запишем уравнение с новой переменной: , отсюда решения этого уравнения . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: . Отметим, что второе уравнение не имеет действительных корней и решения и являются решениями исходного уравнения. Так как по теореме Виета , то среднее арифметическое всех действительных корней равно –0,5.

Ответ: Е.

Пример 6. Найдите целые корни уравнения

Решение. Разложим вторую скобку на множители и перемножим выражения в крайних и средних скобках . Разделим обе части уравнения на , получим . Введем новую переменную , получим и . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений . Первое уравнение имеет корни и . Второе уравнение имеет иррациональные корни.

Ответ: –9; 2.

3. Практикум по теме «Решение алгебраических уравнений»

Материал проекта представлен в виде практических заданий, которые позволят систематизировать и качественно улучшить уровень решения алгебраических уравнений. В тестах содержится достаточно большое количество заданий и упражнений, взятых из различных источников, при этом предпочтение отдавалось комбинированным упражнениям, при решении которых используются сведения из различных разделов элементарной математики. Все задания направлены на развитие интереса к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Данный «Практикум» можно использовать как задачник по теме «Алгебраические уравнения» и как сборник дидактических материалов. Подборка заданий полностью подходит для самостоятельного овладения указанной темой и рассчитана на последовательное обучение от начального уровня до уровня, необходимого абитуриенту или олимпиаднику. Содержание практикума соответствует идеям дифференциации, углубления и расширения знаний кадет. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный. Также представлены задания, требующие не только свободного владения приобретёнными знаниями и умениями, но и творческого подхода, проявления интеллектуальной подвижности.

3.1. Самостоятельная работа по теме «Рациональные уравнения»

Вариант № 1 Решить уравнения:

Вариант № 2 Решить уравнения:

Вариант № 3 Решить уравнения:

Вариант № 4 Решить уравнения:

Вариант № 5 Решить уравнения:

Ответы к самостоятельной работе

3.2. Обобщающий тест по теме
«Решение рациональных уравнений»

1. Корень уравнения принадлежит промежутку

А) B) C) D) E)

1. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения принадлежит промежутку

А) B) C) D) E)

1. Корень уравнения принадлежит промежутку

А) B) C) D) E)

1. Произведение корней уравнения равно

А) 32 B) – 24 C) 16 D) 12 E) – 16

1. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения равно

А) – 2 B) 1 C) – 1 D) E)

1. Произведение корней уравнения равно

А) B) 4 C) D) E)

1. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения равно

А) B) C) 0 D) E)

1. Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения

А) – 2 B) – 16 C) 14 D) 19 E) 3

1. Найдите произведение корней уравнения

А) – 19 B) C) D) E) 19

1. Произведение корней уравнения равно

А) 3 B) 4 C) – 3 D) – 4 E) 12

1. Произведение корней уравнения равно

А) – 2 B) 2 C) 4 D) – 4 E) 6

1. Найдите произведение корней уравнения

А) 8 B) 14 C) 49 D) 112 E) корней нет

1. Сумма кубов действительных корней уравнения равна

А) 11 B) – 11 C) – 13 D) 13 E) 12

1. Найдите произведение корней уравнения

А) –2,5 B) 2,5 C) D) –350 E) –10

1. Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения

А) 7 B) 5 C) 6 D) –6 E) –7

1. Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения

А) – 4 B) 4 C) D) E) –6

1. Найдите произведение корней уравнения

2. Найдите сумму модулей корней уравнения

3. Найдите произведение корней уравнения

4. Найдите натуральный корень уравнения

5. Найдите сумму целых корней уравнения

Ответы «Рациональные уравнения»

Комментарии к задачам.

8. ОДЗ данного уравнения , т.е. .

12. Разложим на множители: и преобразуем уравнение, перемножив крайние и внутренние скобки . Обозначим . Тогда получим уравнение , корни которого и . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений . Первое уравнение имеет иррациональные корни, произведение которых по теореме Виета равно . Второе уравнение корней не имеет. Следовательно, произведение корней уравнения равно 8.

15. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4–ой степени, приводимым к квадратному. Для этого разделим вторую дробь уравнения почленно на и сгруппируем слагаемые . Сделаем замену . Тогда получаем и . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений . Таким образом, находим корни исходного уравнения , второе уравнение совокупности корней не имеет. Следовательно, сумма корней равна 6.

16. Заметим, что не является корнем данного уравнения. Поделим числитель и знаменатель каждой дроби на х: , . Пусть , тогда уравнение имеет вид , и . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений . Первое уравнение корней не имеет, сумма корней второго уравнения по теореме Виета равна 4.

21. Разложим вторую скобку на множители и перемножим выражения в крайних и средних скобках . Разделим обе части уравнения на , получим . Введем новую переменную , получим и . Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений . Первое уравнение имеет иррациональные корни. Второе уравнение имеет корни и .

Заключение

Математика – вечно живое дерево науки. С древнейших времен известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и инженеру, и писателю, и военному.

В результате работы над проектом я расширил свои знания об алгебраических уравнениях, убедился в многообразии способов решения задач с алгебраическими уравнениями. Выполняя проект, я прорешал разными способами большое количество алгебраических уравнений, которые взял из различных сборников для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ и олимпиадам. Я думаю, что моя работа будет использована учителем математики с целью расширения знаний учащихся по теме «Алгебраические уравнения: виды и способы решения», для подготовки кадет к ОГЭ, ЕГЭ и различным олимпиадам по математике. Также мною составлена интерактивная игра, которая поможет ребятам моей роты улучшить свои знания по данной теме.

Таким образом, в результате выполнения проекта поставленная цель достигнута, задачи выполнены. Я доволен своей работой, так как лично для себя я узнал много нового и интересного по теме проекта и могу поделиться этой информацией с кадетами своей роты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ Мерзляк А. Г., Поляков В. М. – М.: Вентана-Граф, 2016. [электронный вариант].

2. Райхмистр Р. Б. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы (с решениями и ответами). – М.: Московский Лицей, 2000. [электронный вариант].

3. Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. – М: Просвещение, 1991. [электронный вариант].

4. Шахмейстер А. Х. Уравнения. – 4-е издание. – М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2011. [электронный вариант].

5. Лурье М. В. Алгебра. Техника решения задач: Учеб. пособие. – М.: Издательство УНЦ ДО, 2005. [электронный вариант].

6. Шабунин М. И. Математика: пособие для поступающих в вузы/ М.И. Шабунин. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Лаборатория знаний, 2016.

7. Пирютко О. Н. Алгебра. 7-10 кл. Разноуровневые тестовые задания: пособие для учителей общеобразоват. учрежд. с рус. яз. обучения/ О.Н. Пирютко. – Минск: Новое знание, 2008.

8. Колесникова С. И. Рациональные уравнения и неравенства. ЕГЭ. Математика/ С.И. Колесникова. – 3-е издание, стереотип. – М.: ООО «Азбука-2000», 2014.

9. Азаров А. И. и др. Алгебраические уравнения и неравенства: учебное пособие/ А.И. Азаров, О.М. Гладун, В.С. Федосеенко / – Мн.: ООО «Тривиум», 1997.

10. Александрова О.В., Семенов Ю.С. Решение алгебраических и иррациональных уравнений и неравенств. – М.: ИЛЕКСА, 2013.

11. Гущин Д. Д. Сборник заданий по алгебре. Для подготовки к ЕГЭ и конкурсным экзаменам. – 10-е изд., перераб. и доп. – Париж, СПб: Стетоскоп, ВВМ, 2007.

12. Куланин Е. Д., Федин С. Н. 5000 конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

13. 3000 конкурсных задач по математике. – 5-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003.

14. Шабунин М. И. Математика: пособие для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. – Учебное пособие. – М.: Аквариум, 1997.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Интерактивная игра «Реши!»

Цель: – систематизация математических знаний и совершенствование навыков решения; развитие познавательной активности кадетов, развитие их интеллектуальных способностей.

Содержательная часть заданий представленной интерактивной игры отражает тематику обобщающего урока по теме «Многочлены. Алгебраические уравнения» (УМК Колягин Ю.М. «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс) по математике. Так осуществляется повторение и углубление пройденного на уроках математики учебного материала в игровой форме.

Форма работы: групповая.

Оборудование: презентация, компьютер, экран, проектор.

Ход игры.

Игровое поле представляет собой квадрат, состоящий из 4 строк и 4 столбцов. Строки обозначены арабскими цифрами от 1 до 4, а столбцы – буквами латинского алфавита от А до Г. В ходе игры команды поочередно делают выстрел - координаты цели определяются именем столбца и строки. Ведущий открывает названный квадрат. За правильный ответ команда получает указанное в задании количество баллов.

Игровое поле - одно для всех команд. В начале игры все 16 клеток закрыты - за каждой «шторкой» скрыто алгебраическое уравнение.

В эту игру могут играть 2 – 4 команды, в каждой назначается капитан. Капитан - главный, поэтому он выбирает координаты для выстрела и сдает преподавателю листок с ответом команды на открывшееся на экране задание. Преподаватель на доске фиксирует полученные каждой командой очки. Игра завершается после того, как участники открыли все клетки. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество очков.

Содержание игры

28