Проект "Квадратные уравнения в древности"

федеральное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа ГУФСИН России

по Свердловской области»

город Кировград

Доклад к учебному проекту

«Квадратные уравнения в древности»

Выполнили учащиеся 8 класса:

Дрокин М, Седенков И, Поляков Г.

Руководитель: Фалахутдинова Р.Н.

2021

Цель проекта:  Изучить материалы о квадратных уравнениях в древности

Задачи проекта:

- Изучить научную литературу по теме;

- проследить историю возникновения квадратных уравнений;

- узнать как можно больше о решении квадратных уравнений в Древности;

- Формировать самостоятельную учебно-познавательную деятельность; информационную грамотность (ориентировка в информационном пространстве, отбор необходимой информации, ее систематизация);

- Подготовить доклад; создать презентацию.

Объект: Квадратные уравнения

Предмет: Квадратные уравнения в древности

Актуальность выбранной темы:

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Мы научились решать квадратные уравнения в 8 класса.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. В настоящее время, умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

 Квадратные уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, информатики.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Актуальность нашей работы заключается в следующем:

1. Решением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков.

2. Нам захотелось узнать историю возникновения и развития решения квадратных уравнений, о методах решения задач в древности. 3. В школьных учебниках мало информации об истории возникновения и развития квадратных уравнений.

Этапы выполнения проекта:

I этап:

- Составление плана работы над проектом.

- Работа с учебной и научно-популярной литературой.

- Работа с интернет ресурсами, посещение сайтов.

- Подобрать демонстрационный материал: иллюстраций, слайды, фотографий.

II этап:

И изучение материалов для проекта по темам:

Тема: «Квадратные уравнения в Египте»- литература, беседа

Тема: « Квадратные уравнения в Вавилоне»- Беседа, рассматривание слайдов.

Тема: « Квадратные уравнения в Индии»- Беседа, рассматривание слайдов. Изучение литературы, статей.

Тема: «Квадратные уравнения в Европе» - Изучение литературы

Тема «Решения задач разными методами на составление квадратных уравнений» - рассматривание слайдов, беседа.

III этап:

- Создание презентации. Подготовка доклада.

Заключение

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. К сожалению, о способах решения уравнений в Древнем Вавилоне известно совсем немного, поскольку многие источники уже утеряны, а то, что осталось, было переведено из клинописи в современные формулы. 

Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

Вывод: Проанализировав данные материалы, можно сделать вывод о том, что развитие методов решения квадратных уравнений шло постепенно, усовершенствовалось с течением времени. В настоящее время используются методы, которые впервые были использованы в Европе в XIV в., тогда были выведены формулы дискриминанта и корней уравнения, доказана теорема Виета.

Современные методы решения доступнее и точнее, т.к. математики древности не находили отрицательные корни квадратных уравнений.

Используемая литература:

1. Алгебра 8 класс. Ю.М.Колягин и др. Москва «Просвещение» 2020

2. Алгебра 8 класс. Ю.Н.Макарычев и др. Москва «Просвещение» 2020

3. Алгебра 8 класс. А.Г. Мерзляк и др. Москва «Просвещение» 2020

4. Пособие к элективному курсу «Старинные задачи через века и страны»

Г.А. Богомолов.

5. «Старинные занимательные задачи» С.Н. Олехник. Москва «Дрофа» 2005

6. Информационные ресурсы:

• http://portfolio.1september.ru

• http://festival.1september.ru

федеральное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа ГУФСИН России

по Свердловской области»

город Кировград

Проект по теме:

«Квадратные уравнения в древности»

Выполнили учащиеся 8 класса:

Дрокин М, Седенков И, Поляков Г.

Руководитель: Фалахутдинова Р.Н.

2021

Содержание

Стр.

1. Введение ……………………………………….. 5

2. Основная часть

1. Методы решения квадратных уравнений в Египте

1. «Фальшивое правило» у других народов……………………..6

2. Задача № 24 сборника Ахмеса………………………………… 6

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………….

1. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ……7

2. Задача Диофанта………………………………………………...7

1. Квадратные уравнения в Индии

1. Аль – Хорезми…………………………………………………..8

2. О формуле корней………………………………………………8-9

3. Задача Бхаскаре – Акариа………………………………………9-10

1. Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

1. Франсуа Виет – французский математик 16 века……………..10

2. О теореме Виета………………………………………………..10-11

1. Заключение……………………………………………………11

2. Используемая литература…………………………………….12

• Цель проекта:

Изучить материалы о квадратных уравнениях в древности

• Задачи проекта:

- Изучить научную литературу по теме;

- проследить историю возникновения квадратных уравнений;

- узнать как можно больше о решении квадратных уравнений в Древности;

- формировать самостоятельную учебно-познавательную деятельность; информационную грамотность (ориентировка в информационном пространстве, отбор необходимой информации, ее систематизация);

- Подготовить доклад; создать презентацию.

• Объект: Квадратные уравнения
  Предмет: Квадратные уравнения в древности

• Актуальность выбранной темы:

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Мы научились решать квадратные уравнения в 8 класса.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. В настоящее время, умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

 Квадратные уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, информатики.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

• Актуальность нашей работы заключается в следующем:

1. Решением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков.

2. Нам захотелось узнать историю возникновения и развития решения квадратных уравнений, о методах решения задач в древности.

3. В школьных учебниках мало информации об истории возникновения и развития квадратных уравнений.

Этапы выполнения проекта:

I этап:

- Составление плана работы над проектом.

- Работа с учебной и научно-популярной литературой.

- Работа с интернет ресурсами, посещение сайтов.

- Подобрать демонстрационный материал: иллюстраций, слайды, фотографий.

II этап:

И изучение материалов для проекта по темам:

Тема: «Квадратные уравнения в Египте»- литература, беседа

Тема: « Квадратные уравнения в Вавилоне»- Беседа, рассматривание слайдов.

Тема: « Квадратные уравнения в Индии»- Беседа, рассматривание слайдов. Изучение литературы, статей .

Тема: «Квадратные уравнения в Европе» - Изучение литературы

Тема «Решения задач разными методами на составление квадратных уравнений» - рассматривание слайдов, статей, беседа. Разбор решенных старинных задач.

III этап:

- Создание презентации. Подготовка доклада.

Введение

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте , Вавилоне, Индии. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений , изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Методы решения квадратных уравнений в Египте

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения («фальшивое правило»)

Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь = с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b,

Если Ь с, то с — b число отрицательное. Отрицатель­ные числа были египтянам и многим другим более позд­ним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неиз­вестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно: «ага».

«Фальшивое правило» у других народов

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах = b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба. 

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми». Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

Задача № 24 сборника Ахмеса

«Куча. Ее седьмая часть (подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».

Запись задачи нашими знаками:

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. в Вавилоняне.

Применяя современную

алгебраическую запись, можно сказать,

что в их клинописных текстах встречаются,

кроме неполных, полные квадратные уравнения:

X² + X =a  X² - X = a

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Диофант Александрийский – греческий ученый в III век н.э., не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме

Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычисления, использовал сокращения слов.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задача Диофанта

Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х, другое же меньше, т.е.10-х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение(10+х)(10-х)=96

или же 100-х ²=96 ,

х²-4=0

Отсюда х=2.

Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, т.к.греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax²+bx=c, a0

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Аль – Хорезми

Арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1.«Квадраты равны корням», т.е. ах² = вх.

2.«Квадраты равны числу», т.е. ах² = с.

3.«Корни равны числу», т.е. ах = с.

4.«Квадраты и числа равны корням», т.е. ах² + с = вх.

5.«Квадраты и корни равны числу», т.е. ах² + вх = с.

6.«Корни и числа равны квадратам», т.е. вх +с = ах².

О формуле корней

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте.

Арабский ученый аль -Хорезми в трактате «Китаб аль-джерб валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата.

Задача Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми “Квадрат и 10 корней равны 39”.

х² +10 х = 39

Как же решал ал - Хорезми это уравнение.

Он писал : "Правило таково:

раздвои число корней, х=2х·5

получите в этой задаче пять,

умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5 ·5=25

прибавь это к тридцати девяти, 25+39

будет шестьдесят четыре,

извлеки из этого корень,

будет восемь,

и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8- 5 останется три- это и

будет корень квадрата , который ты искал."

А второй корень? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:
«Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи» Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Задача Бхаскаре – Акариа

Рассмотрим решение задачи знаменитого индийского математика XІІ века до н. э. Бхаскаре – Акариа  открыл общий метод решения квадратных уравнений.

«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение

(х )² +12 = х,

х² - 64х +768 = 0,

а =1, в = -64, с = 768, тогда

Д = ( -64)² -4·1·768 = 1024 0.

х₁ = 48, х₂ = 16.

Ответ: Обезьян было 16 или 48.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой,и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники 16-17вв. и частично 18 в.

Франсуа Виет – французский математик 16 века

Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, было настолько испорчено временем, искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.

(Франсуа Виет)

французский математик, сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.

О теореме Виета

До Ф. Виета решение квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение не могли записать, для этого требовалось довольно длинное и сложное словесное описание.

Он ввел термин «коэффициент». Предложил искомые величины обозначать гласными, а данные – согласными. Благодаря символике Виета можно записать квадратное уравнение в виде: ax²+bx+c =0.

Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Несмотря на то, что эта теорема называется «Теорема Виета», она была известна и до него, а он только преобразовал ее в современный вид. Виета называют «отцом алгебры»

Заключение

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. К сожалению, о способах решения уравнений в Древнем Вавилоне известно совсем немного, поскольку многие источники уже утеряны, а то, что осталось, было переведено из клинописи в современные формулы. 

Вывод: Проанализировав данные материалы, можно сделать вывод о том, что развитие методов решения квадратных уравнений шло постепенно, усовершенствовалось с течением времени. В настоящее время используются методы, которые впервые были использованы в Европе в XIV в., тогда были выведены формулы дискриминанта и корней уравнения, доказана теорема Виета. Современные методы решения доступнее и точнее, т.к. математики древности не находили отрицательные корни квадратных уравнений

Используемая литература:

1. Алгебра 8 класс. Ю.М.Колягин и др. Москва «Просвещение» 2020

2. Алгебра 8 класс. Ю.Н.Макарычев и др. Москва «Просвещение» 2020

3. Алгебра 8 класс. А.Г. Мерзляк и др. Москва «Просвещение» 2020

4. Пособие к элективному курсу «Старинные задачи через века и страны»

Г.А. Богомолов.

5. «Старинные занимательные задачи» С.Н.Олехник. Москва «Дрофа» 2005

6. Информационные ресурсы:

• http://portfolio.1september.ru

• http://festival.1september.ru

11

федеральное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа ГУФСИН России по Свердловской области» город Кировград

Учебный проект «Квадратные уравнения в древности»

Выполнили учащиеся 8 класса:

Дрокин М, Седенков И, Поляков Г.

Руководитель: Фалахутдинова Р. Н

Цели и задачи проекта

Цель:

Задачи:

- Изучить научную литературу по теме;

Изучить материалы о квадратных уравнениях в древности

- проследить историю возникновения квадратных уравнений;

- узнать как можно больше о решении квадратных уравнений в Древности;

.

- формировать самостоятельную учебно-познавательную деятельность; информационную грамотность (ориентировка в информационном пространстве, отбор необходимой информации, ее систематизация);

- Подготовить доклад; создать презентацию.

Объект: Квадратные уравнения Предмет : Квадратные уравнения в древности

Актуальность выбранной темы:

Актуальность нашей работы заключается в следующем:

1. Решением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Мы научились решать квадратные уравнения в 8 класса.

2. Нам захотелось узнать историю возникновения и развития решения квадратных уравнений, о методах решения задач в древности.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. В настоящее время, умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

3. В школьных учебниках мало информации об истории возникновения и развития квадратных уравнений.

  Квадратные уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, информатики.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Этапы выполнения проекта:

• I этап :
• - Составление плана работы над  проектом.
• - Работа с учебной и научно-популярной литературой.
• - Работа с интернет ресурсами, посещение сайтов.
• - Подобрать демонстрационный материал: иллюстраций, слайды, фотографий.
• II этап :
• И изучение материалов для проекта по темам:
• Тема : «Квадратные уравнения в Египте»- литература, беседа
• Тема : « Квадратные уравнения в Вавилоне»- Беседа, рассматривание слайдов.
• Тема : « Квадратные уравнения в Индии»- Беседа, рассматривание слайдов. Изучение литературы, статей .
• Тема: «Квадратные уравнения в Европе» - Изучение литературы
• Тема «Решения задач разными методами на составление квадратных уравнений» - рассматривание слайдов, беседа.
• III этап :
• - Создание презентации. Подготовка доклада.

Введение

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте , Вавилоне, Индии. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений , изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Методы решения квадратных уравнений в Египте

• В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения («фальшивое правило»)
• Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь = с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b,
• Если Ь с, то с — b число отрицательное. Отрицатель­ные числа были египтянам и многим другим более позд­ним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).
• Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения.
• В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.
• Египтяне имели особый знак для обозначения неиз­вестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно: «ага».

«Фальшивое правило» у других народов

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах = b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить. — И . Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба. 

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми». Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

Задача № 24 сборника Ахмеса

• «Куча. Ее седьмая часть (подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».
• Запись задачи нашими знаками:
• Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

• Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. в Вавилоняне.

Применяя современную

алгебраическую запись, можно сказать,

что в их клинописных текстах встречаются,

кроме неполных, полные квадратные уравнения:

X 2  + X =a  X 2  - X = a

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Диофант Александрийский – греческий ученый

в III век н.э ., не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме

Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычисления, использовал сокращения слов.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задача Диофанта

Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х, другое же меньше, т.е.10-х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение(10+х)(10-х)=96

или же 100-х 2 =96 ,

х 2 -4=0

Отсюда х=2.

Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, т.к.греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20,

а произведение –96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.

0" width="640"

Квадратные уравнения в Индии

• Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax ² +bx=c, a0

• В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Аль – Хорезми  

Арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1.«Квадраты равны корням», т.е. ах 2  = вх.

2.«Квадраты равны числу», т.е. ах 2  = с.

3.«Корни равны числу», т.е. ах = с.

4.«Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2  + с = вх.

5.«Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2  + вх = с.

6.«Корни и числа равны квадратам», т.е. вх +с = ах 2 .

О формуле корней

• Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте.
• Арабский ученый аль -Хорезми в трактате «Китаб аль-джерб валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата.

Задача Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми “Квадрат и 10 корней равны 39”.

х 2 +10 х = 39

Как же решал ал - Хорезми это уравнение.

Он писал : "Правило таково:

раздвои число корней, х=2х ·5

получите в этой задаче пять,

умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5 ·5=25

прибавь это к тридцати девяти, 25+39

будет шестьдесят четыре,

извлеки из этого корень,

будет восемь,

и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8- 5 останется три- это и

будет корень квадрата , который ты искал."

А второй корень ? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

0. х 1 = 48, х 2 = 16. Ответ: Обезьян было 16 или 48. Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений." width="640"

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи» Задачи часто облекались в стихотворную форму. Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века до н. э. Бхаскаре – Акариа  открыл общий метод решения квадратных уравнений.

• «Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась, Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне,
• в этой стае?»

Решение

(х ) 2 +12 = х,

х 2 - 64х +768 = 0,

а =1, в = -64, с = 768, тогда

Д = ( -64) 2 -4·1·768 = 1024 0.

х 1 = 48, х 2 = 16.

Ответ: Обезьян было 16 или 48.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

• Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль -Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники 16-17вв. и частично 18.

Франсуа Виет – французский математик 16 века

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.

Франсуа Виет

французский математик, сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.

О теореме Виета

До Ф. Виета решение квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение не могли записать, для этого требовалось довольно длинное и сложное словесное описание.

Он ввел термин «коэффициент». Предложил искомые величины обозначать гласными, а данные – согласными. Благодаря символике Виета можно записать квадратное уравнение в виде : ax 2 +bx+c =0 .

Теорема : Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Несмотря на то, что эта теорема называется «Теорема Виета», она была известна и до него, а он только преобразовал ее в современный вид. Виета называют «отцом алгебры»

Заключение

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. К сожалению, о способах решения уравнений в Древнем Вавилоне известно совсем немного, поскольку многие источники уже утеряны, а то, что осталось, было переведено из клинописи в современные формулы. 

Вывод: Проанализировав данные материалы, можно сделать вывод о том, что развитие методов решения квадратных уравнений шло постепенно, усовершенствовалось с течением времени. В настоящее время используются методы, которые впервые были использованы в Европе в XIV в., тогда были выведены формулы дискриминанта и корней урав нения, доказана теорема Виета.

Современные методы решения доступнее и точнее, т.к. математики древности не находили отрицательные корни квадратных уравнений.

Используемая литература:

1. Алгебра 8 класс. Ю.М.Колягин и др. Москва «Просвещение» 2020

2. Алгебра 8 класс. Ю.Н.Макарычев и др. Москва «Просвещение» 2020

3. Алгебра 8 класс. А.Г. Мерзляк и др. Москва «Просвещение» 2020

4. Пособие к элективному курсу «Старинные задачи через века и страны»

Г.А. Богомолов.

5. «Старинные занимательные задачи» С.Н.Олехник. Москва «Дрофа» 2005

6. Информационные ресурсы:

http ://portfolio.1september.ru

http ://festival.1september.ru