Проект "Лента Мёбиуса" автор Гусев Н., рук. Смирнова С.Н.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Лежневская средняя школа №11

(МБОУ Лежневская СШ №11)

Адрес: 155120, Россия, Ивановская область, п. Лежнево, ул.Островского, д.17

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Исследование свойств ленты Мёбиуса

5а класса МБОУ Лежневской СШ №11 Гусевым Никитой

Руководитель

учитель математики

Смирнова Светлана Николаевна

п.Лежнево

2022г.

1. Введение.

Математика наука сложная и серьезная, но в ней встречаются интересные объекты, которые могут показаться занимательными и удивительными. С одним из таких объектов – лентой Мёбиуса я решил познакомиться поближе. Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Наконец, этот математический объект позволяет при помощи несложных манипуляций выполнить самые настоящие фокусы.

Цель.

Исследовать свойства ленты Мёбиуса.

Задачи:

1. Поиск и изучение информации о ленте Мёбиуса:

- что из себя представляет;

- история открытия;

- какие виды бывают;

- свойства;

- применение в технике, искусстве, архитектуре.

2. Проведение серии опытов с лентой Мёбиуса;

3. Фиксация опытов в таблице и на видеофайлах;

4. Подготовка отчета-презентации.

Предмет исследования: лента Мёбиуса.

Объект исследования: свойства ленты Мёбиуса, позволяющие проводить занимательные опыты.

Методы работы над проектом:

1. Изучение литературы и иной информации по теме;

2. Моделирование односкрутных и многоскрутных лент Мёбиуса для проведения серии опытов;

3. Постановка и описание опытов, их видеофиксация.

План работы над проектом: Исследование выполняется поэтапно в соответствии с поставленными задачами.

2. Ход работы.

1. Основное содержание.

1 .1 Лента Мебиуса (или ее еще называют петля Мебиуса, лист Мебиуса и даже кольцо Мебиуса) – одна из наиболее известных в математике поверхностей. Это лента достаточной длины, концы которой нужно склеить, предварительно перевернув один конец. Изучением свойств ленты Мёбиуса занимается топология.¹

1.2 История открытия.

Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо друг от друга двумя немецкими математиками А.Ф. Мёбиусом (имя которого и получила лента) и И.Б. Листингом (ему повезло меньше) в 1858 году, хотя на самом деле похожий объект был изображен древними римлянами еще в III веке нашей эры.

Н емецкий геометр и астроном Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790 – 26.09.1868), профессор Лейпцигского университета, был учеником «короля математиков» Гаусса. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.
1.3 Свойства ленты Мебиуса.

Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона.

Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!

Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

1.4 Примеры применения в технике, искусстве, архитектуре, быту.

Лента Мёбиуса в искусстве.

Л ист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.
Лента Мёбиуса в технике.

Полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, изнашивается вдвое меньше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы увеличить время записи).

В матрицах принтера красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Лента Мёбиуса в архитектуре.

Ювелиры посвящают свои работы ленте Мёбиуса.

Примеры предметов быта в форме ленты Мёбиуса

М еждународный символ переработки представляет из себя лист Мёбиуса.

Он так же красуется на эмблеме механико-математического факультета МГУ.

1. Проведение и фиксация опытов с лентой Мёбиуса.

Заключение:

В результате работы я познакомился с интересным математическим объектом – лентой Мёбиуса, изучил её необыкновенные свойства, зная которые можно, например, подготовить и продемонстрировать интересные, простые, но зрелищные фокусы. Я рад поделиться своими открытиями с каждым. Теперь и вы при желании можете почувствовать себя немного волшебниками.

3. Источники информации

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0

2. https://to-name.ru/biography/avgust-mjobius.htm

3. https://kozelrozel.jimdofree.com/%D1%83%D0%B4%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BA%D0%B8/%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82-%D0%BC%D0%B5%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0/%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82-%D0%BC%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0-%D0%B2-%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%83%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5-%D0%B8-%D0%B0%D1%80%D1%85%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B5/

4. https://www.google.com/search?rlz=1C1GIVA_enRU969RU969&sxsrf=APq-WButKtA3kVbRUfDesmgTE75PbQuMPA:1650298858166&source=univ&tbm=isch&q=%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82+%D0%BC%D0%B5%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0+%D0%B2+%D1%8E%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%BC+%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5&fir=WwThsYekqW2VfM%252CPnMPoeI7JgD06M%252C_%253BDujg1zWxK_PxfM%252CPnMPoeI7JgD06M%252C_%253BftBdnNFOqkRZRM%252CUU_lKcvKd8IJbM%252C_%253BMGkp2yXWMz8OWM%252CUU_lKcvKd8IJbM%252C_%253B_f9SNnL1P3_jQM%252CUU_lKcvKd8IJbM%252C_%253B8FGgCcigHgGH-M%252CUU_lKcvKd8IJbM%252C_%253BLTqA_QE4QKLtXM%252Cs_WF2alfU3bNBM%252C_%253BmBJ1NWoMC1WNfM%252Ciu0AuNWbtwzpwM%252C_%253BTs-eOnJQhBcnsM%252CUU_lKcvKd8IJbM%252C_%253BkIqn-5XQMICTIM%252CNcKm8SHkClG5hM%252C_&usg=AI4_-kS8jANvIvC69jthDnQtjnTPaMEnOA&sa=X&ved=2ahUKEwi4_tqpgp73AhVL-yoKHZBiCnEQjJkEegQIGBAC&biw=1920&bih=969&dpr=1

Приложение 1

Опыт со склеенными кольцами.

При разрезании посередине второй пары колец получил два переплетенных сердечка, каждое из которых оказалось односкрутной лентой Мёбиуса.

1. Заготовил пары колец (обыкновенных и односкрутных лент Мёбиуса).

2. Склеил их под прямым углом.

3. Разрезал кольца посередине.

Результат опыта с простыми кольцами – рамка.

Приложение 2

Опыт с односкрутной лентой Мёбиуса №1.

1. Заготовил односкрутную ленту Мёбиуса.

2. Разрезал ее посередине.

Результат опыта – одно большое кольцо.

Опыт с односкрутной лентой Мёбиуса №2.

Результат опыта: два переплетенных кольца. Одно кольцо (тонкое) получилось большим, второе кольцо по размерам как было исходное.

1. Заготовил односкрутную ленту Мёбиуса.

2. Разрезал ее посередине на расстоянии 1 см от кромки.

Приложение 3

Опыт с двухскрутной лентой Мёбиуса.

1. Заготовил двухскрутную ленту Мёбиуса.

2. Разрезал ее посередине.

Результат опыта – два одинаковых переплетенных кольца.

Опыт с трехскрутной лентой Мёбиуса.

Результат опыта: кольцо с узелком. Узел можно переместить вдоль кольца, но избавиться от него нельзя.

1. Заготовил трехскрутную ленту Мёбиуса.

2. Разрезал ее посередине.

Приложение 4

Опыт с лентой Мёбиуса.

Результат опыта: линия замкнулась в той точке, в которой начиналась. При этом она прошла и снаружи и внутри кольца. У ленты Мёбиуса оказалась одна поверхность.

1. Заготовил ленту Мёбиуса.

2. Нарисовал точку и от этой точки начал рисовать непрерывную линию посередине кольца.

1^ Топология – раздел математики, изучающий в самом общем виде явления непрерывности (Википедия).

11