Проект по алгебре. Целая и дробная части числа.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Образовательный центр имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны» Энгельсского муниципального района
Саратовской области.

Индивидуальный годовой проект
по алгебре по теме: Целая и дробная части числа.

Выполнила: ученица 8Б Лаврентьева Арина.

Учитель: Затеева В.П.

 Г. Энгельс

2019

Введение.

Цель: Научится выполнять математические действие с целой и дробной части числа.

Задачи:

1. Познакомиться с понятиями целая и дробная части числа;

2. Рассмотреть функции вида: y=[x], y = {x}; y={{x}}.

3. Рассмотреть свойства функций с дробными и целыми частями числа;

4. научиться решать уравнения и неравенства, содержащие целую и дробную части числа.

Метод сбора информации:

1) Интернет

2) Учебные материалы

Данную информацию можно использовать на факультативах, на занятиях математических кружков и при подготовке к олимпиадам.

Ознакомление с целым и дробным частями числа.

Целая часть числа.

В математике, целая часть вещественного числа {\displaystyle x}- округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье, или пол. Наряду с полом существует парная функция -потолок -округление {\displaystyle x}до ближайшего целого в большую сторону.

Целая часть числа х обозначается символом [x] или Е(х). Например, [5] = 5, [π] = 3. Из определения следует, что [x] ≤ х, так как целая часть не превосходит х.

Дробная часть числа.

Дробная часть числа — кусочно-линейная функция, определённая на вещественных числах и равная разности между и целой частью (антье) числа. Следoвательнo, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тoгда как целая часть числа может принимать как

положительные значения, так и неположительные.

Дробная часть числа х обычно обозначается знаком {\displaystyle \{x\}}{x}. Согласно определению {x} = x – [x]

В некоторых современных калькуляторах имеется функция целой части числа INT. Для отрицательных чисел данная функция определяется как INT(-x) = -INT(x). Например, INT(-4,6) = -4.

Функции разных видов.

Функция вида y=[x].

Функция f(x)=[x] - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону», что я уже рассмотрела в прошлой главе.

Строим график данной функции.

1. D(F) = R;

2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть E(f)=Z;

3. f(−x) = [−x], следовательно, эта функция будет общего вида;

4. (0, 0) - единственная точка пересечения с осями координат;

5. f′(x)=0;

6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех x∈Z.

Функция вида y={x}.

Дробной частью {x} числа x называется разность между числом х и его целой частью: {x}=x - [x].

Строим график функции.

1. D(f)=R.

2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть E(f)=[0,1)

3. f(−x) = {−x}. Следовательно, данная функция будет общего вида.

Пересечение с осью x: (z,0), z∈Z

Пересечение с осью y: (0,0)

4. f′(x)=0

5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех x∈Z 

Функция вида y={{x}}.

С дробной частью тесно связана ещё одна функция: y={{x}} – расстояние от x до ближайшего целого числа. В отличие от дробной части y={{x}} непрерывна на области определения.

Свойства функций с дробными и целыми частями числа.

Свойства функции y=[x].

1. Область определения. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств. Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел: D([x]) = R.

2. Область значений. Множество значений функции y = [x], это множество целых чисел (по определению целой части числа). E ([x]) = Z

3. Чётность, нечётность. Функция общего вида, т.е. не выполняется ни условие четности: f (-x) = f (x), ни условие нечетности f (-x) = - f (x).

4. Периодичность. Функция y = [x] не периодическая.

5. Ограниченность. Функция неограниченна, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограниченно.

6. Непрерывность. Функция разрывная. Все целые значения x — точки разрыва с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Нули функции. Функция принимает значение 0 для всех x, принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Промежутки монотонности. Учитывая свойства целой части числа функция y = [x] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Промежутки монотонности. Функция y = [x] – кусочно-постоянная.

10. Точки экстремума. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Наибольшее и наименьшее значения функции. Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n; n+1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения. Наибольшего и наименьшего значения нет.

Свойства функции y={x}.

1. Область определения. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа: D{x} = R.

2. Область значений. Функция y = {x} принимает значения на интервале [0; 1), что следует из определения дробной части числа, т.е. E({x}) = [0; 1).

3. Чётность, нечётность. Функция общего вида, не выполняется ни условие четности f (-x) = f (x), ни условие нечетности f (-x) = - f (x)

4. Периодичность. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 1.

5. Ограниченность. Из области значений функции следует, что функция y = {x} ограничена.

6. Непрерывность. Функция y = {x} непрерывна на каждом интервале [n; n+1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Нули функции. Функция y = {x} обращается в 0 при всех целых значениях x, что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Промежутки монотонности. Функция y = {x} на всей области определения принимает только положительные значения.

9. Промежутки монотонности. Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n; n+1), где n — целое число.

10. Точки экстремума. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Наибольшее и наименьшее значения функции. На каждом интервале [n; n+1) функция y = {x} принимает наименьшее значение, равное нулю, в точке n.

Свойство функции y={{x}}

{{x}} = |{x + 0.5} – 0.5|

Решение неравенств и задач.

Простейшие уравнения.

К простейшим уравнениям относятся уравнения вида [х] = а.

Уравнения такого вида решаются по определению:

≤х

Если а - дробное число, то такое уравнение не будет иметь корней.

Рассмотрим пример решения одного из таких уравнений:

[х + 1,3] = - 5. По определению такое уравнение преобразуется в неравенство:

-5 ≤ х + 1,3

Это и будет являться решением уравнения.

Ответ: х [-6,3; -5,3).

Системы уравнений.

Рассмотрим систему уравнений: 2[x]+3[y]=8, 3[x]–[y]=1.

Ее можно решить методом сложения. Система 2[x]+3[y]=8, 9[x]–3[y]= 3. После сложения двух уравнений получаем 11[x]=11. Отсюда [x]=1. ). Подставим это значение в первое уравнение системы и получаем [y]=2. [x]=1 и [y]=2 – решения системы. То есть x принадлежит [1;2), y принадлежит [2;3

Ответ: x принадлежит [1;2), y принадлежит [2;3).

Графический способ решения уравнений.

[х] = 2{х}

Решим это уравнение графически. Построим графики функций     у = [х] и у = 2{х}. Найдём абсциссы точек их пересечения.

Ответ: х = 0; х = 1,5.

В некоторых случаях удобнее по графику найти ординаты точек пересечения графиков. Затем подставить полученное значение в одно из уравнений и найти искомые значения х.

Вывод.

Это очень сложная тема в математике, которую тяжело раскрыть в полной мере из-за большого количества информации. Было не просто разобраться в да

о при работе над проектом я разобралась в основах решения математических задач с целой и дробной частью числа.

Список литературы.

1) http://ru.wikipedia.org/wiki/Целая часть

2) http://dic.academic.ru

3) https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/12/29/uchebnoe-posobie-zadachi-soderzhashchie-tseluyu-i-drobnuyu-chast

4) https://mirznanii.com/a/313103/tselaya-i-drobnaya-chasti-deystvitelnogo-chisla/

5) https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/592690/

6) http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2014/Trapeznikov_Semjon.pdf

{\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }