Проект "Уравнения, содержащие знак абсолютной величины"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

основная общеобразовательная школа №8

города Советска Калининградской области

Уравнения,

содержащие знак

абсолютной

величины

Работу выполнила

Ученица 8 «А» класса

Шеремета Дарья

Руководитель

Кузьмина Елена Анатольевна

Введени е

Тема « Уравнения, содержащие знак абсолютной величины» выбрана для данной работы в связи с тем,

что в традиционной учебной

литературе, которую использовала я, данный

вопрос изложен не полно,

отсутствуют алгоритмы решения и не описаны приёмы.

В своей работе я попыталась предложить

варианты приёмов

решения и выделить один из них, как универсальный.

Составить алгоритм использования

универсальным приёмом.

Введени е

Поэтому основной целью моей работы является:

• исследование видов уравнений, содержащих знак абсолютной величины и систематизация приёмов решения;
• вооружение системой знаний по теме «Абсолютная величина»:
• формирование навыков применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

Объектом исследования является составление универсального алгоритма решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

В работе рассмотрены приемы решения линейных и квадратных уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

При работе над темой использовалась научная и учебно-методическая литература.

Определение и свойства

модуля

Модуль - одна из самых интересных и многогранных тем в математике. Хочу заметить, что практически все вступительные экзамены в вузы и тексты ЕГЭ содержат задания с модулем- уравнения, неравенства, графики.

Абсолютной величиной (или модулем)

действительного числа а называется само это число,

если оно неотрицательное, и это число, взятое

с противоположным знаком,

если оно отрицательное.

Модуль числа а обозначается так │а│.

Определение и свойства

модуля

1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число:

|а| ≥ 0.

2. Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю,

т.е. -|а| ≤ а ≤ |а|.

.

Теорема 1 .

Абсолютная величина действительного числа а равна большему из двух чисел а или – а.

Определение и свойства

модуля

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если а ≠ 0,  то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0.

Определение и свойства

модуля

График функции y=│x│,

который также имеет только положительные значения,

будет расположен в верхней полуплоскости, так называемая «галочка»

Метод подстановки

(по определению

абсолютной величины)

Дано уравнение:

│ 3х - 2 │ = 4

Т.к. 3х - 2 может быть и положительным и отрицательным, то

│ 3х - 2 │= 3х - 2

│ 3х - 2 │ = 2 - 3х

Подставим оба варианта в уравнение. Теперь:

3х-2=4 2 - 3х = 4

3х =6 - 3х = 2

х = 2 х = - 2/ 3

Дано уравнение:

│ Х│= х + 1

для решения этого уравнения построим графики у=│Х│ и у = х + 1

на координатной плоскости уОх.

Абсцисса точки пересечения графиков является корнем уравнения, следовательно: х = - 0, 5

Графический метод

Дано уравнение:

│ 5х - 13│- │6- 5х│= 7

Для решения этого уравнения каждое подмодульное выражение представим как отдельное уравнение:

│ 5х - 13│- │6- 5х│= 0

5х - 13= 0  6- 5х = 0

х = 2, 6 х = 1, 2

Теперь поставим значения х на числовую ось:

Метод интервалов

│ 5х - 13│- │6- 5х│= 7

Рассмотрим решение данного уравнения в каждом из образовавшихся интервалов.

1) х ( - ∞; 1, 2), тогда х = 0

5*0 - 13 = - 13 6 - 5 *0 = 6

В первом выражении получился отрицательный результат, а во втором положительный. Поэтому раскроем первое подмодульное выражение с минусом, а второе с плюсом. Тогда:

- (5х - 13) - (6- 5х) = 7

- 5х + 5х + 13- 6 = 7

7=7

Поэтому х- это любое число из этого интервала.

Теперь возьмём 2- ой интервал и проделаем то же самое, что и с 1- ым интервалом.

2) х [ 1, 2; 2, 6); х = 2

- (5х - 13) + (6- 5х) = 7

- 5х + 12 - 5х = 0

10х = 12

х= 1,2

Аналогично рассмотрим 3-ий интервал и проделаем тоже что и со 2-ым интервалом

3)  х [2, 6; +∞); х = 4

(5х - 13) + (6- 5х) = 7

5х - 5х - 13 + 6 - 7= 0

0 ≠ 14

значит, в этом интервале нет корней.

Объединим ответы и получим: х ( - ∞; 1, 2]

Ответ: ( - ∞; 1, 2].

│ 5х - 13│- │6- 5х│= 7

Рассмотрим решение данного уравнения в каждом из образовавшихся интервалов.

1) х ( - ∞; 1, 2), тогда х = 0

5*0 - 13 = - 13 6 - 5 *0 = 6

В первом выражении получился отрицательный результат, а во втором положительный. Поэтому раскроем первое подмодульное выражение с минусом, а второе с плюсом. Тогда:

- (5х - 13) - (6- 5х) = 7

- 5х + 5х + 13- 6 = 7

7=7

Поэтому х- это любое число из этого интервала.

Теперь возьмём 2- ой интервал и проделаем то же самое, что и с 1- ым интервалом.

2) х [ 1, 2; 2, 6); х = 2

- (5х - 13) + (6- 5х) = 7

- 5х + 12 - 5х = 0

10х = 12

х= 1,2

Аналогично рассмотрим 3-ий интервал и проделаем тоже что и со 2-ым интервалом

3)  х [2, 6; +∞); х = 4

(5х - 13) + (6- 5х) = 7

5х - 5х - 13 + 6 - 7= 0

0 ≠ 14

значит, в этом интервале нет корней.

Объединим ответы и получим: х ( - ∞; 1, 2]

Ответ: ( - ∞; 1, 2].

После решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины тремя способами Метод подстановки Графический метод Метод интервалов Я пришла к выводу, что универсальным способом решения уравнений является метод интервалов. Предлагаю рассмотреть алгоритм решения универсальным приемом.

Алгоритм решения уравнений,

содержащих знак абсолютной величины.

• Найти корни подмодульных выражений;

• Расположить корни на числовой прямой;

• Раскрыть модули в каждом из образовавшихся промежутков;

• Решить все получившиеся уравнения;

• Выбрать ответы, учитывая промежутки, в которых решается уравнение.

.

Алгоритм решения уравнений,

содержащих знак абсолютной величины.

• Найти корни подмодульных выражений;

• Расположить корни на числовой прямой;

.

• Раскрыть модули в каждом из образовавшихся промежутков;

• Решить все получившиеся уравнения;

• Выбрать ответы, учитывая промежутки, в которых решается уравнение.

Заключение

• В результате работы мне удалось:

• Предложить варианты приёмов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

• Исследовать виды уравнений, содержащих знак абсолютной величины, приёмы решения таких уравнений.

• Составить алгоритм решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Спасибо

За

Внимание!