Проект урока по теме "Многогранники. Правильные многогранники"

Этапы урока

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

Теоретическое обоснование

I этап. Организация урока

Взаимное приветствие, проверка готовности к уроку, организация внимания

Студенты настраиваются на активную работу на уроке

Подготовить студентов к работе на уроке

II этап. Актуализация опорных знаний

Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? Этот «треугольник» находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида. Знакомый всем нам с детства треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного. Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Самым простым многоугольником является треугольник. Но простым еще не значит неинтересным.

Что мы знаем о треугольнике?

1. Какие вы знаете треугольники?

Дедемонстрация слайдов (1-11).

2. Чему равна сумма углов в треугольнике?

3. Чему равны углы в равностороннем треугольнике

Равносторонние треугольники ещё называют правильными. Треугольники соединяясь друг с другом, могут образовывать другие фигуры: пять правильных треугольников, имеющих общую вершину, образуют правильный пятиугольник, шесть – правильный шестиугольник.

4. По какой формуле вычисляется угол в правильном многоугольнике?

5. Знаете ли вы формулы для вычисления S многоугольников?

Задание: Ко всем многоугольникам подберите формулы для вычисления их площади.

Демонстрация слайда.

Студенты отвечают на поставленные вопросы

Студенты называют формулы, известные им из курса планиметрия

Выявление качества и уровня знаний, приобретенных на предыдущих занятиях

Актуализация основных формул планиметрия

Решение устных задач.

Демонстрация слайдов:

А 1. Найдите катеты и

площадь, если АВ=7 .

С В

В 2. Найдите сторону

правильного треуголь-

ника, если его S=4 .

А С

Студенты решают устные задачи, дают ответы объясняя ход решения

3 . Диагональ квадрата 10

Найдите сторону и

площадь квадрата.

4. Найдите площадь правильного пятиугольника, если его сторона 8 см, радиус вписанной окружности 4 см.

5. Найдите площадь

прямоугольника РСЕК.

6 .Найдите угол правильного пятиугольника

Выявление качества и уровня знаний. Коррекция знаний.

III этап.

Мотивация учебной деятельности, сообщение темы и цели урока

Как вы думаете, могут ли треугольники, четырехугольники и т.д. соединяясь друг с другом, образовывать объемные фигуры?

Если сложить четыре трегольника, то получится объемная фигура – пирамида или тетраэдр.

А как называется фигура, составленная из 6 параллелограммов?

Демонстрация моделей тетраэдра и параллелепипеда.

Тетраэдр и параллелепипед относится к классу многогранников, с которыми сегодня мы более подробно и познакомимся.

Демонстрация слайда 12.

Тема урока:

«Понятие многогранника. Правильные многогранники».

Цель урока:

- ввести понятие многогранника, его основных элементов;

- ввести понятие правильного многогранника;

-рассмотреть виды правильных многоугольников;

- показать связь геометрии с окружающим миром.

Студенты записывают тему урока

Развитие познавательного интереса к изучаемому материалу.

IV этап. Изучение нового материала

Тетраэдр и параллелепипед – это многогранники, которые мы уже изучали. Чтобы вспомнить определение и основные элементы тетраэдра и параллелепипеда заслушали сообщения, подготовленные студентами группы

(Слайды 13-20)

Говорят, что геометрия вокруг нас. Скажите, в окружающей нас обстановке можно найти предметы, имеющие форму тетраэдра и параллелепипеда?

Обратите внимание, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело и отделяет это тело от остальной части пространства.

Запишим определение:

Поверхность, составленная из многогольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, называется многогранной поверхностью или многогранников. (Слайд 21).

Теория многогранников – это увлекательный раздел геометрии. С одной стороны, они имеют тысячилетнюю историю. Первые упоминания о многогранниках известны еще у египтян и вавилонян за 3000 лет до нашей эры. В то же время теория многогранников – современный раздел математики, который имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, в есстествознании, в бурно развивающихся в последние десятилетия областях прикладной математике – линейном програм-мировании, теории оптимального управления. Поэтому знания, полученные на уроке, вам обязательно пригодятся, ведь вы – будущие экономисты и бухгалтеры. Таким образом, изучение элементов и основных свойств многогран-ников имеет важное значение.

Студенты делают сообщения по темам «Тетраэдр и его основные свойства»; «Параллелепипед и его основные свойства»

Приводят примеры из курса химии: форму тетраэдра имеет атом углерода; куба – кристаллическая решетка поваренной соли; форму тетраэдра и параллелепипеда имеют упаковки, в которых продают молоко и йогурты.

Студенты ведут записи в тетрадях.

Сообщения сопровождаются демонстрацией слайдов и моделей, что способствует эффективному воспроизведению знаний.

Осуществление межпредметных связей.

Развитие интереса к изучаемому материалу через будущую профессию «Экономика и бухгалтерский учет»

Рассмотрим основные элементы многогранников.

Демонстрация моделей многогранников.

Вопросы:

1. Как называются многоуголь-ники, из которых составлен многогранник?

2. Как называются стороны многоугольников?

3. Как называются концы ребер?

4. Как называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани?

5. Как найти площадь поверхности многогранника?

Все многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые.

Демонстрация моделей.

Опр. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскостикаждой его грани.

Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360^о.

Если разрезать многогранник вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуть так, чтобы они оказались расположенными в одной плоскости α, то видно, что сумма всех плоских углов при вершине А меньше 360^о. (Слайд 22).

Общее доказательство этого утверждения изложил в «Элементах геометрии» французский математик Лежандр.

Студенты отвечают на вопросы

Студенты сравнивают модели, анализируют, делают вывод и формируют определение выпуклого и невыпуклого многогранников.

студенты записывают вывод в тетради

Подготовка студентов к исследовательской работе.

Развитие логического мышления, отработка навыков сравнения, обобщения, умения формировать знания.

Среди выпуклых многогранников выделяют правильные многогранники. (Слайд 23).

Примером правильного многогранника является куб.

Что представляют собой грани куба? Сколько ребер сходится к каждой вершине куба?

Таким образом, Выпуклый многог-ранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер (Слайд 24).

Существуют и другие правильные многогранники: октаэдр, додепаэдр, икосаэдр, правильный тетраэдр.

(Демонстрация моделей и разверток)

Элементами любого многогранника являются грани, ребра, вершины. Сейчас каждой группе предлагается провести небольшое исследование

Задание: (Слайд 25)

1. Определить название многогранника.

2. Подсчитать число граней, ребер и вершин.

3. Вывести формулу для вычисления площади поверхности многогранника, считая ребро равным а.

4. Подсчитать на сколько сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер. Г+В-Р = ?

Итак, для всех многогранников мы получили один и тот же результат Г+В-Р=2

Доказал это удивительное соотношение один из величайших математикоы – Леонард Эйлер, поэтому формула названа его именем – формула Эйлера. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его своим соотечественником.

(Демонстрация слайда 32)

студенты рассматривают модель куба, отвечают на вопросы и делают вывод, затем формируют определение правильного многогранника.

Каждая группа проводит исследование и дает ответы на поставленные вопросы.

Ответы сопровождаются демонстрацией слайдов 26-31.

формирование умения анализировать, обобщать и делать выводы, развитие математической речи.

Обеспечение развития пространственного воображения, логического мышления, умения применять полученные знания и делать выводы.

Расширение кругозора студентов.

Мы познакомились с 5-ю видами равильных многогранников.

Как вы думаете, а существуют правильные многогранники, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники?

История правильных многогранни-ков уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками увлекались еще Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство и гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божест-венными фигурами и использовали их в своих философских сочинени-ях о существе мира. У пифагорей-цев четыре многогранника олицет-воряли 4 стихии: тетраэдр – огонь; гексаэдр – земля; октаэдр – воздух; икосаэдр – вода. А вся вселенная имела форму додепаэдра, который воплощал в себе все «сущее» сим-волизировал все мироздания, почи-тался главнейшим. Позже учение пифагорейцев изложил в своих тру-дах древнегреческий ученый фило-соф-идеалист Платон. Он не был математиком и не получил никаких результатов в этой науке, но в своих многочисленных произведениях любил говорить о математике и часто ссылался на нее. Платон изложил учения пифагорейцев о правильных многог-ранниках. С тех пор правильные многогранники стали называть платоновыми телами.

Студенты высказывают свои предположения.

Пусть n-6. В правильном шестиугольнике угол равен 120^о, при каждой вершине мно-гогранника должно быть не менее трех плоских углов, тогда 120^ох3=360^о, но это невозможно, т.к. сумма все плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 ^о. Значит, не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиуголь-ники, семиугольники и вообще n-угольники

Развитие умения выдвигать гипотезы, последовательно излагать свои мысли, применяя ранее полученные знания и сделав анализ, формулировать выводы. Развитие грамотной математической речи.

Развитие интереса к изучаемому материалу через исторический материал.

(Демонстрация слайдов 33-42)

Презентация «Многогранники вокруг нас»

Демонстрация презентации подготовленной студентами.

Расширение кругозора студентов

V этап. Закрепление изученного материала

Решение задач различного уровня сложности.

Каждой группе предлагается решить задачи:

ур. А: №279

ур. Б: №281

ур. В: Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит 4 ребра. Сколько он имеет вершин и уровней, если число ребер равно 12? (слайд 43)

Студенты каждой группы решают задачи и оформляют решение на доске.

Ур. В: Решение.

Т.к. каждое ребро принадлежит двум вершинам и по условию задачи к каждой вершине сходится 4 ребра, значит Вх4=2х12,

В= По Т.Эйлера Г+В-Р=2

Г+6-12=2; Г=12

Значит Г=8, В=6, Р=12, это может быть октаэдр.

Обеспечение развития пространственного воображения, логического мышления, формирование графических умений, умения применять полученные знания на практике.

VI этап. Обобщение и систематизация знаний

Тестирование студентов – задания различного уровня сложности А,Б,В в 5 вариантах.

Студенты выполняют задания тестов. проверяют, используя таблицу ответов.

Осуществление контроля, установление уровня усвоения материала, формирование навыков самостоятельной деятельности.

VII этап. Сообщение домашнего задания

§§27, 36, 37.

А: №280

Б: №287

Творческие задания:

1. Изготовить модели правильных многогранников. №271-275

2. Подготовить презентацию «Элементы симметрии правильных многогранников» (Слайды 44-46)

дома студенты выполняют домашнее

задание

Обеспечение желания выполнить задания более сложного уровня

VIII этап. Подведение итогов урока. Оценка деятельности студентов

Оценить работу студентов на уроке. Выставить оценки за работу каждой группе и отметить работу наиболее активных студентов.

Студенты оценивают свою работу на уроке

Констатация достигнутых результатов и достижения поставленных целей.

1

2

3

4

5

Вариант 1

В

Б

А

В

Б

Вариант 2

Б

А

Б

Б

А

Вариант 3

В

А

Б

В

В

Вариант 4

В

А

Б

А

В

Вариант 5

Б

А

В

В

Б