Проект "Все загадки и применение бутылки Клейна"

Все загадки и применение бутылки Клейна

Бутылка Клейна была открыта в 1882 году Феликсом Клейном и с тех пор входит в галерею любопытных математических форм. Бутылка является односторонней поверхностью - как так называемая лента Мебиуса - но еще и более увлекательная, так как она закрыта и не имеет границ, и у неё нет ни внутренней, ни наружной поверхности. Следуя Клейну мы используем визуальные модели, чтобы изучить эту поверхность.

Лента Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, и легко делается из полосы бумаги. Отметьте две стороны бумаги – например, поставьте красные точки на одной стороне и зелёные на другой. Теперь возьмите два конца полосы и соедините их вместе после того, как перекрутите полоску, так чтобы сторона с красными точками соединилась со стороной с зелёными. Это лента Мёбиуса, и перемещение вдоль поверхности приведет нас и к красным, и к зелёным точкам, не пересекая границу.

Эта лента была обнаружена в 1858 году немецким астрономом и математиком Мёбиусом. Она всё время является двусторонней поверхностью, даже если количество перекрутов более одного, но их количество нечётно.

Топология- это математическая дисциплина, которая исследует те свойства фигур, которые не изменяются при непрерывном изгибе и растяжении. Например, если лента Мебиуса выполнена из резинового листа, и мы растянем его немного, не нарушая соединения, она все равно будет односторонней поверхностью. В отличие от этого, если бы мы склеили бы два конца ленты без скручивания, в результате цилиндрическая лента была бы топологически отличным двусторонним цилиндром.

Несмотря на свою простоту лента Мёбиуса была подлинным математическим открытием. Рассуждая о ориентируемости поверхностей, она является одним из ключей к пониманию и классификации поверхностей и их многообразия в топологии.

Следующий задачей в топологии было избавление от оставшейся границы ленты Мёбиуса для получения замкнутой поверхности. Самым простым решением было бы использовать резиновую ленту Мебиуса и стянуть все граничные точки вместе, так же, как мы можем соединить точки окружности к конусу. Но если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость. В то же время если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. Проективной плоскостью называется простейшая закрытая одностороння поверхность. К сожалению, геометрические реализации проективной плоскости являются весьма сложными. Так, например, их не было до 1903 года, когда Werner Boy, по предложению David Hilbert, нашел геометрическую реализацию проективной плоскости, которая не имеет острых углов или кромок.

Конструкция тора – форма пончика - начинается с листа бумаги: скручиваем его в цилиндр, а затем сгибаем оба конца, чтобы закрыть фигуру. Внешняя и внутренняя часть цилиндра не соединены. Поэтому тор является двухсторонней поверхностью.

Мы могли бы также использовать цилиндр, чтобы сделать бутылку Клейна. Вместо того чтобы добавлять скручивание, как мы это делали при создании ленты Мёбиуса из полосы бумаги, мы просовываваем один конец цилиндра обратно через него и приклеиваем его к другому концу. Для достижения этой цели с приятной для восприятия формой мы регулируем толщину цилиндра. Это позволяет приклеить один край к другому, и получить одностороннюю поверхность. На картинке ниже я использовал белый и зеленый, чтобы различать две стороны первоначального цилиндра. Когда бутылка Клейна закончена, цвета по-прежнему показывают, где цилиндр склеен между собой.

В своей оригинальной работе, Клейн представил бутылку в качестве «некоторой неограниченной двойной поверхности», которая «может быть визуализирована переворачивая кусок резиновой трубки и позволяя ему пройти через себя, так, чтобы его внутренняя и внешняя часть встречались».

К сожалению, бутылка Клейна не ограничивает объем - другими словами, у неё нет нутра. Это означает, что вы могли бы поставить в два раза больше сахара на пончик в виде бутылки Клейна, нежели на пончик в виде торуса, но в нём не будет внутри теста!

При изучении ленты Мёбиуса или бутылки Клейна, ориентируемость и односторонность имеют большое значение. Поверхность является односторонней, если вы можете ходить по поверхности и достичь обе стороны каждой точки поверхности. Большинство поверхностей в природе являются двусторонними. Например, круглая сфера является двусторонней, которая гарантирует, что мы всегда идём по внешней части Земли, и никогда не зайдём внутрь. Аналогичным образом, тор в форме колеса, крендель, и, вообще говоря, все поверхности, имеющие заполнение, являются двусторонними.

В природе мы обычно не видим односторонних поверхностей, и помните, что первая односторонняя поверхность, найденная Мёбиусом была абстрактной математической конструкцией. Строя перпендикулярные стрелки (нормальные векторы) вдоль ленты Мёбиуса на этой иллюстрации бутылки Клейна мы подчёркиваем ее односторонность: непрерывным движением мы можем двигать стрелки для обеих сторон поверхности от точки к точке, а это означает, что мы не можем различить её верх и низ. К сожалению, само понятие односторонности зависит от окружающего пространства - например, замкнутые кривые (петли) в 3-х мерном пространстве не имеют стороны, хотя в 2-х мерном они есть.

Поверхность называется ориентируемой, если рисунок на ней не может быть преобразован в его зеркальное отражение, просто перемещаясь вдоль поверхности. Рассмотрим рисунок на иллюстрации. Если переместить его вдоль ленты Мёбиуса, то он предстанет перед нами в его зеркальном отражении (как в горизонтали, так и вертикали). Это означает, что лента Мёбиуса неориентируемая. Понятие ориентируемости распространяется на многомерных пространствах, например, в неориентируемой 3-мерной вселенной было бы способ бросить правую перчатку так, чтобы она вернулась к вам левой!

В отличие от односторонности, ориентируемость является внутренним свойством и не требует, чтобы поверхность была встроена в окружающее пространство. Поскольку топологи разработали способы, чтобы представлять фигуры без окружающего пространства, понятие ориентируемости в целом гораздо более применимо, чем у односторонности. Тем не менее, для поверхностей в нашем 3-х мерном мире односторонность является очень естественным понятием.

Когда Клейн стал профессором в Лейпциге в 1880 году, он сразу же начал приобретать математические модели и пополнять их коллекцию. Клейн был геометр и использовал эти гипсовые модели в своих университетских лекциях. Коллекция моделей стала очень популярной во всем мире. Когда он затем переехал в Геттинген, Клейн, вместе со своим коллегой Hermann Amandus Schwarz, его коллекция была настолько большой, что сотни моделей были на постоянной экспозиции. При том, что модель может стоить около £ 150, это было достаточно большой инвестицией в образование.

После успеха математических моделей, в 1893 году прусское правительство решило принять участие в Всемирной Колумбовой Выставке в Чикаго с университетской выставкой. Клейн и его бывший студент Дейк организовали выставку математики, включая около сотни математических моделей и инструментов. Производство математических моделей издателем Martin Schilling, и другими остановилось в начале 20-го века, но многие из гипсовых форм все еще находятся в университетских математических факультетах. Фотографии многих гипсовых моделей также доступны в Интернете. В настоящее время, такие хранилища, как Electronic Geometry Models journal, размещённое в Берлине, предоставляют цифровые модели в качестве источника для математических экспериментов.