Программа элективного курса "Уравнения, неравенства, функции: просто, сложно, интересно"

Программа элективного курса по математике

«Уравнения, неравенства, функции: просто, сложно, интересно»

Возраст учащихся: 8 – 9 классы

Срок реализации: 1 – 2 года

г. Мурманск, 2016 год

Разработчик:

Кришталь Е.Н., учитель математики МБОУ г.Мурманска «Лицей № 2»

Пояснительная записка

Элективный курс «Уравнения, неравенства, функции: просто, сложно, интересно» предназначен для работы с учащимися общеобразовательных организаций 8– 9–х классов с повышенными образовательными потребностями. Срок реализации программы – 1 – 2 года.

Курс «Уравнения, неравенства, функции: просто, сложно, интересно» направлен на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и способностей учащихся.

Цель программы: организации систематического повторения курса алгебры основной школы

Задачи программы:

• удовлетворение индивидуальных потребностей учащихся в интеллектуальном развитии;

• развитие мотивации учащихся к интеллектуальной деятельности;

• формирование активной, самостоятельной личности.

Форма реализации программы: программа может быть реализована в следующих формах:

• очная;

• очно-заочная, в том числе с использованием дистанционных технологий.

Объем программы: 68 календарных часов, в том числе:

• при очной организации – 68 календарных часов;

• при очно-заочной организации – 68 календарных часов, в том числе 50 аудиторных и 18 часов с использованием дистанционных технологий.

Форма проведения учебных аудиторных занятий – групповая.

Программа составлена на основе обязательного минимума содержания основного общего образования по математике. Основная методическая линия курса – организация самостоятельной работы учащихся, при направляющей роли учителя.

Изучая данный курс, учащиеся знакомятся с рациональными способами решения тех или иных заданий, с дополнительными формулами и приемами, облегчающими процесс выполнения заданий. На занятиях рассматриваются наиболее ценные, содержательные и поучительные задачи, проверяющие не только подготовку учащихся, но и их умение мыслить в нестандартной ситуации.

Планируемые результаты обучения

Девятиклассники, изучившие данный материал, смогут реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации по математике в форме ОГЭ.

Результат обучения выражается в повышении математической культуры, в проявлении умения применять полученные знания для решения различных задач.

В ходе освоения программы учащийся

Узнает (поймёт) значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики; значение идей, методов и результатов алгебры для построения моделей и описания с помощью них математических задач, а также реальных процессов и ситуаций; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях; роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; вероятностный характер различных процессов; роль функционально-графических и аналитических методов для решения различных классов как математических, так и прикладных задач.

2. Научится решать уравнения, неравенства и системы уравнений, в том числе и с параметрами, алгебраическими методами, с применением графических представлений, свойств функции, производной, а также их комбинаций; проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы; применять понятия, связанные с делимостью чисел, при решении математических задач; решать вероятностно-комбинаторные задачи.

3. Овладеет эффективными формами и методами самостоятельной работы и интеллектуальной деятельности, будет готов самостоятельно планировать пути достижения целей, в том числе альтернативные, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.

4. Сможет самостоятельно ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности.

В результате изучения курса учащиеся приобретут умения:

• анализировать и выбирать оптимальные способы решения различных задач;

• логически мыслить, рассуждать, выдвигать гипотезы, делать выводы, обосновывать полученные результаты;

• отстаивать своё мнение по выбору способа решения нестандартных задач;

• работать с различными источниками информации;

• самостоятельно получать и применять знания.

В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий.

Методика преподавания данного курса предполагает уровневую дифференциацию, которая задает различную глубину освоения фиксированного содержания и достижения различных уровней планируемых результатов обучения.

Основные формы учебных занятий: лекция, объяснение, беседа, практическая работа, семинар. Разнообразный дидактический материал даёт возможность отбирать дополнительные задания.

Методическое обеспечение учебного процесса

Программно- методическое обеспечение элективного курса включает в себя: 

• программу курса; 

• комплект проверочных работ по всем темам курса;

• комплект интерактивных плакатов по некоторым темам курса (числа и вычисления, уравнения, неравенства, функции);

• набор задач с практическим содержанием по различным темам курса;

• информационно-содержательную основу реализуемого курса (список литературы).

Учебный процесс может поддерживаться различными учебными пособиями по курсу алгебры основной школы, учебно–методическим комплектом для учителя и конспект–тетрадью для учащихся. 

Следует отметить, что в рамках технологической поддержки (УМК) курса большая роль отводится разным методическим конструкциям использования современных телекоммуникационных технологий, предлагаются видео–уроки, проекты, презентации. 

Материально-техническое обеспечение

1. Информационные образовательные ресурсы:

• http://reshuege.ru/

• http://alexlarin.net/

• http://www.ctege.info/

• http://ege-ok.ru/

• http://ege-study.ru/c5-zadachi-s-parametrami/

• http://infourok.ru/

1. Техническое оборудование:

• интерактивная доска,

• медиапроектор,

• мобильный компьютерный класс (10 ноутбуков + 1 учительский ноутбук с возможностью выхода в интернет посредством Wi-fi).

Целью аттестации по данному курсу является констатация личных достижений учащихся по освоению содержания, а также качественная оценка самостоятельно выполненных проверочных работ и итоговой работы. Если учащийся освоил теоретический материал курса, принял активное участие в практикумах и семинарах, успешно выполнил проверочные и итоговую работу, то он получает зачёт. В противном случае учащийся получает незачёт.

Содержание курса

1. Числа и вычисления. (6 часов)

Арифметические действия с действительными числами. Свойства арифметических действий. Изображение чисел точками на координатной прямой.

Определение и свойства арифметического квадратного корня.

Основные задачи на проценты. Решение текстовых задач арифметическими способами.

Прикидка и оценка результатов вычислений.

Запись числа в стандартном виде.

1. Алгебраические выражения. (10 часов)

Буквенные выражения. Числовые подстановки в буквенные выражения. Вычисления по формулам.

Свойства степени с целым показателем.

Действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение). Разложение многочленов на множители.

Алгебраические дроби. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Сокращение дробей.

1. Уравнения и неравенства (20 часов)

Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений.

Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение нелинейных систем. Графическая интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач методом составления уравнений.

Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства с одной переменной.

1. Числовые последовательности. (6 часов)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена и суммы первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

1. Функции и графики. (16 часов)

Прямоугольная система координат на плоскости.

Функция. Область определения и область значений функции. График функции. Возрастание, убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значения. Чтение графиков функций.

Функции: , их свойства и графики.

Использование графиков функций для решения уравнений и систем.

Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы. Числовые функции, описывающие эти процессы.

1. Задачи основного государственного экзамена. (10 часов)

Практикум по решению задач, относящихся ко второй части заданий, входящих в контрольно измерительные материалы ОГЭ прошлых лет. Анализ методов решения заданий.

Учебно-тематическое планирование

Проверочные работы

Проверочная работа № 1 по теме

«Числа и вычисления»

1. Найдите значение выражения:

2. Найдите значение выражения:  

3. Найдите значение выражения при

4. Со­от­не­си­те обык­но­вен­ные дроби с рав­ны­ми им де­ся­тич­ны­ми.

1. А	Б	В	Г

   За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

1. Значение какого из выражений является числом иррациональным?

1. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу . Какая это точка?

3. 

1. Точка А

2. Точка В

3. Точка С

4. Точка D

2. Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25-процентной скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

4. Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 гектара и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении . Сколько гектаров занимают овощные культуры?

6. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле , где  — число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 20 колец. Ответ укажите в рублях.

8. Между какими соседними целыми числами заключено значение выражения:

9. 

10. Ответы к работе:

1. 

2. 

3. 

4. 4312

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Значение выражения заключено между числами 1 и 2.

7. Проверочная работа № 2 по теме

8. «Алгебраические выражения»

1. В какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний можно пре­об­ра­зо­вать дробь   

1. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та

1. Пред­ставь­те вы­ра­же­ние   в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем .

2. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1. Раз­ло­жи­те на мно­жи­те­ли:  .

2. Сократите дробь

3. Сократите дробь

4. Сократите дробь

5. Со­кра­ти­те дробь  

6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при  

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние:    

8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при  

2. Ответы к работе:

1. 1

2. 1

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 84

8. 

9. 

10. 

3. Проверочная работа № 3 по теме

4. «Уравнения и неравенства»

1. Ре­ши­те урав­не­ние  

2. Ре­ши­те урав­не­ние  .

3. Урав­не­ние   имеет корни . Най­ди­те

4. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

6. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  

1. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1. Решите неравенство

2. Решить систему уравнений

3. Найти область определения выражения

4. Рас­сто­я­ние между двумя при­ста­ня­ми по реке равно 80 км. Катер прошёл от одной при­ста­ни до дру­гой, сде­лал сто­ян­ку на 1 ч 20 мин и вер­нул­ся об­рат­но. Всё пу­те­ше­ствие за­ня­ло  часа. Най­ди­те ско­рость те­че­ния реки, если извест­но, что ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде равна 18 км/ч.

5. Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 76 км и после стоян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 3 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 1 час, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 20 часов после от­плы­тия из него.

7. Ответы к работе:

1. 

21. Проверочная работа № 4

22. по теме «Числовые последовательности»

1. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­я­ми:

1.   . Най­ди­те сумму пер­вых 19 её чле­нов.

1. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем . Найдите .

2. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой   Сколь­ко чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 2?

3. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

4. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 35 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 1 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в три­на­дца­том ряду?

5. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем .  Най­ди­те сумму пер­вых её 4 чле­нов.

6. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем . Найди­те сумму пер­вых 5 её чле­нов.

7. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: Най­ди­те её пятый член.

8. Какая из сле­ду­ю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской прогресси­ей?

1. По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных сте­пе­ней числа 2.

2. По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, крат­ных 5.

3. По­сле­до­ва­тель­ность кубов на­ту­раль­ных чисел.

4. По­сле­до­ва­тель­ность всех пра­виль­ных дро­бей, чис­ли­тель ко­то­рых на 1 мень­ше зна­ме­на­те­ля.

1. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1. По­сле­до­ва­тель­но­сти за­да­ны не­сколь­ки­ми пер­вы­ми чле­на­ми. Одна из них — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. Ука­жи­те ее.

1. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­я­ми: . Какое из дан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой про­грес­сии?

1. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия , зна­ме­на­тель ко­то­рой равен , . Най­ди­те .

2. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия , зна­ме­на­тель ко­то­рой равен , а  .  Най­ди­те сумму пер­вых 6 её чле­нов.

3. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –

4. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой . Какое из сле­ду­ю­щих чисел не яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

1. Ответы к работе:

7. Проверочная работа № 5

8. по теме «Функции и графики»

1. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1. Гра­фи­ки

2.  

   А)	Б)	В)

3.   

4. Фор­му­лы

1. А	Б	В

   За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

1. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки вида   Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов и .

1. Гра­фи­ки

2.  

4.  

5.  Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1. За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

2. А	Б	В

5.  

1. Най­ди­те зна­че­ние   по гра­фи­ку функ­ции

1. , изоб­ра­жен­но­му на ри­сун­ке.

1. 

2. 

3. 2

4. 3

1. Пер­вая пря­мая про­хо­дит через точки   и . Вто­рая пря­мая про­хо­дит через точки   и . Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты общей точки этих двух пря­мых.

2. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки . Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

3. По­строй­те гра­фик функ­ции   и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях   пря­мая   имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

4. При каких зна­че­ни­ях   вер­ши­ны па­ра­бол

1.   и   рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от оси абсцисс?

1. По­строй­те гра­фик функ­ции   и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком три общие точки.

2. По­строй­те гра­фик функ­ции   и най­ди­те все зна­че­ния , при ко­то­рых он имеет ровно три общие точки с пря­мой  .

3. При каких значениях сумма квадратов корней уравнения

1. является наименьшей? Чему равна эта сумма?

2. Ответы к работе:

1. Итоговая работа

2. Часть 1

1. За­пи­ши­те но­ме­ра вер­ных ра­венств.

1. Но­ме­ра за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

1. Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний по­ло­жи­тель­но, если из­вест­но, что ?

2. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа  и .

4. Какая из раз­но­стей  по­ло­жи­тель­на?

5. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1. 

2. 

3. 

4. ни одна из них

1. Пред­ставь­те вы­ра­же­ние   в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем .

2. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1. Ре­ши­те урав­не­ние  

2. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и про­ме­жут­ка­ми, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния вы­пол­ня­ют­ся. Впи­ши­те в приведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

1. Функция возрастает на промежутке

2. Функция убывает на промежутке

1. [0; 3]

2. [−1; 1]

3. [2; 4]

4. [1; 4]

1. А	Б

   За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

1. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на усло­ви­я­ми .  Най­ди­те  

2. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при   

2. Ре­ши­те не­ра­вен­ство .

3. Из фор­му­лы цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния   най­ди­те  (в метрах), если  и .

4. Часть 2

5. Ре­ши­те урав­не­ние  

6. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 40%, и второ­го рас­тво­ра этой же соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 65%, по­лу­чи­ли раствор, со­дер­жа­щий 60% соли. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

7. Най­ди­те все зна­че­ния   при каж­дом из ко­то­рых пря­мая   имеет с гра­фи­ком функ­ции   ровно одну общую точку. По­строй­те этот гра­фик и все пря­мые.

8. Ответы к итоговой работе:

25. Задачи с практическим содержанием.

1. Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той  Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка  боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну   (Гц), где   — ско­рость звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на платфор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся не менее, чем на 7 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а  м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

1. Ответ: 3,5

1. При тем­пе­ра­ту­ре  рельс имеет длину  м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну  , где  — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния,  — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 9 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

1. Ответ: 62,5

1. Для сма­ты­ва­ния ка­бе­ля на за­во­де ис­поль­зу­ют лебeдку, ко­то­рая равноускорен­но на­ма­ты­ва­ет ка­бель на ка­туш­ку. Угол, на ко­то­рый поворачива­ет­ся ка­туш­ка, из­ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну  , где   — время в ми­ну­тах,   — на­чаль­ная уг­ло­вая ско­рость враще­ния ка­туш­ки, а  — уг­ло­вое уско­ре­ние, с ко­то­рым наматыва­ет­ся ка­бель. Ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить ход его на­мот­ки не позже того мо­мен­та, когда угол на­мот­ки   до­стиг­нет . Опре­де­ли­те время после на­ча­ла ра­бо­ты лебeдки, не позже ко­то­ро­го ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить еe ра­бо­ту. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

1. Ответ: 30

1. К ис­точ­ни­ку с ЭДС  В и внут­рен­ним со­про­тив­ле­ни­ем  Ом, хотят под­клю­чить на­груз­ку с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. На­пря­же­ние на этой нагруз­ке, вы­ра­жа­е­мое в воль­тах, даeтся фор­му­лой  . При каком наимень­шем зна­че­нии со­про­тив­ле­ния на­груз­ки на­пря­же­ние на ней будет не менее 60 В? Ответ вы­ра­зи­те в Омах.

1. Ответ: 1,6

1. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для нагревательно­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на эксперименталь­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся выра­же­ни­ем , где  — время в минутах,  ,  ,  . Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

1. Ответ: 4

2. Литература:

1. Материалы курса «Экзамен для девятиклассников: содержание алгебраической подготовки» : лекции 1 – 4. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. — 96 с.

2. Материалы курса «Экзамен для девятиклассников: содержание алгебраической подготовки» : лекции 5 – 8. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. — 76 с.

3. Кузнецова Л.В. и др. Математика: сб.заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 кл. –М.: Просвещение. 2012.

4. Кузнецова Л.В. и др. Математика: ГИА: учебно-справочные материалы для 9 кл. –М.; СПб.: Просвещение. 2012. (Серия «Итоговый контроль: ГИА»).

5. Панарина В.И. Алгебра. 7 класс. Текущий контроль.– М.: Издательство «Национальное образование», 2015. – 96 с. : ил. + прил. 24с. – (Национальная контрольно-диагностическая лаборатория).

6. Панарина В.И. Алгебра. 8 класс. Текущий контроль.– М.: Издательство «Национальное образование», 2015. – 96 с. : ил. + прил. 24с. – (Национальная контрольно-диагностическая лаборатория).

7. Мирошин В.В. Алгебра. 9 класс. Текущий контроль.– М.: Издательство «Национальное образование», 2015. – 96 с. : ил. + прил. 24с. – (Национальная контрольно-диагностическая лаборатория).

8. Репетиционные варианты. Основной государственный экзамен 2015. Математика. 12 вариантов. Учебное пособие. / А.В. Семёнов, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко; под. ред. И.В. Ященко; Федеральный институт педагогических измерений. – М.: Интеллект-Центр, 2015. – 80 с.

9. Материалы сайта http://fipi.ru/

10. Материалы сайта «РЕШУ ЕГЭ»: математика http://reshuege.ru/

11. Материалы сайта http://alexlarin.net/

10

неравенства

Сравнение чисел

Числовые промежутки

Пересечение и объединение

Решение неравенств

Системы неравенств

Сравнение чисел

• Сравнение чисел:

• сравнение обыкновенных дробей (приведение к общему знаменателю)
• сравнение десятичных дробей (по разрядам)
• сравнение дробей (приведение к одному виду)
• сравнение отрицательных чисел (по модулям)
• При помощи координатной прямой.

2. Сравнение чисел

• Число a больше числа b, если разность a-b – положительное число.

• Число a меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число.

• Число a равно числу b, если разность a-b – равна нулю.

Числовые промежутки

неравенство, задающее числовой промежуток

обозначение числового промежутка

изображение числового промежутка на координатной прямой

-2

5

x

7

1

Пересечение числовых промежутков

Объединение числовых промежутков

Свойства числовых неравенств

• Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

• Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

• Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

План решения системы неравенств

• Каждое неравенство решить отдельно.
• Изобразить решения всех неравенств на одной числовой прямой.
• Найти пересечение решений неравенств.
• В ответ записать общее решение.

Образец решения

3

-1,5

Уравнения и системы уравнений

линейное

квадратное

рациональное

системы уравнений

Линейное уравнение

• Уравнение вида , где называется линейным уравнением с одной переменной.
• Если , то уравнение корней не имеет.
• Если , то уравнение имеет один корень ( ).
• Если и , то уравнение имеет бесконечно много корней.

Квадратные уравнения

Уравнение вида , где

числа, - переменная, называется квадратным уравнением.

Если в квадратном уравнении один из коэффициентов или равен 0, то уравнение называется неполным квадратным уравнением.

полное

неполное

приведённое

решение неполных квадратных уравнений

Решение полных квадратных уравнений

Решение приведённых квадратных уравнений

Теорема Виета

План решения дробных рациональных уравнений

План решения дробных рациональных уравнений

• О.Д.З.!
• Справа ноль.
• Общий знаменатель.
• Числитель равен нулю.
• Упростить полученное уравнение.
• Решить квадратное уравнение.
• Проверка.
• Ответ.

Системы уравнений

Линейное уравнение

с двумя переменными

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

• Уравнение вида , где

– числа, – переменные, называется линейным уравнением с двумя переменными.

• Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара чисел , которая обращает уравнение в верное равенство.
• Все решения линейного уравнения с двумя переменными располагаются на прямой – графике этого уравнения.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными

Способ подстановки

Способ сложения

Графический способ

Способ подстановки (алгоритм)

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Сделать проверку
• Записать ответ

Способ сложения (алгоритм)

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
• Сделать проверку
• Записать ответ

Графический Способ (алгоритм)

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ

Функции и графики

Обратная пропорциональность

Линейная функция

Квадратичная функция

Линейная функция

Функция вида , где и - числа, называется линейной функцией

Графиком линейной функции является прямая.

Расположение графика

Прямая пропорциональность

Обратная пропорциональность

Функция вида , где - число,

называется обратной пропорциональностью.

Графиком линейной функции является гипербола.

Расположение графика

Квадратичная функция

Функция вида , где , , - числа, называется квадратичной функцией

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции

Расположение графи ка

Вершина

Нули

Возрастание

Убывание

Степенная функция

Функция вида , где - целое, называется степенной функцией.

Графиком степенной функции является парабола.

Расположение графи ка

Числа и вычисления

Законы сложения

Законы умножения

Формулы сокращённого умножения

Свойства степени

Арифметический квадратный корень

Сложение

a+b=c

сумма

1 слагаемое

2 слагаемое

• Сложение
• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
• Свойства сложения:
• Переместительное: От перестановки слагаемых сумма не меняется.
• Сочетательное: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
• Свойство нуля : Если к числу прибавить ноль, то это число не изменится.

Вычитание

a - b=c

разность

• Вычитание
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
• Свойства вычитания
• Для того, чтобы из числа вычесть сумму, нужно сначала из этого числа вычесть первое слагаемое, а потом второе.
• Для того, чтобы из суммы вычесть число, нужно сначала это число вычесть из первого слагаемого, а потом к полученной разности прибавить второе слагаемое.
• Если из числа вычесть ноль, то это число не изменится.
• Если из числа вычесть само это число, то получится ноль.

уменьшаемое

вычитаемое

Формулы сокращённого умножения

Арифметический

квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число b , квадрат которого равен a.

Корень из произведения равен произведению корней.

Корень из частного равен частному корней.