Программа учебного курса математики для 11 класса (углубленный уровень) составлена в соответствии ФГОС СОО

1. Пояснительная записка

Настоящая программа учебного курса математики для 11 класса (углубленный уровень) составлена в соответствии ФГОС СОО (утвержден приказом Минобрнауки РФ № 413 от 17.05.2012 г.), с учетом изменений, внесенных приказом Минобрнауки РФ № 1645 «О внесении изменений в приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 года № 413 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования», в соответствии с Положением о рабочей программе учебного курса, предмета, дисциплины (модуля) основного и среднего общего образования муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 2» п.г.т. Уренгой Пуровского района (утверждена приказом по школе от 27 мая 2016 г. № 193), на основе примерной программы среднего общего образования для углубленного уровня по математике и программы курсов алгебры и начал математического анализа и геометрии автора - составителя Т.А. Бурмистрова (М.: Просвещение, 2018 г.).

Данная рабочая программа составлена для изучения математики по ИУП физико-математического, социально-экономического и химико-биологического направлений.

Курс математики 11 класса состоит из следующих предметов: «Алгебра и начала анализа», «Геометрия». План составлен по изучению алгебры и начал анализа параллельно с изучением геометрии.

В ходе изучения математики на углубленном уровне старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

• проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

• решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

• планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

• построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

• самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

Цели изучения курса алгебры и начала математического анализа в 11 классе:

• систематизировать и расширить представления о функциях, описывать их свойства;

• применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;

• сформировать умение решать уравнения и неравенства, и их системы;

• сформировать умения вычислять предел функции и производную, выработать умения применять производную для исследования функций и построения графиков;

• сформировать понятие о комплексных числах и выработать навыки выполнения арифметических действий над ними;

• выработать навыки решения вероятностных задачи; развитие логического мышления школьников, расширить аппарат, необходимый для изучения смежных дисциплин (физика, химии), подготовка к успешной сдаче ЕГЭ;

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности.

Задачи курса:

• изучить степенную, показательную и логарифмическую, тригонометрические функции и их графики, научить решать тригонометрические уравнения и их системы;

• обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения об уравнениях, неравенствах, системах и методах их решения;

• познакомить с общими методами решения;

• ознакомить с элементами теории вероятностей и математической статистики;

• качественно подготовиться к сдаче экзамена в формате ЕГЭ.

Целями изучения курса геометрии в 11 классе являются систематическое изучение свойств геометрических тел в пространстве; развитие пространственных представлений учащихся; освоение способов вычисления практически важных геометрических величин; дальнейшее развитие логического мышления учащихся, подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, химии), подготовка к успешной сдаче ЕГЭ; овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности.

Задачи курса: систематизировать и обобщить сведения, полученные в курсе «Планиметрия», изучаемом в 7-9 классах; закрепить и развить навыки изображения стереометрических чертежей; систематизировать и обобщить взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве; познакомить с   телами вращения: цилиндр, конус, сфера; выработать умение решать задачи на построение, нахождение элементов, площади поверхности и объема многогранников и тел вращения; выработать умения решать задачи на комбинацию многогранников и многогранников вписанных в сферу и описанных около сферы; систематизировать и обобщить понятие «вектор» в пространстве.

Срок реализации рабочей программы – 1 учебный год.

Рабочая программа ориентирована на использование учебника Математика: алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.] - 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016. Для изучения геометрии в 10-11 классах продолжается содержательная линия Л.С. Атанасяна. Рабочая программа ориентирована на использование учебника «Геометрия. 10 – 11  классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профил. уровни» / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. –3-е изд., – М.: Просвещение, 2016.

Учебники и пособия под редакцией С.М.Никольского и Л.С. Атанасяна входят в федеральный перечень учебников и соответствует требованиям федерального компонента государственного образовательного стандарта общего образования.

В соответствие с федеральным базисным учебным планом на изучение алгебры и начал математического анализа на углубленном уровне в 11 классе отводится 6 часов в неделю. Для составления тематического планирования выбран I вариант: алгебра и начала математического анализа - 4 часа в неделю и геометрия – 2 часа в неделю, общий объём учебного времени составляет 204 часа в год. Рабочая программа скорректирована с учетом реестра затруднений, составленным на основе анализа результатов ЕГЭ и ВПР по математике в 2019 г. Прохождение программы в праздничные дни обеспечивается за счет объединения тем.

Отличительной особенностью данной программы является выполнение требований ФГОС нового поколения в 10 и 11 классе, который обучался по стандартам 2004 г. В течение учебного года необходимо продолжить формирование и развитие у школьников универсальных учебных действий, личностных, метапредметных навыков и умений.

Технологии обучения

Поскольку ведущим в ФГОС СОО является системно-деятельностный подход, технологии направлены на его реализацию:

• технология проблемного обучения;

• метод проектов;

• технология уровневой дифференциации;

• лекционно-семинарско-зачетная система.

На уроках широко применяются ЭОР в качестве виртуальных лабораторий при проведении практических занятий, уроков введения новых знаний. В них заключен большой теоретический материал, много тренажеров, практических и исследовательских заданий, справочного материала. На любом из уроков возможно использование компьютерных устных упражнений, применение тренажера устного счета, что активизирует мыслительную деятельность учащихся, развивает вычислительные навыки, так как позволяет осуществить иной подход к изучаемой теме.

 Использование компьютерных технологий  в преподавании математики позволяет непрерывно менять формы работы на уроке, постоянно чередовать устные и письменные упражнения, осуществлять разные подходы к решению математических задач, а это постоянно создает и поддерживает интеллектуальное напряжение учащихся, формирует у них устойчивый интерес  к изучению данного предмета.

Обоснование выбора УМК

Переход на данный учебник осуществлен после изучения алгебры в 7-9 классах по содержательной линии А.Г.Мордковича и продолжается работа по учебнику для 11 класса в продолжении содержательной линии, начатой в 10 классе.

Выбор УМК содержательной линии Л.С.Атанасяна обусловлен тем, что изложению тем по данному учебнику присуща наглядность и строгая логика изложения материала. Увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, расширяются внутренние логические связи курса, повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Изложение материала характеризуется постоянным обращением к наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.

При изучении курса геометрии решению задач уделяется большое внимание. Все новые понятия, теоремы, свойства геометрических фигур, способы рассуждений усваиваются в процессе решения задач.

1. Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета

Алгебра и начала математического анализа

Планируемые результаты изучения по теме «Функции »

Выпускник научится:

• владеть понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, график зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке, периодическая функция, период, четная и нечетная функции; и уметь применять эти понятия при решении задач;

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций; находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения.

Выпускник получит возможность научиться:

• научится описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики;

• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках.

Планируемые результаты изучения по теме «Производная».

Выпускник научится:

• находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии; владеть понятиями: производная функции в точке, производная функции;

• вычислять производные элементарных функций, применяя правила вычисления производных, используя справочные материалы;

• исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

• решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

• решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Выпускник получит возможность научиться:

• применять решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Планируемые результаты изучения по теме «Первообразная и интеграл.»

Выпускник научится:

• вычислять площади фигур на координатной плоскости с применением определённого интеграла.

Выпускник получит возможность научиться:

• овладеть основными сведениями об интеграле Ньютона-Лейбница и его применениях.

Планируемые результаты изучения по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.»

Выпускник научится:

• свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и неравенства, уравнение, являющееся следствием другого уравнения, уравнения, равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;

• решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы, в том числе некоторые виды уравнений 3 и 4 степеней;

• решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод.

Выпускник получит возможность научиться

• свободно определять тип и выбирать метод решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств иррациональных уравнений и неравенств, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;

• решать основные типы уравнений и неравенств с параметрами.

Геометрия

В результате изучения геометрии учащийся научится:

• владеть геометрическими понятиями при решении задач и проведении математических рассуждений;

• самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или конкретизировать результаты на новых классах фигур, проводить в несложных случаях классификацию фигур по различным основаниям;

• исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную на чертежах;

• решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;

• уметь формулировать и доказывать геометрические утверждения;

• применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;

• уметь применять параллельное проектирование для изображения фигур;

• уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;

• владеть понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их проекции, уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач;

• владеть понятиями расстояние между фигурами в пространстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;

• владеть понятием угол между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;

• владеть понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и уметь применять их при решении задач;

• иметь представление о теореме Эйлера, правильных многогранниках;

• владеть понятием площади поверхностей многогранников и уметь применять его при решении задач;

• владеть понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и сфера), их сечения и уметь применять их при решении задач;

• владеть понятиями касательные прямые и плоскости и уметь применять из при решении задач;

• иметь представления о вписанных и описанных сферах и уметь применять их при решении задач;

• владеть понятиями объем, объемы многогранников, тел вращения и применять их при решении задач;

• иметь представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, уметь применять их при решении задач;

• иметь представление о площади сферы и уметь применять его при решении задач;

• уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;

• иметь представление о подобии в пространстве и уметь решать задачи на отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов: составлять с использованием свойств геометрических фигур математические модели для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин, исследовать полученные модели и интерпретировать результат.

Учащийся получит возможность:

• Иметь представление об аксиоматическом методе;

• владеть понятием геометрические места точек в пространстве и уметь применять их для решения задач;

• уметь применять для решения задач свойства плоских и двугранных углов, трехгранного угла, теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла;

• владеть понятием перпендикулярное сечение призмы и уметь применять его при решении задач;

• иметь представление о двойственности правильных многогранников;

• владеть понятиями центральное и параллельное проектирование и применять их при построении сечений многогранников методом проекций;

• иметь представление о развертке многогранника и кратчайшем пути на поверхности многогранника;

• иметь представление о конических сечениях;

• иметь представление о касающихся сферах и комбинации тел вращения и уметь применять их при решении задач;

• применять при решении задач формулу расстояния от точки до плоскости;

• владеть разными способами задания прямой уравнениями и уметь применять при решении задач;

• применять при решении задач и доказательстве теорем векторный метод и метод координат;

• иметь представление об аксиомах объема, применять формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды, тетраэдра при решении задач;

• применять теоремы об отношениях объемов при решении задач;

• применять интеграл для вычисления объемов и поверхностей тел вращения, вычисления площади сферического пояса и объема шарового слоя;

• иметь представление о движениях в пространстве: параллельном переносе, симметрии относительно плоскости, центральной симметрии, повороте относительно прямой, винтовой симметрии, уметь применять их при решении задач;

• иметь представление о площади ортогональной проекции;

• иметь представление о трехгранном и многогранном угле и применять свойства плоских углов многогранного угла при решении задач;

• иметь представления о преобразовании подобия, гомотетии и уметь применять их при решении задач;

• уметь решать задачи на плоскости методами стереометрии;

• уметь применять формулы объемов при решении задач

1. Содержание учебного предмета

Алгебра и начала математического анализа

1. Функции и их графики .

Элементарные функции. Исследование функций и по­строение их графиков элементарными методами. Основные способы преобразования графиков. Графики исследования функций и построения их графиков. Графики функций, содержащих модули.

Основная цель - овладеть методами исследования функций и построения их графиков. Сначала вводятся понятия элементарной функции и су­перпозиции функций (сложной функции). Затем исследу­ются вопросы об области определения и области изменения функции, об ограниченности, четности (или нечетности) и периодичности функции, о промежутках возрастания (убывания) и знакопостоянства функции. Результаты ис­следования функции применяются для построения ее гра­фика. Далее рассматриваются основные способы преобразо­вания графиков функций — симметрия относительно осей координат, сдвиг вдоль осей, растяжение и сжатие графи­ков. Все эти способы применяются к построению графика функции у = Af(k(x - а)) + В по графику функции у = f(x).

Рассматривается симметрия графиков функций у = f(x) и х = f(y) относительно прямой у = х. По графику функции у = f(x) строятся графики функций у = |f(х)| и у = f(|x|).

2. Предел функции и непрерывность.

Понятие предела функции. Односторонние пределы, свойства пределов. Непрерывность функций в точке, на интервале, на отрезке. Непрерывность элементарных функ­ций.

Основная цель — усвоить понятия предела функ­ции и непрерывности функции в точке и на интервале.

На интуитивной основе вводятся понятия предела функ­ции сначала при х , x , затем в точке. Рассмат­риваются односторонние пределы и свойства пределов функций. Вводится понятие непрерывности функции в точ­ке и на интервале. Выясняются промежутки непрерывности элементарных функций.

Вводятся понятия непрерывности функции справа (сле­ва) в точке х₀ и непрерывности функции на отрезке. При­водится также определение предела функции в точке «на языке » и «на языке последовательностей».

3. Обратные функции.

Понятие обратной функции. Взаимно обратные функ­ции. Обратные тригонометрические функции.

Основная цель — усвоить понятие функции, обрат­ной к данной, и научить находить функцию, обратную к данной.

Сначала на простом примере вводится понятие функции, обратной к данной. Затем определяется функция, обратная к данной строго монотонной функции. Приводится способ построения графика обратной функции.

Вводится понятие взаимно обратных функций, устанав­ливается свойство графиков взаимно обратных функций, построенных в одной системе координат.

4. Производная.

Понятие производной. Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций. Непрерывность функций, имеющих производную, дифференциал. Произ­водные элементарных функций. Производная сложной функции.

Основная цель — научить находить производную любой элементарной функции.

Сначала вводится новая операция: дифференцирование функции и ее результат — производная функции. Затем выясняется механический и геометрический смысл произ­водной, после чего находятся производные суммы, разно­сти, произведения, частного и суперпозиции двух функ­ций, а также производные всех элементарных функций. Доказывается непрерывность функции в точке, в которой она имеет производную. Вводится понятие дифференциала функции.

5. Применение производной.

Максимум и минимум функции. Уравнение касательной. Приближенные вычисления. Возраста­ние и убывание функций. Производные высших поряд­ков. Экстремум функции с единственной критической точкой. Задачи на максимум и минимум. Асимптоты. Дробно-линейная функция. По­строение графиков функций с применением производной.

Основная цель — научить применять производную при исследовании функций и решении практических задач.

Сначала вводятся понятия локальных максимума и ми­нимума функции, ее критических точек, а затем рассматри­вается метод нахождения максимума и минимума функции на отрезке. Выводится уравнение касательной к графи­ку функции, исследуется возрастание и убывание функций с помощью производных. Рассматриваются экстремум функ­ции с единственной критической точкой и задачи на макси­мум и минимум. Проводится исследование функций с помо­щью производной, строятся их графики.

Вводится понятие асим­птоты графика функции. Исследуется дробно-линейная функция.

6. Первообразная и интеграл.

Понятие первообразной. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл. Приближенное вычисление опре­деленного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница. Свойства определенных интегралов. Применение опреде­ленных интегралов в геометрических и физических за­дачах.

Основная цель — знать таблицу первообразных (не­определенных интегралов) основных функций и уметь при­менять формулу Ньютона — Лейбница при вычислении определенных интегралов и площадей фигур.

Сначала вводится понятие первообразной для функции, непрерывной на интервале, затем понятие неопределенного интеграла, приводятся основные свойства неопределенных интегралов и таблица неопределенных интегралов. Опреде­ляется площадь криволинейной трапеции как предел инте­гральной суммы для неотрицательной функции. Опреде­ленный интеграл также вводится как предел интегральной суммы для непрерывной на отрезке функции. Приводится формула Ньютона — Лейбница для вычисления опреде­ленных интегралов.

Приводятся свойства определенных интегралов и их применение для вычисления площадей фи­гур на плоскости и для решения геометрических и физиче­ских задач

7. Равносильность уравнений и неравенств.

Основная цель — научить применять равносильные преобразования при решении уравнений и неравенств.

Сначала перечисляются равносильные преобразования уравнений. Подчеркивается, что при таких преобразовани­ях множество корней преобразованного уравнения совпа­дает с множеством корней исходного уравнения. Рассматриваются примеры применения таких преобразований при решении уравнений.

Затем аналогичным образом рассматриваются равно­сильные преобразования неравенств и их применение при решении неравенств.

8. Уравнения-следствия.

Понятие уравнения-следствия. Возведение уравнения в четную степень. Потенцирование логарифмических урав­нений. Приведение подобных членов уравнения. Освобож­дение уравнения от знаменателя. Применение логарифми­ческих, тригонометрических и других формул.

Основная цель — научить применять преобразова­ния, приводящие к уравнению-следствию.

Сначала вводится понятие уравнения-следствия, пере­числяются преобразования, приводящие к уравнению-след­ствию. Подчеркивается, что при таком способе решения уравнения проверка корней уравнения-следствия является обязательным этапом решения исходного уравнения. Затем рассматриваются многочисленные примеры применения каждого из этих преобразований в отдельности и несколь­ких таких преобразований.

9. Равносильность уравнений и неравенств системам.

Решение уравнений с помощью систем. Уравнения вида f(α(x)) = f(β(x)) Решение неравенств с помощью систем. Неравенства вида f(a(x)) f(β (x)).

Основная цель — научить применять переход от уравнения (или неравенства) к равносильной системе.

Сначала вводятся понятия системы, равносильности систем, равносильности уравнения (неравенства) системе или совокупности систем.

Затем перечисляются некоторые уравнения (неравенст­ва) и равносильные им системы. Формулируются утверж­дения об их равносильности. Приводятся примеры приме­нения этих утверждений.

Для уравнений вида f(α(x))=f(β(x)) и неравенств вида f(a(x)f(β(x) )формулируются утверждения об их равно­сильности соответствующим системам.

10. Равносильность уравнений на множествах.

Возведение уравнения в четную степень. Умножение уравнения на функцию. Логарифмирование и потенциро­вание уравнений, приведение подобных членов, примене­ние некоторых формул.

Основная цель — научить применять переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исход­ному уравнению.

Сначала вводится понятие равносильности двух уравне­ний на множестве, описываются те множества чисел, на каждом из которых получается уравнение, равносильное на этом множестве исходному уравнению при возведении уравнения в четную степень, при умножении уравнения на функцию, при логарифмировании, при потенцировании, при приведении подобных членов уравнения, при приме­нении некоторых формул. Для каждого преобразования уравнения формулируются соответствующие утверждения о равносильности и приводятся примеры их применения.

11. Равносильность неравенств на множествах.

Возведение неравенства в четную степень и умноже­ние неравенства на функцию, потенцирование логариф­мических неравенств, приведение подобных членов, при­менение некоторых формул. Нестрогие неравенства.

Основная цель — научить применять переход к не­равенству, равносильному на некотором множестве исход­ному неравенству.

Вводится понятие равносильности двух неравенств на множестве, описываются те множества чисел, на каждом из которых получается неравенство, равносильное на этом множестве исходному неравенству при возведении уравне­ния в четную степень, при умножении уравнения на функ­цию, при потенцировании логарифмического неравенства, при приведении подобных членов неравенства, при приме­нении некоторых формул. Для каждого преобразования неравенства формулируются соответствующие утвержде­ния о равносильности и приводятся примеры их примене­ния. Рассматриваются нестрогие неравенства.

12. Метод промежутков для уравнений и неравенств.

Уравнения и неравенства с модулями. Метод интерва­лов для непрерывных функций.

Основная цель — научить решать уравнения и не­равенства с модулями и применять метод интервалов для решения неравенств.

Сначала рассматриваются уравнения с модулями и опи­сывается способ решения таких уравнений переходом к уравнениям, равносильным исходному на некотором мно­жестве и не содержащим модулей. Затем аналогично рас­сматриваются неравенства с модулями. Наконец, для функ­ций f(x), непрерывных на некоторых интервалах, рассмат­ривается способ решения неравенств f(x) 0 и

f(x) 0, называемый методом интервалов.