Прокт "Матемиатические курьёзы в литературных произведениях"

IV региональная научно-практическая конференция школьников «Эврика»

«Математические курьёзы в литературных произведениях»

(Ракурс: математический объект)

Выполнили: Сафонова Елена Сергеевна, Егорова Екатерина Игоревна,

обучающиеся 8 «А» класса

муниципального образовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Ртищево Саратовской области»

Руководитель: Субботина Елена Владимировна,

учитель математики первой квалификационной категории

Саратов, 2018 г

Введение 3-4

1.Математические задачи в литературных произведениях 5

1.1 А.С.Пушкин «Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне лебеди»………………………………………………………………………......6

1.2 А.С.Пушкин «Скупой рыцарь» 7-8

1.3 Григорий Остер « 38 попугаев» 9

1.4 А.С.Пушкин поэма «Руслан и Людмила» 10

1.5 Л.Н.Толстой «Умная галка» 11-12

Заключение 13

Список литературы: 15

Приложение 1. Таблица расстояния до горизонта (удаления горизонта) в зависимости от высоты глаз наблюдателя…………………………………15-16

Приложение 2. Определение плотности сухой земли………………………...17

Приложение 3. Определение массы сухой рыхлой земли……………………18

Приложение 4. Эксперимент по подъёму уровня воды в кувшине с помощью камней……………………………………………………………………………19

Вот уже два года мы учимся в классе с углубленным изучением математики и физики. Мы изучаем различные математические тонкости и физические явления. За это время у нас сформировались различные математические навыки, стараемся применять везде и во всём логику. Занятия математикой, решение математических задач развивает человека, делает его целеустремлённым, самостоятельным. С другой стороны, мы интересуемся и любим литературу, так как именно литературные герои предстают перед нами, как живые, наполненные своими мыслями, чувствами, переживаниями. Вместе с ними мы переживаем захватывающие, а часто и трагические, события, словно становясь частью истории.

Раньше, когда встречали математические сюжеты в литературных произведениях, мы не заостряли особого внимания, считали, что это в произведении не столь важное. Сейчас мы стали обращать внимание.
Иногда при прочтении наших любимых литературных произведений, у нас возникают вопросы, можно ли отнести ту или иную математическую задачу к жизненной, т.е. происходящее в них может ли быть в нашей повседневной жизни.

Мы решили более подробно проанализировать математические сюжеты в литературных произведениях.

Выбранную тему исследования мы считаем актуальной, так как уверены в том, что нельзя быть хорошим математиком, не любя при этом литературу и наоборот.

Нельзя изучать математику и литературу оторвано друг от друга и реальной жизни.
Перед нами встал вопрос: все ли математические задачи, которые встречаются в литературных произведениях, решены верно?

Всегда ли авторы используют строгие научные рассуждения, математическую логику при составлении таких задач?
Цель нашего исследования: нахождение и анализ ошибок в математических задачах литературных произведений с точки зрения математики.

Математические сюжеты в литературных произведениях являются объектом нашего исследования.
Задачи исследования:

• изучить художественную литературу;

• перевести авторские задачи писателей и поэтов на язык математических действий, т.е. построить математическую модель;
  решить задачи;

• произвести оценку полученных результатов;

Методы исследования: чтение и анализ художественных произведений, анализ и решение математических задач, сравнение результатов с жизненными задачами, обобщение результатов.

Как и во времена А.С.Пушкина в наши дни существует мода на математику. Возможность встречаться с математикой не только на уроке математики, но и на страницах литературных произведениях нам дают авторы этих самых произведений.

Во многих произведениях встречаются математические сюжеты, на которые зачастую читатель не обращает внимания, считая, что художник рассматривает задачу только как неких эпизод своего размышления, как фон. Мы считаем, что каждый математический сюжет важен для писателя и поэта, следовательно, важен и для нас. Некоторые задачи, которые встречаются в литературных произведениях, заинтересовывают своей красотой и простатой, хочется провести их анализ, создать математическую модель, решить её и соотнести результаты с реальной действительностью. Иногда автор художественного произведения не только представляет условие задачи, но и её решение.

1. А.С.Пушкин «Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне лебеди»

Перечитывая сказку А.С. Пушкина «Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатые князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне лебеди», мы заметили математическую ошибку, когда автор рассказывает про чудо: о 33 богатырях.

И останутся на бреге
Тридцать три богатыря,…
Все равны, как на подбор;
Старый дядька Черномор
С ними из моря выходит
И попарно их выводит,…[1, 312]

Александр Сергеевич говорит о том, что дядька Черномор выводит тридцать три богатыря парами, что математически невозможно, так как число тридцать три нечётное и на два не делится. Мы не думаем, что Пушкин не преднамеренно допустил такую ошибку, так как он был грамотным, образованным, эрудированным человеком. Александр Сергеевич получил хорошее образование, обучаясь около 6 лет в Императорском лицее по энциклопедической программе обучения и воспитания.

1. А.С.Пушкин «Скупой рыцарь»

Существует старинная легенда восточных народов, рассказанная А.С.Пушкиным в «Скупом рыцаре», вёл повествование о старинной легенде восточных народов.

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился – и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли. [2, 310]

Переведём данный математический сюжет на язык математики, т.е. составим математическую модель задачи.

Если каждый воин древнего войска бросит в кучу горсть земли, то какую высоту будет иметь эта куча?

На какое расстояние увеличится дальность горизонта, если находится на вершине этого кургана? [4, 118]

Мы провели эксперимент. Мы на электронных весах нашли массу нашей горсточки земли. Она составила 118,52 грамм. Будим считать, масса горсти воина древнего войска в 2 раза больше нашей, т.е. 237 г.

Для определения объёма сухой земли нам необходимо знать её плотность, и мы обратились к учителю физики Василькиной Ларисы Павловны. Под руководством учителя, обучающиеся нашей школы, выполняя проектную работу, определили плотности различных веществ, в том числе и рыхлой сухой земли. Плотность составила 0,956г/см³. [Приложение 2]

Следовательно, V=

Если сравнивать с современными армиями, то численность древних войск была небольшой. У Атиллы - предводителей гуннов - было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Существуют противоречивые данные о численности гуннов. Так китайские хроники пишут об армии гуннов в 100—400 тысяч человек. По данным же римских источников 5 века в 409 году Гонорий использовал 10 тысяч гуннов против Алариха. Историки оценивают его в 700000 человек. [6]

Для прикидки объёма земли, которое горстями накидали воины, возьмём огромное войско по тем меркам в количестве 700 000 человек. Поэтому по нашим расчетам объем такого холма мог быть равен 174 м³.

Теперь определим высоту холма. Холм представляет собой конус. Возьмём за угол откоса 45° (угол между образующей конуса и основанием), так как, если брать больший угол, то земля будет осыпаться. Высота такого конуса равна радиусу основания.

Следовательно, так как R=H, то

С таких возвышений легко видеть «дол, покрытый белыми шатрами», но можно ли видеть «море, где бежали корабли»? Завершим расчеты, определив, насколько холм этот расширял горизонт наблюдателя, стоявшего на его вершине.

Глаз такого зрителя возвышался бы над почвой на 5,5 м+1,8 м=7,3 м, т.е. на 7,3 метров, и, следовательно, дальность горизонта была около 10 км. [Приложение 1]

Это всего на 4,7 км больше того, что может видеть человек ростом до 2 м, стоя на ровной земле.

Опираясь на геометрию и математические расчёты, мы доказали, что данный математический сюжет ничего не имеет с реальной действительностью.

1. Григорий Остер « 38 попугаев»

Все помнят сказку Остера «38 попугаев», главные герои этого произведения измеряли длину удава: в попугаях, мартышках слонах. Оказывается, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка.[7] Данные вычисления длины удава являются реальными? Мы решили это узнать.

В энциклопедии мы прочитали, что длина тела попугая варьирует, в зависимости от вида, от 10 см до 1 м. Следовательно, средняя длина тела попугая 55 см. Максимальная рекордная длина удава 11 м, а минимальная длина 40 см, следовательно, средняя длина удава 570 см.

В мире существует около 19 видов мартышек. Длина тела мужской особи от 58 до 75 см. Средняя длина тела мартышки 66 см. Молодой слон может достигать роста 3,5 метра, а самый «мелкий» лесной вид только 1,5 метра. Значит, средний рост слонёнка составляет 250 см. [9]

Сделаем расчёт длины удава в «попугаях, слонах и мартышках».

Мы получили следующие результаты: 10 попугаев, 8 мартышек и 2 слона.

Причины расхождений наших результатов и результатов автора мы считаем в том, что он в этой сказке пренебрег точными данными.

1. А.С.Пушкин поэма «Руслан и Людмила»

Известные слова А.С. Пушкина: «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» актуальны и сейчас. Во многих его произведениях прослеживается математические нотки. В 5 классе мы изучали поэму А.С.Пушкина «Руслан и Людмила». Знаменитые строчки этого произведения мы учили ещё в начальных классах.

У лукоморья дуб зеленый

Златая цепь на дубе том.

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом. [3, 8]

Посмотрим на этот сюжет с точки зрения геометрии. Автор говорит, что кот ходит по кругу, т.е. описывает окружность. На наш взгляд это совсем не так. Так как цепь длинная, и она должна находиться в натянутом состоянии, 

следовательно, цепь является касательными к стволу. Так как цепь на  дубе не бесконечна, то её приходиться, то сматывать со ствола дуба, то  наматывать. Следовательно, кот "учёный" описывает сложную  геометрическую  фигуру.

1. Л.Н.Толстой «Умная галка»

Рассказы Л.Н.Толстого всегда поучительные. Мы многому учимся на его произведениях. Не исключением является и рассказ «Умная галка». Галки, как известно, часто поражают своей сообразительностью. Например, известны случаи, когда галок учили говорить.

Толстой в своём произведении рассказывает о том, как птица, страдая от жажды, нашла сосуд с водой.

Хотела галка пить. На дворе стоял кувшин с водой и в кувшине было воды только на дне. Галке нельзя было достать. Она стала кидать в кувшин камушки и столько наклала, что вода стала выше и можно было пить.[5, 1]

Нас заинтересовала эта задача с геометрической точки зрения. Переведём данный сюжет на язык математики, т.е. составим математическую модель задачи. Попробуем ответить на вопрос: чтобы галка могла напиться, сколько минимум должно быть воды в кувшине первоначально?

Рассмотрим два случая: сможет птица напиться, если в кувшине налито меньше половины воды; больше половина кувшина воды?

Анализируя задачу, мы захотели решить задачу теоретически и выяснить при всяком ли первоначальном уровни воды данный способ поднятия уровня даст желаемый результат.

Разбор задачи убеждает, что способ, примененный галкой, приводит к цели не при всяком первоначальном уровне воды в кувшине.

Для простоты вычисления примем форму кувшина за куб, а камушки, которые накидала птица, представляют собой шары одинакового радиуса. Очевидно, что по законам физики вода может подняться над уровнем камешков лишь в том случае, если воды имеется в объеме больше, чем все промежутки между камешками: тогда вода заполнит промежутки и выступит поверх камешков. Вычислим, какой объем занимают эти промежутки. Проще всего выполнить расчет при таком расположении камней шарообразной формы, когда центр каждого лежит на одной отвесной прямой с центрами верхнего и нижнего шариков. Пусть радиус шарика r и, следовательно, объем его , а объём куба с ребром 2r равен

Разность их объемов: V есть объем незаполненной части куба. Выясним, какую часть объём незаполненной части кубика составляет от объёма всего кубика, для этого вычислим:

= , где

А, следовательно, сумма объёмов всех пустот в кувшине (кубе) составляет 48 % объёма всего кувшина. Можно сделать вывод о том, что чтобы вода проступила между камешками, т.е. поднялась вверх, необходимо, чтобы воды было больше половина кувшина, так как мы рассмотрели идеальный вариант, когда все камушки одинакового размера и правильной формы, что в жизни редко встречается. Мы осуществили расчёт для кувшина в форме куба. Считаем, что форма кувшина не даёт принципиальных отличий в наших расчётах.

Для подтверждения теоретических расчётов, мы провели практический эксперимент. Для этого взяли кувшин объема 1,125 л., налили воды 0,5 л, поместили в воду камешки, но вода не поднялась вверх. Во втором случае мы взяли объём воды больше половина кувшина, вода поднялась до краёв после того как мы накидали в сосуд с водой камушки. [Приложение 4]

В ходе теоретических расчётов и практического эксперимента, мы пришли к выводу, что первоначально уровень воды в кувшине был ниже половина или равны половина кувшина, то даже такой умной птице как галка не удалось бы напиться воды, так как она не смогла бы поднять воду до краёв.

Если уровень воды в кувшине был выше половины кувшина, то данный способ помог галке утолить жажду.

В рассказе автор говорит, что «в кувшине было воды только на дне», следовательно, с точки зрения математики, Анатолий Николаевич вводит читателей в заблуждение, т.к. в действительности галка не сможет напиться.

В начале своей работы «Математические курьёзы в литературных произведениях» мы выдвинули гипотезу: все математические задачи, которые встречаются в литературных произведениях, решены верно.

Целью нашего исследования заключалось в нахождении и анализе математических эпизодов в художественных произведениях. В ходе выполнения данной работы мы пришли к выводу: с точки зрения математики не все математические задачи имеют реальное решение, т.е. их результаты не всегда можно соотнести с действительностью.

Мы считаем, что поставленной цели достигли.

Мы убедились, что логичность нужна не только в математике, но и при изложении различных математических эпизодов в литературных произведениях. Математика - это путь к пониманию научной картины мира. Бесценное качество мышления - логичность, то есть способность делать из умозаключений правильные выводы, находить следствие из имеющихся фактов.

Нельзя переоценить и важность литературы, которая позволяет человеку выражать свои мысли, разнообразные чувства, эмоции. Человека окружает мир полных загадок и тайн, и чтобы чувствовать себя уверенно в этом мире, необходимо чтобы математика и литература были в тесной взаимосвязи.

1. Пушкин А. С. Полное собрание сочинений: В 10 т. — Л.: Наука. Ленингр. отделение, 1977—1979. Т. 3. Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне лебеди», с.312-336

2. Пушкин А. С. Полное собрание сочинений: В 10 т. — Л.: Наука. Ленингр. отделение, 1977—1979. Т. 4. Скупой рыцарь, с. 301-320.

3. Пушкин А. С. Полное собрание сочинений: В 10 т. — Л.: Наука. Ленингр. отделение, 1977—1979. Т 4. Руслана и Людмила, с.7- 80.

4. Перельман, Я. И. Занимательная геометрия [Текст] / Я. И. Перельман. Екатеринбург: Тезис, 1994. - 288 с.

5. Толстой Л.Н.Умная галка. Издательство «Малыш», М.: 1985, с.16

6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гунны Википедия

7. http://itexts.net/files/pdf/oster-grigoriy-38-popugaev-135400.pdf

8. http://tehtab.ru/guide/guidephysics/length/distancetohorison/ TehTab.ru Технические таблицы

9. http://www.animalsglobe.ru Энциклопедия животных (захватывающий мир природы)

Приложение 1.

Таблица расстояния до горизонта (удаления горизонта) в зависимости от высоты глаз наблюдателя.

Расстояние до горизонта, конечно, можно вычислить по формуле: S = [(R+h)² - R²]^1/2 где:

• S- высота глаз наблюдателя в метрах

• R - радиус Земли- обычно: 6367250 м

• h - высота глаз наблюдателя над поверхностью в метрах

Приложение 2.

Определение плотности сухой земли

Д ано: Решение:

m₁ = 165 г m= m₂ - m₁ = 239 г; ρ= m/V = 0,956г/см³ = 956 кг/м³

m₂ = 404 г

V = 250 см³

ρ = ? Ответ: плотность рыхлой сухой земли равна 0,956г/см³.

Эксперимент по подъёму уровня воды в кувшине с помощью камней