Пропедевтическая подготовка учащихся 5-6 классов к решению задач с параметрами

ПРОПЕДЕВТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА

УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Егорова А.О.

Задания с параметрами служат материалом для учебно-исследовательской работы. Вместе с тем в старшей школе решению задач с параметрами уделяется мало внимания и времени, а порой такие задания и вовсе пропускаются. В лучшем случае учеников 9-11 классов познакомят с приемами решения таких задач на элективных курсах или факультативах.

Причиной создавшейся ситуации, на наш взгляд, является фактическое отсутствие заданий с параметрами в школьных учебниках для младших классов (если таковые и встречаются, то крайне редко и бессистемно). Хотя в методической литературе они приводятся часто (см., например, [1] и цитированную там литературу).

Психолого-педагогические исследования учебной деятельности школьника показывают, что большое влияние на ее результаты оказывает не только содержание учебного материала, но и его соответствие психологическому развитию ребенка. Известно, что характерной особенностью подросткового возраста является умение мыслить логически, рассуждать, пользоваться понятиями. Эти процессы начинают развиваться с 10- 11 лет (в 5-6 классах).

Л. С. Выготский указывал [2], что обучение должно ориентироваться главным образом на еще не сложившиеся, но возникающие психические виды деятельности ребенка. Он ввел понятие зоны ближайшего развития, в которой ребенок еще не может осуществлять данную деятельность самостоятельно, но уже может ее выполнить ее при помощи взрослого. Со временем при постоянно уменьшающейся помощи взрослого ребенок переходит из зоны ближайшего развития в зону актуального развития, в которой он уже может выполнять данную деятельность вполне самостоятельно. Таким образом, осуществление пропедевтической подготовки учащихся 5-6 классов к решению задач с параметрами вполне естественно и необходимо.

Параметр мы рассматриваем как величину, являющуюся постоянной в пределах рассматриваемой задачи, но которая в другой задаче меняет свои значения [3]. Решить задачу с параметром - значит найти значения параметра, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Приведем примеры задач, имеющих пропедевтическую направленность (часть задач взята из сборников [1, 4, 5]).

5 класс

Тема «Буквенные выражения».

1. При каком а значение выражения на 2 больше значения выражения ?

2. Каким числом необходимо заменить а, чтобы:

а) корнем уравнения х+6=а было число 12;

б) корнем уравнения 35-(а+12)=х+12 было число 7?

3. Какими натуральными числами необходимо заменить а и b, чтобы:

а) корнем уравнения (11-а)+(х-b)=16 было число 7;

б) корнем уравнения (х-а)+(12-b)=18 было число 8?

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) 3:у ; б) 1:(х-2) ;

в) (а-3):4 ; г) 3а:(2+а)?

Тема «Формулы. Площади и объемы».

1. Из формулы у=2(х-а) выразите а; выразите х.

2. Из формулы у=(2а-3b):40 выразите а; выразите b.

3. Из формулы а=150:m+1 выразите m.

4. Выразите переменные а, b и х из формул:

а) у = (2х-а):b; б) у = b:(а-3х)

Тема « Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби».

1. При каких натуральных значениях а выполняется неравенство ?

2. При каких натуральных значениях а:

а) дробь будет правильной;

б) дробь будет неправильной;

в) дробь будет равна целому числу?

3. При каких натуральных значениях а выполняется неравенство ?

4. При каких натуральных значениях а:

а) дроби и будут правильными;

б) дроби и будут неправильными?

5. При каких натуральных значениях а выполняется неравенство ?

6. При каких натуральных значениях а дроби и - неправильные, а дробь - правильная?

7. Найдите два натуральных значения а, при которых дробь будет неправильной и меньше .

8. При каких натуральных значениях а:

а) дробь будет правильной;

б) будет неправильной;

в) будет равна целому числу?

6 класс

Тема « Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей».

1. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство .

2. Назовите какие-либо две дроби, удовлетворяющие неравенству .

3. При каких натуральных значениях переменных а и b дробь :

а) будет правильной;

б) будет неправильной;

в) будет равна целому числу?

4. Сколько существует натуральных значений n, при которых дробь будет правильной, а дробь - неправильной.

Тема « Умножение дробей. Сравнение чисел».

1. Сравните натуральные числа а и b, если известно что . Во сколько раз одно число больше другого?

2. Известно, что , . Выразите z через x.

3. Даны числа а0, b0, с0. Известно, что а∙b∙с = а∙b, а∙сb∙са∙b. Сравните числа а, b и с.

4. Даны числа а0, b0, с0. Сравните числа а, b, если а∙b∙с = с и а∙сс.

5. Найдите целое число а, если 3а 7 и 2а 3.

6. Какое из чисел а или b больше, если известно, что от а равны от b ( )?

Тема « Выражения с модулем».

1. Найдите значение а, при котором:

а) корнем уравнения является число -1;

б) уравнение имеет один корень;

в) корнями уравнения являются противоположные числа;

г) сумма корней уравнения равна 12.

Тема « Умножение и деление рациональных чисел».

1. Определите, каким условиям должны удовлетворять числа а и b, чтобы выполнялось равенство:

а) а : b = 1; б) а : b = -1.

2. Определите, при каких значениях а выполняется равенство:

а) ; б) .

3. Определите, каким условиям должны удовлетворять числа а и b, чтобы имело смысл равенство:

а) а : b = b : а; б) .

Тема « Уравнения».

1. Найдите значение а, при котором уравнение а(х+1) = -1 имеет корень х=0.

2. Найдите значение а, при котором корнем уравнения (а-1)(х+2) = 0 является любое число.

3. Найдите значение а, при котором уравнение (а-2)∙х = 1 не имеет корней.

4. Даны уравнения 2х+4а = 9 и 9а+1-3х = -5,

где х - переменная, а - некоторое число (параметр). При каком значении а корни данных уравнений: а) противоположные числа; б) равны?

1. Найдите все целые значения m, при которых:

а) корень уравнения m∙х = -8 является целым числом;

б) корень уравнения (m-1)х = 18 является натуральным числом;

в) корень уравнения m∙х = 6 удовлетворяет неравенству .

6. Найдите значение р, при котором число 2 является корнем уравнения

2рх = 32.

7. При каком значении а уравнение имеет корень ?

8. Найдите значение m, при котором уравнения 2х-3 = 7 и m-3х = 1 имеют общий корень.

9. Найдите значение а, при котором уравнения 5х-1=2а-2 и

3х+2= а+5 имеют общий корень.

Естественно, что в ходе решения задачи с параметрами, учитель должен задавать различные вопросы и на начальных этапах давать учащимся образец логических рассуждений, осуществляя пропедевтическую подготовку к построению цепочки логических рассуждений при решении задачи. Например, к заданию «Найдите значение а, при котором сумма корней уравнения равна 8», можно предложить следующие вопросы.

1. Что значит решить уравнение?

2. Что такое корень уравнения?

3. Что такое модуль числа?

4. Как обозначают модуль числа?

5. Может ли модуль быть отрицательным числом?

6. Какой вид принимает уравнение при снятии знака модуля?

После ответов на указанные вопросы, получим:

, или ,

Так как сумма корней уравнения должна быть равна 8, то , 2а = 8, а = 4.

Ответ: а = 4.

Итак, решение задач с параметрами имеет важное значение: в процессе решения происходят повторение, обобщение и систематизация программного материала, более глубокое и прочное усвоение его учащимися; расширяется математический кругозор учащихся, они знакомятся с новыми аналитическими способами и творческими подходами к решению других задач; у учащихся формируются математическая культура, устойчивый интерес к предмету, стремление использовать математические знания в повседневной жизни.

Таким образом, пропедевтическая подготовка учащихся 5-6 классов к решению задач с параметрами формирует начальные компетенции школьников. Тем самым делается один из важных шагов к решению главной задачи современного образования, состоящей в подготовке «компетентных людей, которые были бы способны применять свои знания в изменяющихся условиях, и …чья основная компетенция заключалась бы в умении включиться в постоянное самообучение на протяжении всей своей жизни».[6]

Литература

1. Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса. -М.: Илекса, 2003

2. Выготский Л.С. Собрание сочинений: В 6-ти т. Т.2. Проблемы общей психологии /Под ред. В.В. Давыдова. -М.: Педагогика, 1982

3. Толковый словарь математических терминов. - М.. Просвящение, 1967

4. Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса. -М.: Илекса, 2004

5. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы для 5 класса. – 3 изд.- М.: Просвещение, 1997

6. Международная научно-практическая конференция «Подготовка научных кадров высшей квалификации с целью обеспечения инновационного развития экономики». Материалы конференции / Под ред. Войтова И.В. и др. — Мн.: ГУ «БелИСА», 2006.