Проверочная контрольная работа на тему "Геометрия" ЕГЭ 11 класс

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена  точка K так, что KB=4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1=3:1, где P — точка пересечения плоскости α  с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 3. На его ребре BB1 отмечена  точка K так, что KB=2. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как  на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=2.

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как  на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=67,5° и BC=3.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус этого угла.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена  точка K так, что KB=3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1=2:1, где P — точка пересечения плоскости α  с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы  равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.