Рабочая программа предпрофильного элективного курса по математике в 9 классе Решение прикладных задач по алгебре

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Менделеевского муниципального района

«Рассмотрено» на заседании ШМО учителей ___________________ __________________ ФИО Протокол № ___ от «__»_________20___г.

«Согласовано» заместитель директора по УР _________/__________/ ФИО «__»_________20___г.

«Утверждено» приказ № ___ от «__»____20___г. директор __________/___________/ ФИО

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
предпрофильного элективного курса по математике в 9 классе

«Решение прикладных задач по алгебре»
предмет, класс и т.п.
_________Самуткин Э.В.______________
Ф.И.О. учителя
на 2017 - 2018 учебный год

г. Менделеевск

2017 год

Пояснительная записка

Элективный курс «Решение прикладных задач по алгебре» предназначен для изучения в 9 классе и рассчитан на 34 часов.

Важнейшим требованием общества к подготовке выпускников школ является формирование у них широкого научного мировоззрения, основанного на прочных знаниях и жизненном опыте, готовности к применению полученных знаний и умений в процессе своей жизнедеятельности. Универсальность математических методов позволяет отразить связь теоретического материала с практикой. Это определяет значимость математики в формирование у учащихся умений решать задачи, возникающие в процессе практической деятельности человека. Если вообще отказаться от задач с реальным предметным содержанием, то ученик не сможет решить ничего, кроме теоретических упражнений. В этом и заключается актуальность рассматриваемой темы элективного курса.

Предмет математики является опорным в средней школе, так как используется при изучении всех естественнонаучных дисциплин: физики, химии, биологии, географии и др. Законы математики обязательны для всех наук. Но и сама математика черпает идеи для своего дальнейшего развития именно из приложений.

Кроме названных оснований актуальности отметим необходимость совершенствования подготовки школьников к ОГЭ по разделу «Реальная математика». В спецификации ОГЭ задания модуля «Реальная математика» определяются как задания, формулировка которых содержит практический контекст, знакомый учащимся или близкий их жизненному опыту. Фактически, задания этого модуля – это прикладные задачи.

Реальные задачи прикладного характера, встречающиеся в практике людей различных профессий, вызывает растерянность даже у тех, кто хорошо усвоил материал школьных учебников. Школьники учатся решать по шаблону только определенные типы задач и зачастую не могут применить полученные знания в других областях.

Курс алгебры с самого начала буквально насыщен прикладным материалом, нужно только планомерно и систематически использовать его. Например, фактически все текстовые задачи формулируются в виде формализации жизненных ситуаций, следовательно, являются прикладными. Алгебраические законы и формулы выражают реально существующие связи между количественными отношениями и пространственными формами действительного мира. Они возникли как абстрактные математические модели предметов и явлений. Без понимания этого ученику трудно осознать сущность алгебраических методов.

Основная цель преподавания алгебры в условиях перехода к профильному обучению – сообщить учащимся все необходимые теоретические сведения таким образом, чтобы школьники убедились в неразрывной связи между теорией предмета и ее приложениями, научились самостоятельно применять свои знания к решению практических задач. Для реализации этой цели учителю необходимо владеть информацией о прикладных задачах в области различных наук, техники, современного производства, а также иметь соответствующий краеведческий материал. Использование прикладных задач на уроках алгебры поможет лучше раскрыть межпредметные связи, в первую очередь с геометрией и физикой.

Программа курса согласована с требованиями государственного образовательного стандарта и содержания программ курса алгебры. Она ориентирована на совершенствование уже освоенных учащимися знаний и умений. Содержание курса углубляет линии текстовых задач, тождественных преобразований, уравнений, неравенств, функций школьного курса математики.

Материал курса способствует развитию у школьников логического мышления и прикладных математических умений, позволяет им глубже понять учебный материал по алгебре. Для тех учащихся, которые хотят продолжить профильное образование, курс будет способствовать успешной сдаче единого государственного экзамена по математике и успешного обучения в вузе.

Элективный курс позволяют получить прочные и углубленные знания по приложениям алгебры.

Курс состоит из следующих тем:

– Использование формул сокращенного умножения для решения практико-ориентированных заданий.

– Тождественные преобразования алгебраических выражений и их применение при решении прикладных задач.

– Решение прикладных задач, сводящихся к линейным уравнениям.

– Прикладные задачи, решаемые с использованием линейных неравенств.

– Решение прикладных задач, сводящихся к квадратным уравнениям.

– Прикладные задачи на функциональную зависимость.

– Средние величины и их применения.

– Проценты.

– Решение прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения с помощью квадратичной функции.

– Теоретико-числовые прикладные задачи.

Для эффективной реализации курса используются разнообразные формы, методы и приёмы обучения, делая особый упор на развитие самостоятельности, познавательного интереса и творческой активности учащихся. Для этой цели проводятся:

1)уроки-лекции;

2) уроки-консультации;

3) самостоятельное решение типовых заданий;

4) итоговая контрольная работа.

Цели курса:

1. Развитие логического мышления и устойчивого интереса учащихся к предмету.

2. Расширение и углубление знаний по методам решения прикладных задач по алгебре.

Задачи курса:

1. Успешная сдача экзамена по математике в форме ОГЭ.

2. Развитие прикладных математических умений, технологической культуры учащихся.

3. Ориентация на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Методические рекомендации по организации элективного курса

Общая продолжительность работы по программе элективного курса «Решение прикладных задач по алгебре» – 34 часа: 1 час в неделю. Продолжительность одного занятия – 45 мин.

Изучение элективного курса «Решение прикладных задач по алгебре» складывается из трёх частей: теоретической, практической и контроля знаний и умений учащихся. Теоретическая часть элективного курса заключается в изложении материала учителем по каждой изучаемой теме с приведением примеров и сообщения учащимся дополнительных формул и теорем, не входящих в программу средней школы. Практическая часть элективного курса направлена на применение учащимися полученных знаний при решении задач. После каждой темы проводится дифференцированная самостоятельная работа, в результате которой оцениваются знания и умения учащихся по пятибалльной системе оценок. В конце учебного года проводится итоговая контрольная работа.

Формы контроля

1. Текущий контроль: самостоятельные работы.

2. Тематический контроль: самостоятельные и диагностические работы.

3. Промежуточный контроль: промежуточная контрольная работа

4. Итоговый контроль: итоговая контрольная работа.

Основные требования к знаниям и умениям учащихся

Проведение практических занятий имеет цель: закрепить у учащихся теоретические знания и развить практические умения и навыки в области приложений алгебры, в том числе по решению прикладных задач из КИМ ОГЭ по математике. Предметными результатами обучения являются:

1. Знание свойств алгебраических операций, отношений, функций и умение применять их при решении прикладных задач.

2. Знание алгебраических формул и алгоритмов, умение применение их при решении задач.

3. Владение методами решения прикладных алгебраических задач.

4. Умение по условию задачи грамотно построить математическую модель в виде уравнения или неравенства.

Учебно-тематический план

№ п/п	Темы	Теория	Практика	Общее кол-во часов
1.	Формулы сокращенного умножения и их геометрический смысл	1	1	2
2.	Использование формул сокращенного умножения для решения практико-ориентированных заданий		1	1
3.	Тождественные преобразования алгебраических выражений и их применение при решении прикладных задач	1	2	3
4.	Комплексные задачи на формирование конструктивных математических умений	1	1	2
5.	Решение прикладных задач, сводящихся к линейным уравнениям		2	2
6.	Прикладные задачи, решаемые с использованием линейных неравенств		2	2
7.	Решение прикладных задач, сводящихся к квадратным уравнениям	1	2	3
8.	Решение текстовых задач с использованием линейных, квадратных и рациональных уравнений		3	3
9.	Прикладные задачи на функциональную зависимость	1	2	3
10	Средние величины и их применения	1	1	2
11.	Проценты		1	1
12.	Сложные проценты	1	2	3
13.	Решение прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения с помощью квадратичной функции	1	2	3
14	Теоретико-числовые прикладные задачи		2	2
15.	Контрольные работы		2	2
ИТОГО:		8	26	34

Содержание программы

1. Формулы сокращенного умножения и их геометрический смысл (2 часа).

Распознавание известных конструкций квадрата (куба) суммы, разности, разности квадратов в сложных алгебраических выражениях. Геометрический смысл формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.

2. Использование формул сокращенного умножения для решения практико-ориентированных заданий (1 час).

Рациональные вычисления. Специальные методы решения квадратных уравнений.

3. Тождественные преобразования алгебраических выражений и их применение при решении прикладных задач (3 часа).

Распознавание, представление и преобразование выражений в виде структур переместительного, сочетательного, распределительного законов. Приведение подобных слагаемых. Вынесение общего множителя. Упрощение выражений.

4. Комплексные задачи на формирование конструктивных математических умений (2 часа).

Повторение всего пройденного материала по понятиям, определениям, свойствам, теоремам, алгоритмам и т.п. Выделение структур. Применение выделенных структур по образцу и в незнакомых ситуациях.

5. Решение прикладных задач, сводящихся к линейным уравнениям (2 часа).

Прямая пропорциональность в прикладных задачах. Выражение из формулы одной переменной через другие.

Задачи на движение. Задачи на совместную работу.

6. Прикладные задачи, решаемые с использованием линейных неравенств (2 часа).

Практико-ориентированные задания, решаемые с использованием неравенств или систем неравенств. Использование правил доказательства неравенств.

7. Решение прикладных задач, сводящихся к квадратным уравнениям (3 часа).

Задачи на движение. Задачи на совместную работу. Текстовые задачи.

8. Решение текстовых задач с использованием линейных, квадратных и рациональных уравнений (3 часа).

Задачи на движение. Движение по воде. Задачи на совместную работу. Текстовые логические задачи.

9. Прикладные задачи на функциональную зависимость (3 часа).

Определение значения зависимой величины (функции) при заданных значениях переменной величины (аргумента), от которой она зависит. Операции над функциями. Принадлежность точки с заданными координатами графику функции. Распознавание вида функции. Построение графиков функций, заданных таблично, в словесной форме, аналитически. Чтение свойств функции по графику. Задание функции в явном и неявном виде. Определение вида функции по графику. Задания практического содержания на вычисление математических, физических, химических, биологических, географических величин.

10. Средние величины и их применения (2 часа).

Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратичное, среднее гармоническое двух чисел и соотношения между ними. Их геометрический смысл. Применение для решения экстремальных задач.

11. Проценты (1 час).

Основные задачи на проценты. Решение задач на нахождение процента от числа и числа по его проценту, в том числе задач из реальной практики. Проценты в экономике и банковских расчетах. Задачи на смеси, сплавы, концентрацию.

12. Сложные проценты (3 часа).

Правила начисления сложных процентов. Формулы вычисления по сложным процентам.

13. Решение прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения с помощью квадратичной функции (3 часа).

Координаты вершины параболы. Наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции. Выделение полного квадрата. Задачи на наименьшее и наибольшее значение, решаемые с помощью квадратичной функции.

14. Теоретико-числовые прикладные задачи (2 часа).

Признаки делимости. Свойства делимости. Деление с остатком. Свойства остатков. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Неопределенные и диофантовы уравнения. Принцип Дирихле.

Рекомендации по оценке знаний и умений обучающихся

Опираясь на эти рекомендации, знания и умения обучающихся оцениваются с учетом их индивидуальных способностей.

1. Содержание и объем материала, подлежащего проверке, определяется программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность усвоения обучающимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

2. Основными формами проверки знаний и умений обучающихся по математике являются письменная контрольная работа и устный опрос.

При оценке письменных и устных ответов учитель в первую очередь учитывает показанные обучающимися знания и умения. Оценка зависит также от наличия и характера погрешностей, допущенных обучающимися.

3. Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в программе.

К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в программе основными. Недочетами также считаются: погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.

Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная учащимися погрешность может рассматриваться учителем как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах – как недочет.

4. Задания для устного и письменного опроса обучающихся состоят из теоретических вопросов и задач.

Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые теоретические факты и обоснованные выводы, а его изложение и письменная запись математически грамотны и отличаются последовательностью и аккуратностью.

Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно выполнены нужные вычисления и преобразования, получен верный ответ, последовательно и аккуратно записано решение.

5. Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по следующей системе, т.е. за ответ выставляется одна из отметок: 2 (неудовлетворительно), 3 (удовлетворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).

6. Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им заданий.

Критерии ошибок

К грубым ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание обучающимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

К негрубым ошибкам относятся: потеря корня или сохранение в ответе постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им;

К недочетам относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность или отсутствие пояснений, обоснований в решениях.

Оценка устных ответов обучающихся

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

– полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником, изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

– правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

– показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

– продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при отработке умений и навыков;

– отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

– в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;

– допущены один - два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;

– допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

– неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала;

– имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

– ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

– при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

– не раскрыто основное содержание учебного материала;

– обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

– допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Оценка письменных ответов обучающихся

Отметка «5» ставится, если:

– работа выполнена полностью;

– в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

– в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

– работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

– допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

– допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Календарно-тематический план

№ п/п	Тема урока	Вид контроля	Домашнее задание	Дата проведения
				план	факт
1	Формулы сокращенного умножения и их геометрический смысл	Фронтальный опрос	1.2, 1.6, 1.10
2	Формулы сокращенного умножения и их геометрический смысл	Индивидуальный опрос	1.7, 1.9, 1.17
3	Использование формул сокращенного умножения для решения практико-ориентированных заданий	Индивидуальный опрос	1.15, 1.17
4	Тождественные преобразования алгебраических выражений и их применение при решении прикладных задач	Фронтальный опрос	2.4, 2.7
5	Тождественные преобразования алгебраических выражений и их применение при решении прикладных задач	Индивидуальный опрос	2.5, 2.9
6	Тождественные преобразования алгебраических выражений и их применение при решении прикладных задач	Самостоятельная работа №1	2.2, 2.10
7	Комплексные задачи на формирование конструктивных математических умений	Фронтальный опрос	3.2, 3.7, 3.11
8	Комплексные задачи на формирование конструктивных математических умений	Индивидуальный опрос	3.5, 3.10, 3.12
9	Решение прикладных задач, сводящихся к линейным уравнениям	Фронтальный опрос	4.2, 4.4, 4.8
10	Решение прикладных задач, сводящихся к линейным уравнениям	Самостоятельная работа №2	4.6, 4.10, 4.13
11	Прикладные задачи, решаемые с использованием линейных неравенств	Фронтальный опрос	5.3, 5.5
12	Прикладные задачи, решаемые с использованием линейных неравенств	Индивидуальный опрос	5.6, 5.9
13	Решение прикладных задач, сводящихся к квадратным уравнениям	Устный опрос	6.3, 6.4
14	Решение прикладных задач, сводящихся к квадратным уравнениям	Фронтальный опрос	6.7, 6.10
15	Решение прикладных задач, сводящихся к квадратным уравнениям	Индивидуальный опрос	6.8, 6.9
16	Контрольная работа №1	Контрольная работа
17	Решение текстовых задач с использованием линейных, квадратных и рациональных уравнений	Фронтальный опрос	7.3, 7.4
18	Решение текстовых задач с использованием линейных, квадратных и рациональных уравнений	Индивидуальный опрос	7.6, 7.7
19	Решение текстовых задач с использованием линейных, квадратных и рациональных уравнений	Самостоятельная работа №3	7.8, 7.10
20	Прикладные задачи на функциональную зависимость	Фронтальный опрос	8.3, 8.5
21	Прикладные задачи на функциональную зависимость	Индивидуальный опрос	8.7, 8.8
22	Прикладные задачи на функциональную зависимость	Самостоятельная работа №4	8.9, 8.10
23	Средние величины и их применения	Фронтальный опрос	9.5, 9.7
24	Средние величины и их применения	Индивидуальный опрос	9.8, 9.10
25	Проценты	Фронтальный опрос	10.5, 10.9, 10.10
26	Сложные проценты	Фронтальный опрос	10.3, 10.7
27	Сложные проценты	Индивидуальный опрос	10.15, 10.16
28	Сложные проценты	Самостоятельная работа №5	10.18, 10.19
29	Решение прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения с помощью квадратичной функции	Фронтальный опрос	11.2, 11.4
30	Решение прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения с помощью квадратичной функции	Индивидуальный опрос	11.7, 11.8,
31	Решение прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения с помощью квадратичной функции	Самостоятельная работа №6	11.10, 11.11
32	Теоретико-числовые прикладные задачи	Фронтальный опрос	12.2, 12.4
33	Теоретико-числовые прикладные задачи	Индивидуальный опрос	12.8, 12.9
34	Итоговая контрольная работа	Контрольная работа

Контрольная работа №1

1 вариант

1. Рулон обоев имеет ширину 60 см и длину 10 м. Необходимо оклеить стены в комнате, размер которой 3х4х2,5 м. Общая площадь окна и двери 4 м². Сколько рулонов нужно купить?

(Ответ: 6)

2. Брус шириной 236 мм требуется распилить на доски, толщина которых равна 20мм. Ширина реза 4 мм. Сколько досок получится из этого бруска?

(Ответ: 10)

3. Пристани А и В, расстояние между которыми равно 120 км, расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 5 км/ч. Катер проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 24 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

(Ответ: 25 км/ч)

2 вариант

1. Сколько кирпича и раствора требуется для постройки стены длиной 20 м, толщиной 50 см, высотой 2,5 м, если на 1 м³ кладки расходуется 400 кирпичей, а расход раствора составляет 20% объема кладки?

(Ответ: 10000 штук кирпича, 5 м³ раствора)

2. На соревнованиях по фигурному катанию все 9 судей поставили за технику исполнения и артистизм спортсмена только оценки 5,6 и 5,7. Сумма всех оценок оказалась равной 101,9. Сколько оценок 5,7 получил спортсмен?

(Ответ: 11)

3. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом каждые 56 минут. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются каждые 8 минут. За какое время проедет всю кольцевую дорогу каждый автомобиль?

(Ответ: 14 мин, 56/3 мин)

Итоговая контрольная работа

1 вариант

1. За первый день бригада скосила 15 га, за второй день 20% оставшейся площади. Всего за два дня было скошено 36% всех лугов. Найдите площадь всех лугов.

(Ответ: 75 га)

2. Какова максимально возможная площадь прямоугольного участка пляжа, если длина забора 120 м? От моря пляж не огорожен, а огорожен с трех сторон.

(Ответ: 1800, с огороженными сторонами 30, 60, 30)

3. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см². Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

2 вариант

1. Задуманное число сначала увеличили на 12%, а затем результат уменьшили на 24%. Полученное при этом число оказалось на 186 меньше задуманного. Найдите задуманное число.

(Ответ: 1250)

2. Какова максимально возможная площадь прямоугольного участка, если длина забора 120 м?

3. Прямоугольная цветочная клумба должна занимать площадь 216 м². Вдоль длины клумбы должны быть дорожки шириной по 2 м, а вдоль ее ширины – по 3 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы площадь дорожек была наименьшей?

Самостоятельная работа №1. Тождественные преобразования

1 вариант

1. Найдите значение выражения рациональным способом:

.

2. Вычислить, подставив в выражении вместо переменных

.

2 вариант

1. 1. Найдите значение выражения рациональным способом:

.

2. Вычислить, подставив в выражении вместо переменных

.

Самостоятельная работа №2. Линейные уравнения

1 вариант

1. Выразите из приведенного равенства указанные переменные:

, переменные .

2. Фермер планировал засевать в день по 9 га поля. Применив новую технику, он каждый день засевал на 3 га больше, и за 3 дня до намеченного срока осталось засеять 9 га. Какова площадь поля?

(Ответ: 81 га)

2 вариант

1. Выразите из приведенного равенства указанные переменные:

, переменные .

2. Ученик пишет заголовок стенгазеты «Веселая пора». Длина листа 80 см. Какой ширины получились буквы, если он по 7 см оставил слева и справа на поля, просвет между словами равен ширине букв, ширина просвета между буквами равен половине ширине букв?

(Ответ: 4 см)

Самостоятельная работа №3. Квадратные уравнения

1 вариант

1. Центр площадки размером 26х12 м нужно оставить для прямоугольного газона площадью 120 м². Дорожка какой ширины останется по краям?

(Ответ: 3 м)

2. Расстояние между городами А и В 1540 км. Фирменный поезд в середине пути стоял час из-за ремонта путей. Чтобы прийти вовремя, он увеличил скорость на 7 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?

(Ответ: 22 ч)

2 вариант

1. Восьмиклассники всем классом решили обменяться фотографиями. Оказалось, что нужно 650 фотографий. Сколько учеников было в классе?

(Ответ: 26)

2. Вини-Пух с пятачком выполнили работу за 2 ч 24 мин. Пятачок один затратил бы на нее на 2 ч меньше, чем Пух. За какое время каждый из них, работая один, может выполнить всю работу?

(Ответ: 4 и 6 ч)

Самостоятельная работа №4. Функции

1 вариант

1. После начала торможения движение электропоезда описывается законом , а скорость меняется по закону , где – время (с), – скорость (м/с), – пройденный путь (м). Через сколько секунд поезд остановится? Каков его тормозной путь?

(Ответ: 80 с, 640 м)

2. Норма высева пшеницы 170 кг/га. Найдите зависимость расхода семян от засеянной площади. Постройте график найденной зависимости.

(Ответ: )

2 вариант

1. Пусть тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону . Какой максимальной высоты достигнет тело? Может ли оно достичь высоты 30 м?

(Ответ: 20 м, нет)

2. При бороновании 1 га пахоты трактор расходует 13 л горючего. Составьте формулу для выражения зависимости расхода горючего (л) от площади поля (га). Постройте график найденной зависимости.

(Ответ: )

Самостоятельная работа №5. Проценты

1 вариант

1. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения ее приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна? (Ответ: 150%)

2. После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000 руб. Какова была величина дохода предпринимателя? (Ответ: 50000 руб.)

3. Какой должен быть первоначальный вклад в банк, чтобы при начислении 5% в месяц получить через полгода 10 тыс. рублей? (Ответ: 7463 руб.)

2 вариант

1. В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 180 тыс. жителей, а право голоса имеют 81%? (Ответ: 87480)

2. Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась? (Ответ: 25%)

3. Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые 3 года вклад увеличивался в 4 раза? (Ответ: 59%)

Самостоятельная работа №6. Экстремумы

1 вариант

1. Имеется 40 м сетки, которой нужно огородить участок прямоугольной формы и наибольшей площади. Какие размеры должен иметь участок?

(Ответ: квадрат со стороной 10 м)

2. Найдите наименьший член последовательности, если он существует:

(Ответ: )

2 вариант

1. Для строительства склада заготовлен материал на наружные стены длиной 32 м и высотой 4 м. Какими должны быть размеры (в виде прямоугольного параллелепипеда), чтобы он имел наибольший объем?

(Ответ: 8х8х4 м)

2. Найдите наибольший член последовательности, если он существует:

(Ответ: )

Тема 1. Использование формул сокращенного умножения

для решения практико-ориентированных заданий

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) имеют большое значение в математике и приложениях.

Сначала обсуждается вопрос о выводе формул:

;

;

;

;

;

;

.

Важно сформировать у учащихся распознавать конструкции такого вида в сложных примерах.

В древней Греции ФСУ о квадратах величин были доказаны геометрически. Установите, каким ФСУ соответствуют следующие рисунки:

Задачи

1.1. Записать в виде алгебраического выражения:

а) произведение суммы и разности двух выражений и ;

б) квадрат разности одночлена и двучлена;

в) разность между произведением двух величин и их суммой.

1.2. Представить выражение квадратом суммы или разности:

а) ; б) .

1.3. В выражении вместо знака «?»записать такой одночлен, чтобы полученный двучлен можно было разложить на попарно различные множители: 1) на два множителя; 2) на три множителя; 3) на четыре множителя.

1.4. Вычислить рационально:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1.5. Разложить на множители:

а) ; б) .

1.6. Свернуть по формуле квадрата суммы или разности:

а) ; б) .

1.7. Решить уравнение:

а) ; б) ; в) .

1.8. Из пяти выражений

; ; ; ;

выбрали два, выполнили возведение в квадрат и нашли сумму трехчленов, получилось . Какие выражения выбрали?

1.9. Заполнить пустые ячейки одночленами таким образом, чтобы по вертикали, по горизонтали и диагонали, содержащим одночлен , получился трехчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена:

1.10. Выделить полный квадрат:

а) ; б) .

1.11. Выяснить, верно ли неравенство:

а) ; б) .

1.12. Решить неравенство:

а) ; б) .

1.13. Доказать тождество:

а) Сформулировать правило возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Вычислить устно квадраты всех двузначных чисел, оканчивающихся на 5. б) . Сформулировать правило возведения в квадрат чисел вида , где – целое число. Вычислить устно .

1.14. Две противоположные стороны квадрата увеличили, а две другие уменьшили на 5 см каждую. Как изменилась площадь фигуры?

1.15. Добрый волшебник дарил приходившим к нему детям конфеты. Он любил дружных детей и давал каждому столько конфет, сколько детей приходило. Как-то раз к нему пришло мальчиков. Каждый из них получил конфет – всего. конфет. Только они ушли, пришли девочек, они получили конфет. На следующий день мальчиков и девочек пришли вместе. В какой день – первый или второй – мальчики девочки вместе получили больше конфет и на сколько? (Ответ: во второй на конфет.)

1.16. Разрежьте квадрат со стороной на квадраты со сторонами и и два прямоугольника со сторонами и .

1.17. Из квадрата со стороной вырезан квадрат со стороной . Разрежьте получившуюся фигуру на части и сложите из них прямоугольник со сторонами и .

1.18. Два целых числа, одно из которых на 2 больше другого, перемножили и к произведению прибавили 1. Докажите, что получился точный квадрат целого числа.

Тема 2. Тождественные преобразования алгебраических

выражений и их применение при решении прикладных задач

;

;

;

;

.

Задачи

2.1. Установите, какому закону соответствует следующий рисунок:

2.2. Заполнить пропуски так, чтобы в полученном выражении можно было вынести общий множитель за скобки.

а) ; б) .

2.3. Упростить выражение:

а) ; б) .

2.4. Из переменных и знаков арифметических действий составить:

а) три различных многочленов; б) три подобных одночлена.

2.5. В выражении вместо переменной подставить выражение: а) ; б) ; в) .

2.6. Вычислите сумму чисел 1+2+3+…+99+100 в уме.

2.7. Сколько слагаемых будет в произведении

после того, как мы раскроем скобки?

2.8. Выведите признак делимости на 9.

2.9. Выведите признак делимости на 11.

2.10. Заработную плату рабочего составляет оклад рублей и премия за производства сверхплановой продукции (1 рубль за сверхплановую продукцию стоимостью рублей). Рабочий произвел сверхплановой продукции на рублей. Каков его заработок?

Ответ: .

Тема 3. Комплексные задачи на формирование конструктивных математических умений

Комплексные упражнения – это упражнения, для выполнения которых необходимы знания нескольких тем. Они позволяют повторить изученные понятия, теоремы в связи с другими понятиями. При их выполнении формируются конструктивные умения, так как без анализа, сравнения, обобщения и т.д. невозможно применение полученных знаний и умений.

Задачи

3.1. Проиллюстрируйте геометрически формулу

.

3.2. Метровый стержень разделили на 7 равных частей красными пометками и на 13 равных частей синими пометками. Затем его распилили на 20 равных частей. Докажите, что на всех этих частях, кроме крайних, будет ровно одна пометка – синяя или красная.

3.3. Докажите, что сумма первых нечетных чисел есть полный квадрат: . Проиллюстрируйте это свойство чисел геометрически.

3.4. За 30 минут бактерия заполняет банку, делясь на две каждую минуту. За сколько минут заполнят банку 2 бактерии?

3.5. Две свечи длиной 24 см зажжены одновременно. Одна свеча сгорела полностью за 6 ч, другая – за 8 ч. Составьте выражение для вычисления разности длин свечей, обозначая через время горения в часах. Какой длины была вторая свеча, когда первая полностью сгорела?

Ответ: (от 0 до 6 ч), (от 6 до 8 ч); 6 см.

3.6. Часы идут точно. В 12 ч минутная и часовая стрелки совпали. Когда они совпадут в следующий раз?

3.7. Каждый, кто ездил в поезде, слышал, как колеса стучат на стыках рельсов. Как с помощью этого ритмичного стука и часов определить скорость, с которой вы едете?

3.8. Рулон обоев имеет ширину 60 см и длину 10 м. Необходимо оклеить стены в комнате, размер которой 3х4х2,5 м. Общая площадь окна и двери 4 м². Сколько рулонов нужно купить?

Ответ: 6.

3.9. Сколько кирпича и раствора требуется для постройки стены длиной 20 м, толщиной 50 см, высотой 2,5 м, если на 1 м³ кладки расходуется 400 кирпичей, а расход раствора составляет 20% объема кладки?

Ответ: 10000 штук кирпича, 5 м³ раствора.

3.10. Самолет летит из Москвы в Пермь и в тот же день возвращается обратно. В первый день погода была безветренной, а во второй дул сильный ветер с запада. Одинаковое ли время самолет находился в воздухе в первый и во второй день?

Ответ: Во второй день дольше.

3.11. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Ответ: 1980.

3.12. Ксюша и Настя могут сделать набор подарочных коробочек за 6 часов, Настя и Влада, этот же набор коробочек могут сделать за 10 часов, а Настя и Влада – за 12 часов. За сколько часов девочки сделают набор подарочных коробочек, работая втроем?

Ответ: ч.

Тема 4. Решение прикладных задач, сводящихся к

линейным уравнениям

Математические зависимости являются моделями закономерностей окружающего мира.

Прямая пропорциональность, выраженная формулой , может иллюстрировать зависимость:

– между длиной окружности и ее диаметром: ;

– между расстоянием и временем движения при постоянной скорости: и др.

Формулы можно рассматривать как равенства, в которых в качестве переменной можно взять любую из букв. В курсе физики используется большое количество формул, которые можно использовать для формирования умений связанных с выражением одной переменной через другие.

Задачи

4.1. Решите уравнение относительно заданной переменной:

а) относительно ;

б) относительно ;

в) относительно .

4.2. В данных формулах выразить каждую переменную через другие:

а) ; б) ; в) .

4.3. Два парома ходят между противоположными берегами реки с постоянными скоростями. Достигнув берега, каждый из них начинает тут же двигаться в обратном направлении. Паромы отчалили от противоположных берегов одновременно, встретились впервые в 700 м от одного из берегов, поплыли дальше каждый к соответствующему берегу, затем повернули назад и вновь встретились в 400 м от другого берега. Определите ширину реки.

Ответ: 1700 м. (Указание: . Путь, пройденный паромами до второй встречи, в 3 раза больше пути, пройденного паромом до первой встречи.)

4.4. Спортивная колонна велосипедистов длиной 8 км равномерно движется по шоссе. Тренер, равномерно двигаясь на автомобиле, выехал из конца колонны, передал информацию в начало колонны и вернулся обратно. За это время колонна проехала путь длиной 15 км. Какой путь проехал тренер?

Ответ: 25 км.

4.5. Ученик решал задачу, которая начиналась словами: «Турист за 3 дня прошел 91 км». Он составил уравнение: . Восстановите условие задачи и решите ее.

4.6. Школе для разбивке сада предлагается прямоугольный участок земли определенной площади. Длина изгороди, которой буде обнесен сад, окажется несколько меньшей, если прямоугольный участок заменить квадратным с такой же площадью, для чего придется длину участка уменьшить на 24 м, а ширину увеличить на 20 м. Найдите длину стороны квадратного участка и вычислите, на сколько окажется длина изгороди квадратного участка меньше, чем длина изгороди прямоугольного участка.

4.7. Найдите число, которое уменьшится на 1,1 после деления его на 1,1.

4.8. Кубические миллиметры, заключающиеся в 1 м³, приставлены в виде полоски друг к другу. Сколько времени потребуется, чтобы проехать эту полоску при скорости 50 км/ч?

Ответ: 20 часов.

4.9. Король со свитой движется из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. Каждый час он высылает гонцов в В, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в В?

Ответ: 45 мин.

4.10. Два пешехода идут по дороге в одном и том же направлении. Один из них находится на расстоянии 8 км впереди второго и идет со скоростью 4 км/ч. Скорость второго 6 км/ч. Между ними безостановочно со скоростью 15 км/ч бегает собака. Какой путь проделает собака к тому моменту, когда второй пешеход догонит первого?

Ответ: 60 км.

4.11. Две черепахи ползут наперегонки. Первая проползает 4 метра за каждые 9 часов, а вторая 5 метров за каждые 11 часов. Какая черепаха ползет быстрее?

Ответ: вторая.

4.12. По контракту рабочим причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали на самом деле за это время?

Ответ: 6 дней.

4.13. На соревнованиях по фигурному катанию все 9 судей поставили за технику исполнения и артистизм спортсмена только оценки 5,6 и 5,7. Сумма всех оценок оказалась равной 101,9. Сколько оценок 5,7 получил спортсмен?

Ответ: 11.

4.14. Брус шириной 236 мм требуется распилить на доски, толщина которых равна 20мм. Ширина реза 4 мм. Сколько досок получится из этого бруска?

Ответ: 10.

4.15. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 35км/ч и 55 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину товарного поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 54 секундам. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 750 м ( ).

Тема 5. Прикладные задачи, решаемые с использованием

линейных неравенств

При изучении темы «Прикладные задачи, решаемые с использованием линейных неравенств» надо решать текстовые задачи, так как многие из них можно свести к решению неравенств или систем неравенств.

Задачи

5.1. В округе Y можно взять напрокат автомобиль, заплатив по 120 долларов за сутки и 80 центов за каждый км пройденного пути. Путешественник хочет взять напрокат автомобиль на 5 дней. Сколько км он может проехать, чтобы плата за прокат не превышала 1000 долларов?

Ответ: 4 км ( ).

5.2. Расстояние от деревни до станции по шоссе на 6 км больше, чем по тропинке. Один пешеход шел по шоссе со скоростью км/ч, а другой – по тропинке со скоростью 4 км/ч.Пешеход, который шел по тропинке, пришел на станцию на один час раньше другого, вышедшего с ним одновременно. Определите расстояние от деревни до станции по тропинке и по шоссе.

Ответ: км по тропинке; км по шоссе, при .

5.3. Какова должна быть температура 10 л воды, чтобы при смешивании с 6 л воды при температуре получить воду с температурой не менее и не более ?

Ответ: не менее и не более . (Учитывается, что удельная теплота воды равна 1. Приравниваются количества теплоты смесей: )

5.4. Задумали целое положительное число. Если к нему прибавить 7, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа. Если же к нему прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Какое число могли задумать?

Ответ: 4; 5; 6; 7; 8; 9.

5.5. В гостинице города за номер с телефоном надо доплачивать 15 рублей в сутки плюс 30 копеек за каждую минуту разговора. Турист останавливается в гостинице на 7 дней. Сколько минут он может говорить по телефону, если планирует заплатить за переговоры не более 120 рублей?

Ответ: не более 50 минут.

5.6. Дом Татьяны находится на расстоянии 800 м от школы и 500 м от дома Натальи. На каком расстоянии от школы может находиться дом Натальи?

Ответ: от 300 до 1300 м.

5.7. Записать обыкновенную положительную дробь. Прибавить к ее числителю и знаменателю 1. Сравнить полученную дробь с исходной. Какой вывод можно сделать?

5.8. Две авторучки дороже трех блокнотов. Что дороже: 7 авторучек или 10 блокнотов?

5.9. Возможна ли такая ситуация:

Один класс за 4 альбома по 10 рублей и 12 шариковых ручек заплатил меньше 100 рублей, а другой – за 1 такой же альбом и 15 таких же ручек заплатил больше 100 рублей.

5.10. Два ученика играли в игру «Задумай число». Первый говорит: «Я задумал целое число. Прибавив к нему 20, я получил больше, чем если бы умножил это число на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9. Какое число я задумал?» Подумав, второй сказал, что такого не может быть. Докажите это.

5.11. 4 коровы черной масти и 3 коровы рыжей масти за 5 дней дали такой же надой молока, как 3 черные и 5 рыжие за 4 дня. Какие коровы более молочные – черной или рыжей масти?

Ответ: рыжие.

Тема 6. Решение прикладных задач, сводящихся к квадратным уравнениям

Задачи

6.1. С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от него на 1600 км, два самолета. Скорость одного из них на 80 км/ч больше скорости другого, поэтому он прилетает к месту назначения на час раньше. Найдите скорость каждого самолета.

6.2. В конце лагерной смены дети решили обменяться своими фотографиями. Из приготовленных 480 фотографий 100 оказались лишними. Сколько было детей в отряде?

6.3. Ученик должен был перемножить два целых числа и сделать проверку путем деления полученного числа на больший множитель. При проверке частное оказалось равным 51 и остаток 40. Ошибка при умножении произошла от того, что ученик при сложении произведений принял в разряде сотен цифру 5 за 1. Найдите перемножаемые числа, если известно, что их разность равна 30.

6.4. В первой стопке 500 газет, во второй – 180 газет и в третьей – 100 газет. Сколько газет нужно переложить из третьей стопки в первую, чтобы в первой газет стало во столько раз больше, чем во второй, во сколько во второй будет больше, чем в третьей?

6.5. 96 шаров раздали 14 первоклассникам – победителям соревнования. Каждая девочка получила столько шаров, сколько было мальчиков, и каждый мальчик получил столько шаров, сколько было девочек. Сколько мальчиков и девочек участвовало в соревнованиях?

6.6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Ответ: 30 и 40 узлов.

6.7. Деление отрезка на две неравные части так, что отношение меньшей частик большей равно отношению большей части к целому отрезку, называется золотым сечением или золотой пропорцией. Найдите эту пропорцию.

Ответ: .

6.8. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки м/с от глубины м: . Найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где ) и глубину с максимально сильным течением.

Ответ: максимальная глубина 4 м, наибольшая скорость 9 м/с при глубине 1 м.

6.9. Пароход шел по течению реки со скоростью 24 км/час, а затем повернул обратно. Через некоторое время с него спустили на воду надувной плот (без мотора и весел). Затем пароход прошел против течения еще 15 км, после чего оказался на расстоянии 20 км от плота. Какова скорость парохода в стоячей воде?

Ответ: 19,2 км/ч.

6.10. В сборнике напечатана 171 партия кругового турнира по шахматам (т.е. такого, в котором каждый с каждым встречается по одному разу). Сколько было участников турнира?

Ответ: 19.

Тема 7. Решение текстовых задач с использованием рациональных уравнений

Задачи

7.1. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 часов. Одна труба наполняет его на 5 часов быстрее, чем вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

Ответ: 10 ч, 15 ч.

7.2. Расстояние между городами А и В составляет 100 км. Из А в В отправляются одновременно два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше скорости второго автомобиля, и пути он делает остановку на 50 минут. В каких пределах может меняться скорость первого автомобиля при условии, что он прибывает в город В не позже второго автомобиля?

Ответ: (10; 40].

7.3. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом каждые 56 минут. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются каждые 8 минут. За какое время проедет всю кольцевую дорогу каждый автомобиль?

Ответ: 14 мин, 56/3 мин.

7.4. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы мальчик, спускаясь по неподвижному эскалатору?

Ответ: 50.

7.5. Трем бригадам поручен некоторый объем работ. Известно, что первая и вторая бригады, работая вместе, могут выполнить ее за 55 дней. Также известно, что третья бригада затратила бы на эу же работу на 11 дней больше, чем вторая. Найдите наименьший возможный срок, за который три бригады, работая вместе, выполнят эту работу.

Ответ: 30 дней.

7.6. Пристани А и В, расстояние между которыми равно 120 км, расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 5 км/ч. Катер проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 24 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Ответ: 25 км/ч.

7.7. Карлсон съедает 3% банки варенья за 9 секунд, а вместе с Малышом они съедят эту банку за 3 минуты. Сколько времени (в минутах) понадобится Малышу, чтобы съесть эту банку одному?

Ответ: 7,5 мин ( ).

7.8. Во дворце культуры произвели ремонт зрительного зала, в котором число рядов меньше числа мест в ряду. До ремонта в нем было 770 мест, а стало 660. Во время ремонта убрали 2 ряда целиком и по 2 кресла в каждом ряду. Сколько теперь рядов в зрительном зале?

Ответ: 20.

7.9. Две машинистки перепечатали рукопись за 6 час. 40 мин. Во сколько времени могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая одна, если первая затратила бы на эту работу на 3 часа больше второй?

Ответ: 12 и 15 часов.

7.10. Месячный доход некоторого предприятия на рынке определяется формулой (тыс. руб.), где:

– объем спроса на продукцию; – цена.

Причем объем спроса зависит от цены по формуле: .

Определите, при каком максимальном уровне цены на продукцию (тыс. руб.) предприятие получит доход не менее 315 тыс. руб. в месяц.

Ответ: 3500 руб.

Тема 8. Прикладные задачи на функциональную зависимость

В качестве примера умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат, можно привести применение прикладных задач при изучении темы «Линейная функция и ее график». Эта функция моделирует равномерные процессы окружающей действительности. С такими процессами ученики сталкиваются часто. Кроме предложенных в учебнике задач на моделирование процесса перевозки грузов, накопления прибылей от вложенной суммы, равномерного движения, можно и нужно останавливаться на моделях других процессов. Например, стоит рассмотреть зависимость стоимости покупки от числа купленных товаров, зависимость объема выполненной работы от времени, массы тела от его объема и другие. Таким образом, будет накоплен опыт использования понятия «линейная функция» на практическом (наглядном) и формирующем (генетическом) уровнях.

Задачи

8.1. Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние по формуле , где – число шагов, – длина шага. Какое расстояние прошел человек, сделавший 4000 шагов, если длина его шага составляет примерно 55 см?

Ответ: 2,2 км.

8.2. Выразите из формулы скорости равноускоренного движения время и ускорение.

8.3. Если к пружине подвешивать груз, то она будет растягиваться. Ее длину в зависимости от массы подвешиваемого к ней груза будем определять по формуле , где – длина пружины (в см), – масса груза (в кг), причем не превосходит 8 кг.

а) Вычислить, какую длину будет иметь пружина, если к ней подвешен груз массой 5 кг (8 кг, 3 кг, 0 кг)?

б) Является ли данная зависимость линейной функцией?

в) Начертите координатную плоскость и постройте график функции , где .

г) С помощью построенного графика найдите , если .

д) С помощью построенного графика найдите, при каком значении длина .

8.4. В 9 часов утра из города А в город В выехал автомобиль. В первый час он проехал 80 км, затем, проезжая населенный пункт, он двигался в течение 30 минут со скоростью 60 км/ч. После этого он на 1 час остановился. Далее автомобиль двигался в среднем со скоростью 70 км/ч. Известно, что автомобиль приехал в город В в 15 часов 30 минут.

а) Составьте таблицу изменения пути автомобиля в зависимости от изменения времени и по данным таблицы постройте график.

б) Определите по графику, на каком расстоянии от города А автомобиль был в 10 ч; в 11 ч; в 12 ч 30 мин.

в) На каком расстоянии от города А и в какое время дня он остановился для отдыха?

г) На каком расстоянии от города А находится город В?

д) В какое время дня автомобиль находился от города А на расстоянии 90 км; 150 км?

8.5. Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому T лет (Tt часов, где t определяется по формуле t=17– . Сколько часов должен спать ученик 7, 8, 9 классов? (13, 14, 15 лет).

8.6. Волосы на голове человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Определите, как часто мальчики вашего класса должны посещать парикмахерскую, если они хотят носить волосы не короче 3 см, но не длиннее 5 см.

8.7. Для приготовления омлета на два яйца берут 20 г молока, 30 г сливочного масла. Выпущенные в миску яйца нужно посолить, влить молоко (или воду, если молока нет) и взбить вилкой. Яичную массу вылить на горячую сковороду с маслом и жарить на сильном огне, вначале помешивая ее для равномерного прогревания. Как только омлет начнет густеть, завернуть его края с двух сторон к середине ножом, придав омлету форму продолговатого пирожка. Какое количество продуктов понадобится для изготовления омлета из 5, 10, x яиц?

8.8. С двухметровой высоты под углом к горизонту выпущена сигнальная ракета. Изменение ее полета (в метрах) в зависимости от времени движения (в секундах) описывается формулой .

а) Постройте график функции (Другой вариант: можно дать готовое изображение графика).

б) Используя график, ответьте на вопросы: в какое время ракета поднимется на высоту 20 м и в какое время она окажется на той же высоте при спуске?

в) На какой высоте ракета будет через 3,5 с полета?

г) Укажите наибольшую высоту подъема ракеты. Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?

д) Что означает, что график функции не пересекается с осью ?

8.9. Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где – длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

Ответ: 2,25.

8.10. С горы с некоторой начальной скоростью столкнули круглый камень. За 3 с он прокатился 15 м, а за 10 с – 120 м. Считая его движение равноускоренным, определите, за какое время он укатится на 500 м.

Ответ: 21,5 с.

Тема 9. Средние величины и их применения

Средним арифметическим неотрицательных чисел и называется их полусумма , средним геометрическим – квадратный корень из их произведения: .

Средним квадратическим неотрицательных чисел и называется неотрицательное число .

Средним гармоническим положительных чисел и называется число .

Задачи

9.1. Чему равна сторона квадрата, периметр которого равен периметру прямоугольника со сторонами и ?

9.2. Чему равна сторона квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами и ?

9.3. Докажите, что среднее геометрическое двух неотрицательных чисел меньше или равно их среднего арифметического: (Неравенство Коши). Подумайте, что это означает на геометрическом языке.

9.4. Докажите, что среднее геометрическое двух неотрицательных чисел равно их среднему арифметическому в том и только в том случае, когда эти числа равны.

9.5. Каково максимально возможное значение произведения двух неотрицательных чисел, сумма которых равна с? Каково минимально возможное значение? (Ответ: среднее геометрическое не превосходит , произведение не превосходит , это максимальное значение достигается, когда оба числа равны . Минимально возможное значение произведения равно 0, и достигается, когда одно из чисел равно 0.)

9.6. . Каковы максимально и минимально возможные значения суммы двух неотрицательных чисел, произведение которых равна ?

Ответ: среднее геометрическое равно , сумма не меньше , это минимальное значение достигается, когда оба числа равны . Максимально возможного значения не существует. Сумма может быть сколь угодно велика.

9.7. Какова максимально возможная площадь прямоугольного участка, если длина забора 120 м?

9.8. Какова максимально возможная площадь прямоугольного участка пляжа, если длина забора 120 м? От моря пляж не огорожен, а огорожен с трех сторон.

Ответ: 1800, со огороженными сторонами 30, 60, 30.

9.9. Докажите, что среднее квадратичное двух неотрицательных чисел больше или равно их среднего арифметического: .

9.10. Докажите, что среднее геометрическое двух положительных чисел больше или равно их среднего гармонического: .

Тема 10. Проценты

Пять основных задач с простыми процентами:

1. Нахождение процента данного числа.

Чтобы найти % от , надо вычислить .

2. Нахождение числа по его проценту.

Если известно, что % числа равно , то .

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел и , надо отношение этих чисел умножить на 100%: .

4. Если величина больше на , то .

Таким образом, если величина возросло на , то ее новое значение равно .

5. Если величина меньше на , то .

Если величина уменьшилось на , то ее новое значение равно .

Задачи

10.1. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

Ответ: 7 кг.

10.2. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал половину хлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены возрастут еще на 20%?

Ответ: да.

10.3. Если товар сначала подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%, то какая цена выше – до подорожания или после удешевления, и на сколько процентов?

Ответ: После удешевления дешевле на 1%.

10.4. Масса гуся 2,5 кг, а утки 2 кг. На сколько процентов гусь весит больше утки? На сколько процентов утка весит меньше гуся?

Ответ: Гусь весит больше утки на 25%, утка весит меньше гуся на 20%.

10.5. Ребята одного класса были в музее и в кино. Из них в музее были 89%, в кино 78%. Все были в музее или в кино. Сколько процентов ребят были и в музее, и в кино?

Ответ: 67%.

10.6. В кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков?

Ответ: 125%.

10.7. Цену на товар снизили на 10%, а потом еще на 10%. Стал бы он дешевле, если бы его цену сразу снизили на 20%?

Ответ: Да.

10.8. Длину каждой стороны квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась его площадь?

Ответ: 44%.

10.9. Задуманное число сначала увеличили на 12%, а затем результат уменьшили на 24%. Полученное при этом число оказалось на 186 меньше задуманного. Найдите задуманное число.

Ответ: 1250.

10.10. Из 40 тонн железной руды выплавляют 20 тонн стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Ответ: 53%.

10.11. За первый день бригада скосила 15 га, за второй день 20% оставшейся площади. Всего за два дня было скошено 36% всех лугов. Найдите площадь всех лугов.

Ответ: 75 га.

10.12. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 60% мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед по парте – тоже девочка. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?

Ответ: % (Число девочек, сидящих с мальчиками, т.е. 80% девочек, равно числу мальчиков, сидящих с девочками, т.е. 40% мальчиков).

Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов.

Если при этом происходит изменение на одно и то же число процентов , то применяется формула сложных процентов: , где

– первоначальное значение величины,

– новое значение величины,

– количество процентов,

– количество промежутков времени.

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

.

При банковских расчетах возможна и такая ситуация. Пусть вкладчик открыл счет и положил в него рублей на % годовых. Если по прошествии года вкладчик будет снимать начисленные проценты, равные рублей, то через лет на вкладе будет рублей.

10.13. Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?

Ответ: 32%.

10.14. Цена товара была повышена на 12%. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

Ответ: %.

10.15. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?

Ответ: 100% ( ).

10.16. Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?

Ответ: 41%.

10.17. Составить задачу на сложные проценты, используя жизненную ситуацию, и решить ее.

10.18. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 рублей. Какая сумма будет на его счете через 5 лет?

Ответ: 280000 руб.

10.19. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 руб. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?

Ответ: 3947 руб. 65 коп.

Тема 11. Решение прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения с помощью квадратичной функции

Решение таких задач сводится к исследованию квадратного трехчлена и квадратичной функции. При этом используется прием выделения квадрата двучлена, или определения координат вершины параболы.

Задачи

11.1. Число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Ответ: 7,5.

11.2. Сумма двух чисел равна 1. Какое наибольшее значение может принимать их произведение?

Ответ: 0, 25.

11.3. Докажите, что квадрат имеет максимальную площадь среди всех прямоугольников данного периметра.

11.4. Докажите, что квадрат имеет минимальный периметр среди всех прямоугольников данной площади.

11.5. Какие стороны может иметь прямоугольник с минимальным периметром, имеющий площадь 2.

11.6. Струя пожарного насоса описывает параболу, заданную функцией . Найдите максимальную высоту и дальность струи воды.

11.7. Тело брошено вертикально вверх с высоты 25 м с начальной скоростью 4 м/с. Считая ускорение земного притяжения равным 10 м/с² и пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, на какую максимальную высоту взлетит тело.

11.8. Арка моста имеет форму параболы с высотой 4 м и наибольшей шириной 20 м. Составьте уравнение этой параболы.

11.9. Требуется построить одноэтажное здание с общей площадью 180 м² при наименьшей затрате материала на наружные стены. Каковы должны быть размеры здания, если оно будет строиться из железобетонных блоков длиной 3 м каждый?

Ответ: 15 м х 12 м.

11.10. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см². Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

11.11. Прямоугольная цветочная клумба должна занимать площадь 216 м². Вдоль длины клумбы должны быть дорожки шириной по 2 м, а вдоль ее ширины – по 3 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы площадь дорожек была наименьшей?

Тема 12. Теоретико-числовые прикладные задачи

Задачи

12.1. Сколько раз необходимо к числителю дроби прибавить по 9 и к знаменателю по 2, чтобы дробь обратилась в единицу?

12.2. Может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 23?

Ответ: Нет (Используйте четность ).

12.3. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 и на 14 даёт соответственно остатки 1 и 9.

Ответ: 37 ( ).

12.4. Числитель и знаменатель дроби – целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит 1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

Ответ: .

12.5. Считаем на пальцах: большой-1, указательный-2, средний-3, безымянный-4, мизинец-5, безымянный-6, средний-7, указательный-8, большой-9, указательный-10, и т.д. На каком пальце закончится счет до 2016?

Ответ: указательный.

12.6. Из картона вырезали несколько равных правильных треугольников. В вершинах каждого написаны цифры 1. 2, 3. Затем сложили их в стопку. Может ли оказаться так, что сумма чисел вдоль каждого ребра стопки равна 2011?

Ответ: нет.

12.7. В классе 39 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше, чем 4 ученика этого класса?

Ответ: Да (39 больше, чем 36).

12.8. В розыгрыше кубка по футболу в один круг участвует 30 команд. Доказать, что в любой момент найдутся 2 команды, сыгравшие одинаковое число игр.

12.9. (Задача Я. Перельмана) Вы должны уплатить за купленный товар 19 рублей. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира только пятирублевки. Как расплатиться с кассиром?

Литература

1. Возняк Г.М., Гусев В.А. Прикладные задачи на экстремумы в курсе математики 4-8 классов: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1985. – 144 с.

2. Гельфанд И.М., Шень А. Алгебра. – М.:МЦНМО, 2014. – 144 с.

3. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Изд-во «Национальное образование», 2016. – 256 с. – (ЕГЭ. ФИПИ – школе).

4. Лакша Е.И. Факультативные занятия. Прикладные задачи по алгебре. 8 класс. Пособие для учителя. – Мозырь: Белый ветер, 2015. – 82 с.

5. Лакша Е.И. Факультативные занятия. Прикладные задачи по алгебре. 8 класс. Пособие для учащихся. – Мозырь: Белый ветер, 2015. – 148 с.

6. Лакша Е.И., Новик И.А., Зенько С.И. Факультативные занятия. Прикладные задачи по алгебре. 9 класс. Пособие для учащихся. – Мозырь: Белый ветер, 2016. – 110 с.

7. Математика 8-9 классы: сборник элективных курсов / авт.-сост. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. - Волгоград: Учитель, 2006. – 205с.

8. Мышкис А.Д., Шамсутдинов М.М. К методике прикладной направленности обучения математике // Математика в школе. – 1988. – №2. – С. 12-14.

9. ОГЭ-2016: Математика: 20 вариантов экзаменационных работ для подготовки к основному государственному экзамену в 9 классе / под ред. И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2016. – 110 с.

10. Печёнкина Е.Н. Практико-ориентированные задачи на уроках математики в основной школе. Электронный ресурс. – http://rudocs. /docs/index-100680.html

11. Поварушкина Н.В. Практико-ориентированное обучение на уроках математики в условиях реализации программы профильной школы. Электронный ресурс. – http://*****/articles/501094/

12. Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты // Математика в школе. – 1998. – №4.

13. Симонов А.С. Сложные проценты // Математика в школе. – 1998. – №5.

14. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики // Математика в школе. – 2006. – №6. – С. 2-9.

15. Фоминых Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1999. – 112 с.

16. Шкарин А.Б., Федянов А.М., Сандлер Б.Г. Алгебраические задачи в технике (сборник задач): Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1962. – 116 с.

17. Ябурова Е.А. Задачи с практическим содержанием как средство реализации практико-ориентированного обучения физике. Электронный ресурс. – http://www.dissercat.com/content/zadachi-s-prakticheskim-soderzhaniem-kak-sredstvo-realizatsii-praktiko-orientirovannogo-obuc

43