Районная научно-практическая конференция школьников по математике "Логические задачи"

Государственное учреждение образования

«Кочищанская средняя школа Ельского района»

Научно-практическая конференция учащихся по естественно-научным направлениям «Поиск»

Учебно-исследовательская работа

«Методы решения олимпиадных задач»

Любовь Николаевна

Кочищи 2018/2019 уч. год

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Методы решения олимпиадных задач 5

Основные типы и методы решения задач 6

Задачи на движение, на работу 6

Геометрические задачи 8

Логические задачи 9

Метод граф 9

Метод кругов Эйлера 13

Заключение 15

Список использованной литературы 16

“Умение решать задачи ­ такое же практическое

искусство, как умение плавать или бегать.

Ему можно научиться только путём

подражания или упражнений” Д. Пойл

Современный динамично изменяющийся мир предъявляет к знаниям школьников все новые требования, которые, увы, с годами не становятся проще. На уроках математики, факультативных и стимулирующих занятиях, на олимпиадах учащимся все время приходится решать самые различные задачи. И очень часто некоторые из этих задач заставляют их по настоящему “поломать голову”, так как в коротком и простом условии прячется очень много работы для ума, ведь олимпиадные задачи – это нестандартные задачи, требующие использования всех знаний в нестандартных ситуациях. И здесь совсем не нужно идти на поводу у первой пришедшей в голову мысли, потому что она очень часто бывает неправильной. Ну, а чтобы действительно получить вкус от красиво найденного решения задачи, нужно просто не полениться и капнуть немного глубже, чем может показаться на первый взгляд. А это не всегда просто.

Потому выбранная тема, на наш взгляд, актуальна, ведь задача – это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства её решения – это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно отдает часть своего досуга умственной гимнастике, лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием.

Таким образом, целью моей работы стало исследование и изучение основных типов олимпиадных задач, ознакомление с методами их решения и развитие познавательного интереса учащихся к такому виду задач.

Исходя из этого, нами были поставлены следующие задачи:

• изучить и понять типы олимпиадных задач;

• рассмотреть идеи и методы решения олимпиадных задач;

• наработать навыки в решении таких задач.

Предмет исследования – олимпиадные задачи: логические задачи, задачи с отношениями, задачи на движение и работу, геометрические задачи.

Практическая направленность заключается в том, что изучение методов решения олимпиадных задач будет способствовать развитию компетентной личности учащихся, владеющей настойчивостью, инициативой, самостоятельностью, повысит познавательный интерес учащихся к такому виду задач, а также к участию в олимпиадах.

Методы исследования – сравнение, работа с научной и учебной литературой.

Прежде чем решать задачу, подумай,

что делать с ее решением! Д.Пойа

Что же мы понимаем под олимпиадными задачами?

Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.

На выполнение олимпиадных задач отводится строго определенное время, в качестве заданий предлагаются не задачи обязательного или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные.

Нестандартные задачи – это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Однако, следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли мы со способами решения задач такого типа. Таким образом, нестандартная задача – это задача, алгоритм которой неизвестен, т. е. неизвестен ни способ её решения, ни то, на какой учебный материал опирается решение. А многие задачи требуют и специальных знаний, подготовки. Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач.

Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация "замаскирована", представлена неявно, и надо уметь её извлечь. Как известно, видение рождает мышление. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить в виде единой целой.

В ходе изучения научной литературы нами были выявлены следующие типы олимпиадных задач для учащихся 5 класса:

• арифметика;

• числовые ребусы;

• логические;

• содержащие идеи четности или делимости;

• на взвешивание, переливания;

• на раскраску или разрезание;

• на движение или работу;

• решаемые с конца;

• геометрические;

• на отношения.

Рассмотрим некоторые из этих типов задач при решении: на движение и работу, геометрические, логические (используя методы граф и кругов Эйлера).

Во всех таких задачах на движение допускается определенная идеализация: считается, что тела движутся прямолинейно и равномерно, скорости (в том числе скорость течения) постоянны в течение определенных промежутков времени, не меняются при поворотах и т.д.

Основными типами задач на движение являются следующие:

1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);

2) задачи на движение по воде;

3) задачи на среднюю скорость.

Задача 1: Андрей и Саша выехали одновременно на велосипедах навстречу друг другу из Ельска в Мозырь. Скорость Андрея 3 км/ч, скорость Саши 5 км/ч. Какое расстояние между мальчиками будет через 2 ч, если расстояние от Ельска до Мозыря 25 км? Ответ запишите в километрах.

Решение:

1. 3 + 5 = 8 (км/ч) – скорость сближения мальчиков;

2. 8 · 2 = 16 (км) – на столько сократится расстояние между мальчиками
   за 2 ч;

3. 25 – 16 = 9 (км) – станет расстояние между ними.

Ответ: 9 км.

Задача 2: Скорость теплохода в 4 раза больше скорости течения реки Неман. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения Немана, если известно, что против течения реки теплохода за 4 ч проходит 36 км.

Решение:

1. 36 : 4 = 9 (км/ч) – скорость теплохода при движении против течения реки Неман;

2. 9 : (4 – 1) = 3 (км/ч) – скорость течения реки Неман;

3. 3 · 4 = 12 (км/ч) – собственная скорость теплохода.

Ответ: 12 км/ч и 3 км/ч.

Задачи на работу часто вычисляются по формуле: А=P·t где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени; t – время, необходимое для выполнения всей работы.

Пусть P·t=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:

,

.

Задача 3: Два плотника сложили сруб дома за 16 дней. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы сруб дома за 24 дня. За сколько дней второй плотник, работая один, сложил бы тот же сруб?

Решение: Запишем условие задачи в таблицу

;

;

;

;

.

Ответ: 48.

Пожалуй, самыми интересными и сложными среди олимпиадных задач являются задачи по геометрии. Мы не будем разбирать сложные задачи, ограничившись только отдельными подходами к решению геометрических задач. Даже их классификация представляет затруднения. Некоторые из задач можно назвать задачами геометрическими условно, ведь они сводятся к элементарным вычислениям. В таких задачах важнее всего идея решения.

Задача 4: Диагональ делит четырехугольник с периметром 48 см на два треугольника с периметрами 25 см и 33 см. Найдите длину этой диагонали.

Решение:

По условию диагональ BD делит четырехугольник АBСD с периметром 48 см на два треугольника АBD и АВС с периметрами 25 см и 33 см соответственно. Это значит,

АВ + BC + CD + AD = 48, (1)

АВ + BD + AD = 25, (2)

BC + CD + BD = 33. (3)

Если мы сложим два последних равенства (2 и 3), то получим

АВ + BD + AD + BC + CD + BD = 25 + 33,

АВ + BC + CD + AD + 2 · BD = 58.

Учитывая равенство (1) , то получаем:

48 + 2 · BD = 58.

Решая уравнения, получаем

2 · BD = 10;

BD = 5 (см).

Ответ: 5 см.

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания. Логические задачи можно решать с помощью методов: рассуждения, таблиц, графа, кругов Эйлера.

Граф – очень популярный объект в математике – есть набор точек, соединенных отрезками – ребрами. Граф отлично моделирует передвижения объекта между географическими объектами, компьютерные сети, знакомства, отношения. Графы помогают лучше понять структуру исследуемого объекта.

Задача 5: В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то, что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной музыки.

Решение:

Заметим, что по условию задачи цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А так как у любителя хаус ни рубашка ни бандана не были белыми и любитель рейв был в желтой рубашке, то делаем вывод, что любитель техно может быть в рубашке и бандане только белого цвета. 

Получаем граф: 

Решение сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах. Значит у любителя хаус желтая бандана и черная рубашка (т.к. цвет совпадал только у любителя техно по усл.), а у любителя рейв черная бандана.

Ответ: У любителя техно рубашка и бандана белого цвета; у любителя хаус черная рубашка и желтая бандана; у любителя рейв желтая рубашка и черная бандана.

Задача 6: Жили-были на свете три поросёнка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет и какие цветы выращивает.

Решение:

Из условий задачи получаем граф: 

Можно сделать вывод, что возле кирпичного домика растут розы, а возле соломенного – тюльпаны. А так как Наф-Наф живет не в деревянном домике, то он и не выращивает ромашки. А так как на тюльпаны у него аллергия, то он может выращивать только розы. Внесем эти данные в чертеж и получим: 

Теперь стало ясно и то, что Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки. Методом исключения получаем, что Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны. 

Ответ: Наф-Наф живет в кирпичном домике и выращивает розы; Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки; Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств. Это геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Задача 7: В одной семье было много детей. 8 из них любили конфеты, 5 – печенье, 7 – торты, 3 – конфеты и печенье, 4 – конфеты и торты, 2 – печенье и торты, один – и конфеты, и печенье, и торты. Сколько детей было в семье?

Решение:

Удобно решать такие задачи при помощи кругов Эйлера.

Первый способ:

1. 5 + 8 + 7 =20 (детей)

2. 20 – 3 – 4 – 2 = 11 (детей)

3. 11 + 1 = 12 (детей).

Второй способ:

1. 2 – 1 = 1 (ребенок) любит печенье и торт и не любит конфеты;

2. 4 – 1 = 3 (ребенка) любят конфеты и торт и не любят печенье;

3. 3 – 1 = 2 (ребенка) любят печенье и конфеты и не любит торт;

4. 7 – 1 – 1 – 3 = 2 (детей) любят только торт;

5. 5 – 1 – 1 – 2 =1 (ребенок) любит только печенье;

6. 8 – 3 – 2 – 1 = 2 (детей) любят только конфеты;

7. 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 12 (детей) в семье.

Ответ: 12 детей.

Задача 8: В Гродно приехала группа из 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни английского языков, 75 человек знали немецкий и 83 – английский язык. Сколько туристов знали оба языка – немецкий и английский?

Решение:

Удобно решать такие задачи при помощи кругов Эйлера.

1. 100 – 10 = 90 (человек) знали хотя бы один язык;

2. 75 + 83 – 90 = 68 (человек) знали два языка.

Ответ: 68 человек.

Человеку в течение всей жизни приходится не один раз оказываться в затруднительном положении, выход их которого можно найти с помощью логических рассуждений. А способность логически мыслить, и отрабатывается на решении нестандартных занимательных задач, при решении которых развивается интеллект человека.

В своей работе мы собрали разные виды олимпиадных задач и познакомились с методами их решения.

На основании нашего исследования можно сделать вывод, что олимпиадные задачи:

1. развивают интеллект, способствуют повышению уровня математической грамотности;

2. это нестандартные задачи, а потому не существует определенного алгоритма решения таких задач;

3. учат высказать предположения, проверять их достоверность и логически обосновывать решение;

4. повышают мотивацию, стремление к правильному решению, что способствует повышению интеллектуального потенциала учащихся.

Вся наша жизнь – это непрерывное решение больших и маленьких логических задач и проблем, а без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудно.

1. Бабинская, И.Л. Задачи математических олимпиад / И.Л. Бабинская // – М.: Просвещение, 2001.

2. Галеева, Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность / Я.И. Рубин// – М.: Феникс, 2006.

3. Дмитриева, А. В., Овчинников, А. Ф. Логические задачи. Методы решения: учебно-методическое пособие для реализации предпрофильной подготовки – Новосибирск: изд. НГПУ, 2005.

4. Дэпман , И.Г. За страницами учебника математики – М.: Мир, 1983.

5. Шарыгин, И. Ф., Шевкин, А. В. Задачи на смекалку – М.: Просвещение, 5-е изд., 2000.

. Бахарь, О. Н. Статистическая оценка демографической ситуации в Республике Беларусь / О. Н. Бахарь, Е. Е. Шарилова // Бухгалтерский учет и анализ. – 2016. – № 1. – С. 36-41.

2. Рубин, Я.И. Современная демографическая проблема в Беларуси/ Я.И. Рубин// Социологические исследования – 2018. - № 2.

3. В.И. Зиновский/ Регионы Республики Беларусь// Статистический сборник/ Национальный статистический комитет Беларуси. – Минск, 2018.

4. Кухаревич Е.И. Мужчины и женщины Республики Беларусь// Статистический сборник/ национальный статистический комитет Беларуси. – Минск, 2010.

5. Дащинская, Н. Проблемы демографического старения населения Республики Беларусь / Н. Дащинская // Статистика Беларуси. – 2017. – № 3. – С. 42-44.