Раціональні рівняння як математична модель реальних ситуацій.

Тема уроку: Раціональні рівняння як математична модель реальних ситуацій.

Мета уроку: формувати знання, вміння та навички учнів розв’язувати задачі за допомогою раціональних рівнянь, продовжувати формувати вміння розв’язувати квадратні рівняння за формулою коренів, або теоремою Вієта; розвивати інтелектуальні здібності учнів; виховувати спостережливість, працьовитість.

Обладнання: тести, картки із завданнями,

картки з дидактичною грою.

Хід уроку.

1. Повторення вивченого матеріалу за слайдами (3-4 хв.)

2. Тест на визначення рівня готовності до уроку.(2-3 хв.) За підготовленими відповідями учні самостійно визначають власний рівень готовності.

1. Коефіцієнт а – коефіцієнт біля х² у квадратному рівнянні.

Варіанти відповідей:

1. так (2 бали)

2. ні (0 балів)

1. Неповним називають квадратне рівняння,

яке не містить х².

Варіанти відповідей:

1. так (0 бали)

2. ні (2 балів)

1. Квадратні рівняння мають розв’язки, якщо перед х² стоїть від’ємне число.

Варіанти відповідей:

1. так (2 бали)

2. ні (0 балів)

1. Дискримінант – це геометрична фігура.

Варіанти відповідей:

1. так (0 бали)

2. ні (2 балів)

1. Коефіцієнти у квадратному рівнянні – це раціональні числа.

Варіанти відповідей:

1. так (0 бали)

2. ні (2 балів)

1. Дробово-раціональними називають рівняння у яких невідоме знаходиться у знаменнику дробу.

Варіанти відповідей:

1. так (2 бали)

2. ні (0 балів)

7. Коренями раціонального рівняння є лише цілі числа.

Варіанти відповідей:

1. так (0 бали)

2. ні (2 балів)

Якщо отримав за результатами тестів 12 балів

• у тебе хороша пам’ять, ти уважний і цілком готовий до сьогоднішнього уроку.

Якщо отримав за результатами тестів 7-11 балів

• у тебе є прогалини у знаннях і сьогодні прийдеться на уроці надолужити . Працюй активно!

Якщо отримав за результатами тестів 0-6 балів

• сьогодні працюватимеш за двох. І, якщо маєш бажання, до кінця уроку щось-таки проясниться у твоїй голові.

Усні вправи допоможуть пройти лабіринт та обрати тему сьогоднішнього уроку.

Роботу на уроці розпочнемо з усних вправ і спробуємо визначити тему сьогоднішнього уроку.

1. Назвати коефіцієнти а, в і с у наступних рівняннях:

а) 3 х² – 18 = 0 б) 2 х² + 6 = 0

в) 3 х² – 24х +5 = 0 г) 5 х² + 1х = -2

1. Скільки коренів мають наступні рівняння:

а) 2х² + 3х -1 = 0

б) х² – 10х + 25 = 0

в) х² +2х +4 = 0

1. Не розв’язуючи рівнянь, знайти суму та добуток коренів:

а) х² + 6х + 5 = 0

б) х² - 6х + 5 = 0

в) х² – 2х – 1 = 0
г) х² -4х + 1 = 0

1. Використовуючи теорему Вієта, розв'язати рівняння:

а) х² – 5х + 6 = 0

б) х² + 4х -5 = 0

в) х² + 9х + 14 = 0
г) 2х² – 3х +1 = 0

д) 5х² – 16х +11 = 0

е) 39х² – 587х + 548 = 0

є) 21х² – 452х + 431 = 0

Тема 1. Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь.

Тема 2. Розв’язування задач за допомогою раціональних рівнянь.

Тема 3 . Раціональні рівняння як математична модель реальних ситуацій.

Паралельно до основної роботи на уроці ми будемо заповнювати таблицю і це дасть нам змогу наприкінці уроку прочитати ім’я гетьмана, який з 55 походів переміг лише у 3, проте став улюбленим серед козаків.

Букви відповідають числам, які є розв’язками задач.

Робота за підручником.

№ 671. З коментуванням на дошці.

1 –й етап. Складання математичної моделі.

Х – перше число;

(х + 6) – друге число;

Складаємо рівняння. х * (х + 6) = 135

2- й етап. Розв’язування моделі:

х² + 6х – 135 = 0

х₁ = -15 х₂ = 9

Обидва числа є коренями квадратного рівняння.

3-й етап. Відповідь до задачі.

Яке з коренів рівняння є відповіддю на поставлене в задачі питання?

Відповідь: -15, 9.

Резерв( № 672.). Учень з коментуванням на дошці.

1 –й етап. Складання математичної моделі.

Х – перше число;

(х + 20) – друге число;

Складаємо рівняння. х * (х + 20) = -91

2- й етап. Розв’язування моделі:

х² + 20х +91 = 0

х₁ = -13 х₂ = -7

Обидва числа є коренями квадратного рівняння.

3-й етап. Відповідь до задачі.

Яке з коренів рівняння є відповіддю на поставлене в задачі питання?

Відповідь: -13, -7.

Задача 1. На учнівських картках.(коментуванням на дошці).

Перегін у 60 км потяг мав проїхати зі сталою швидкістю, визначеною розкладом. Затримавшись на семафорі на 5 хв., машиніст був змушений збільшити швидкість проходження перегону на 10 км/год, щоб наздогнати втрачені 5 хв. Знайти швидкість потяга за розкладом.

1 –й етап. Складання математичної моделі.

Х км/год – швидкість за розкладом;

год. – час потяга за розкладом;

год. – фактичний час руху.

5 хв. = год. = год.

Складаємо рівняння.

2- й етап. Розв’язування моделі:

- =

Математична модель складена. Це – раціональне рівняння.

Х²+ 10 х -720 =0

Х≠0

Х≠-10

Х= -90, х=80. Обидва числа є коренями раціонального рівняння.

3-й етап. Відповідь до задачі.

Яке з коренів рівняння є відповіддю на поставлене в задачі питання?

Відповідь: 80 км/год.

Коментарі до розв’язування задачі.

Перший етап є основним у розв’язанні задачі, оскільки вимагає неабиякої творчості.

Другий етап вимагає технічної роботи.

Особливо важливим є те, що прирівнювати можна лише однакові величини.

№ 676, № 680, №681за підручником. Задачі розв’язуємо по рядах. Консультантами є учні класу.

№ 676.

60;90.

№ 680

3

№681

14

Не забуваємо заповнювати таблицю з відповідями до задач.

Перевірка задач відбувається за готовими розв’язками на слайдах.

Наступна задача геометричного змісту.

Задача 2. На учнівських картках (Учень розв’язує з коментуванням на дошці.) Паралельно до розв’язування повторюємо теорему Піфагора.

Периметр прямокутного трикутника 48 см. Один з катетів на 4 см більший іншого. Знайти сторони трикутника.

1 –й етап. Складання математичної моделі.

Х см – менший катет трикутника;

(х + 4)см – більший катет;

48 – х – (х + 4) =(44 – 2х) см - гіпотенуза

Складаємо рівняння.

2- й етап. Розв’язування моделі:

За теоремою Піфагора х² + (х+4)² =(44 – 2х)²

2х² – 184х + 1920 = 0

х² – 92х + 960 = 0

= 68

х₁ = 80; х₂ = 12

Обидва числа є коренями раціонального рівняння.

3-й етап. Відповідь до задачі.

Оскільки периметр трикутника 48 см, то менший катет 12 см, більший – 16 см, гіпотенуза – 20 см.

№ 686.( індивідуальна задача.)

1 –й етап. Складання математичної моделі.

Складемо таблицю

Складаємо рівняння.

=+

2- й етап. Розв’язування моделі:

2х² -7х -30=0

х≠0, х≠-4.

Х₁=6, х₂ =-2,5.

Обидва числа є коренями раціонального рівняння.

3-й етап. Відповідь до задачі.

Оскільки в умові задачі йдеться про час, то лише Х₁=6 задовольняє умову.

Відповідь: 6 год., 10 год.

Задача 3. На учнівських картках .Авторська задача Григорія Остера. (учні розв’язують самостійно)

Толя и Миша в гостях у Коли съедают торт весом в 1,5 кг за 6 минут. Голодный Толик съест этот торт, не взирая на облизывания кота Мурзика, на 5 минут быстрее сытого Миши. За какое время будет съеден торт каждым мальчиком отдельно, если в гости они пришли одновременно, будучи при этом очень голодными?

Задача 3. Григорій Остер.

Толік та Міша в гостях у Миколки з’їдають торт вагою 1, 5 кг за 6 хв. Голодний Толя може з’їсти цей торт, не дивлячись на облизування кота Мурзика, на 5 хв швидше ситого Міши. За який час може з’їсти торт кожен хлопчик окремо, якщо у гості вони прийшли одночасно та були при цьому дуже голодні?

10 хв, 15 хв.

Висновок уроку:

1. Прочитаємо ім’я гетьмана, який з 55 походів переміг лише у 3, проте став улюбленим серед козаків. Іван Сірко.

2. Якого типу задачі ми розв’язували на уроці.

3. Чи відповідала тема уроку його змісту.

Домашнє завдання:п.5; № 674, 677, 687.

Задача.

Малий Василько ложкою їв мед,

Який по краплі падав на підлогу.

Василько й не помітив, звідки й з чого

Туди злетілося сорок бджіл

І порівну обсіли кожну краплю...

В цей час Василько не дрімав,

Він далі ложкою медок черпав.

Як крапель стало вдвічі більше,

То бджоли пересіли знов,

І не сварились, не мирились,

А порівну так розділились,

Що біля кожної краплини

Їх стало менше на чотири.

Тож скільки крапель всього впало на підлогу?

Відповіді до тестів.

Учнівські картки

Етапи розв’язування задачі:

1 –й етап. Складання математичної моделі.

2- й етап. Розв’язування моделі:

3-й етап. Відповідь до задачі.

Коментарі до розв’язування задачі.

Перший етап є основним у розв’язанні задачі, оскільки вимагає неабиякої творчості.

Другий етап вимагає технічної роботи.

Особливо важливим є те, що прирівнювати можна лише однакові величини.

Задача 1.

Перегін у 60 км потяг мав проїхати зі сталою швидкістю, визначеною розкладом. Затримавшись на семафорі на 5 хв., машиніст був змушений збільшити швидкість проходження перегону на 10 км/год, щоб наздогнати втрачені 5 хв. Знайти швидкість потяга за розкладом.

Задача 2.

Периметр прямокутного трикутника 48 см. Один з катетів на 4 см більший іншого. Знайти сторони трикутника.

Задача 3. Григорій Остер.

Толік та Міша в гостях у Миколки з’їдають торт вагою 1, 5 кг за 6 хв. Голодний Толя може з’їсти цей торт на 5 хв. швидше ситого Міши. За який час може з’їсти торт кожен хлопчик окремо, якщо у гості вони прийшли одночасно та були при цьому дуже голодні?

Задача 4.

Малий Василько ложкою їв мед,

Який по краплі падав на підлогу.

Василько й не помітив, звідки й з чого

Туди злетілося сорок бджіл

І порівну обсіли кожну краплю...

В цей час Василько не дрімав,

Він далі ложкою медок черпав.

Як крапель стало вдвічі більше,

То бджоли пересіли знов,

І не сварились, не мирились,

А порівну так розділились,

Що біля кожної краплини

Їх стало менше на чотири.

Тож скільки крапель всього впало на підлогу?