Разработка учебно-тренировочных материалов по развитию логического мышления учащихся

Стажировочная площадка ГАУДПО МО « Институт развития образования» по математике и информатике на 2017-2018 уч. г. ООШ № 288, г. Заозерск.

Лекционно-практическое занятие на курсах повышения квалификации

По теме «Разработка учебно-тренировочных материалов по развитию логического мышления учащихся»

Гончарова О.Ю., учитель

математики высшей категории

ООШ № 288, г. Заозерск

Оглавление:

Введение

I. Актуальность проблемы.

II. Теоретические аспекты проблемы развития логического мышления

школьников на уроках математики

1. Проблема развития мышления в процессе обучения

2. Пути и средства логического мышления

3. Этапы развития мышления

III. Развитие логического мышления

3.1. Система развивающих заданий

3.2. Пути достижения целей

3.3. Принципы обучения

Список литературы

Введение.

О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности. И вот оказывается, что это ценнейшее качество возникает и развивается главным образом в процессе изучения математики, ибо математика – это практическая логика, в ней каждое новое положение получается с помощью обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, то есть строго доказывается.

В связи с этим легко понять, почему так важно самому выводить формулы, доказывать тождества и теоремы. Ведь дело не в том, чтобы запомнить их на всю жизнь. Возможно, и скорее всего, они забудутся, но останется привычка рассуждать, сохранится умение объяснять, доказывать не только другим, но и самому себе какие-то истины, укрепится умение искать и находить рациональные пути решения возникающих в жизни проблем.

Вот эту культуру, дисциплину мысли, ее последовательность, глубину и критичность, широту и оригинальность, а так же необходимую пищу для мышления – систему знаний дает школа.

Природа щедро наделила человека, но два ее дара трудно оценить. Именно они помогли ему стать человеком. Имеется в виду две особенности, свойственные только человеку: способность мыслить и передавать свои мысли, имеющуюся у него информацию другим людям посредством речи.

Совершенствовать эти два дара необходимо всю жизнь. От того, насколько успешно удастся решить эти задачи, зависит многое, и, прежде всего прогресс общества, научно-техническое развитие, экономическое и культурное процветание. Ими должны заниматься все преподаватели, внося в это общее дело каждый свое, присущее его специальности. Математик должен приучить к краткому и логически полноценному изложению, литератор – к выразительной и эмоционально насыщенной речи, историк - к последовательному изложению и умению приводить отдельные факты в систему.

Одним из наиболее важных качеств мышления является его логичность, то есть способность делать из правильных посылок (суждений, утверждений) правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов.

Развитие логики особенно важно в наши дни, поскольку сейчас объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, поэтому необходимо каждому научиться пополнять свои знания. Овладеть этими умениями поможет добросовестное изучение математики, к чему сейчас призывают ФГОС-научить детей учиться самостоятельно добывать знания.

Изучение математики формирует не только логическое мышление, но и многих других качеств человека: сообразительность, настойчивость, аккуратность.

Очень важным среди них является пространственное воображение, то есть умение представлять в уме какие-то предметы, фигуры и при этом увидеть их не только неподвижными, но и в изменении, то есть представить, что произойдет, если их как-то переместить, повернуть. При изучении математики, при решении геометрических задач все время приходится делать это.

Эта же способность представить в уме – вообразить – важна и для планирования своей работы, своих действий с тем, чтобы они были наиболее разумными, рациональными и безошибочными.

Изучение математики, решение математических задач развивают, помимо пространственного воображения, и способность догадываться, угадывать заранее результат, способность разумно искать правильный путь в самых запутанных условиях. Прочтя задачу и еще не производя никаких действий надо сразу научиться видеть, что тот или иной способ непригоден для ее решения, а какой-то другой способ может быть использован.

Развитие мышления учащихся многократно ускоряется и усиливается, если, обучая математике, одновременно учить умелому применению различных мыслительных приемов. Мышление учащегося проявляется в умении анализировать и синтезировать, обобщать, конкретизировать, то есть в умении применять различные приемы мыслительной деятельности к изучаемому материалу, к решению задачи, к любой жизненной ситуации.

Очевидно, что логические умения являются важнейшим компонентом мыслительной деятельности, так как одной из существенных характеристик мышления является то, что это логически организованный поисковый процесс, сосредоточенный на разрешаемой проблеме.

Творческая деятельность ученика, направленная на творческое понимание усваиваемого материала и порождение новых способов действия, ее развитие зависят от наличия трех составляющих мышления: 1) высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций; 2) высокий уровень активности мышления, проявляющейся в выдвижении множества гипотез, вариантов решений, нестандартных идей; 3) высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, проявляющейся в выделении существенного в явлениях, осознании собственных способов мышления.

Сформированность названных качеств мышления позволит преодолеть трудности в овладении учебным материалом и приведет к развитию творческой личности учащегося. Это объясняется тем, что ученик, получая теоретически обоснованные способы действий, знания, может самостоятельно вырабатываться подобные способы в незнакомых ситуациях или новые способы при решении поставленных проблем.

Таким образом, задача учителя сводится к формированию указанных компонентов мышления. При этом инструментом для развития мышления, являются занимательные задачи (задачи на «соображение», логические задачи, головоломки, нестандартные задачи, кроссворды). Их можно успешно использовать на уроках в качестве дополнительного, вспомогательного пути для тренинга мышления и формирования элементов творческой деятельности.

Следует отметить, что в подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые бы способствовали подготовке учеников к деятельности творческого характера и формированию у них соответствующих интеллектуальных умений. В традиционных учебниках, в основном, содержатся задания, требующие «вычислить», «найти», «решить», «проверить», «перечислить» и т.д. Такой материал не ориентирует учителя на организацию системно-деятельностного подхода к обучению учащихся. Если же мы хотим научить школьника логически мыслить, то надо учить именно этому, нужно давать возможно больше упражнений, развивающих способность к логическому мышлению, как вообще нужно много упражняться, чтобы научиться какому-нибудь виду деятельности.

Необходимо использование на уроках задач нестандартных, задач, требующих известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности.

Все это приводит учителя к необходимости искать нестандартные задачи в разных учебных пособиях, методической литературе.

Целью данной работы является попытка систематизировать такие задания.

Глава I. Актуальность проблемы.

Нашему развивающемуся обществу нужны образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия, люди, способные к сотрудничеству, отличающиеся мобильностью, динамизмом, конструктивностью, обладающие развитым чувством ответственности за судьбу страны. Превратить образование в осознанную потребность человека – в этом состоит роль школы. Поэтому самый актуальный вопрос: Как организовать образовательный процесс, чтобы учесть различные уровни развития и подготовленности учащихся. Действующие программы по математике определяют главным образом последовательность изучения определённого содержания. Они ориентируются в первую очередь на достижение «объёмных» образовательных результатов – на усвоение определённого объёма знаний. Сегодня учитель должен ставить перед собой следующие цели:

• помочь учащимся обрести свободу в познавательной деятельности.

• создать, условно говоря, зоны свободного учения.

• дать возможность ученикам увидеть единство содержания и способа работы с ним.

• Осуществлять самоконтроль и самооценку.

В результате школа должна готовить своих учеников к жизни, к переменам, развивать у них такие качества, как мобильность, динамизм, конструктивность. Такая подготовка не может быть обеспечена за счёт усвоения определённого количества знаний. На современном этапе требуется:

• выработка умений делать выбор,

• эффективно использовать ресурсы,

• сопоставлять теорию с практикой и многие другие способности, необходимые для жизни в быстро меняющемся обществе.

Основными задачами при обучении учащихся становится:

• научить школьников учиться, то есть научить их решать проблемы в сфере учебной деятельности;

• научить объяснять решение любой, даже не математической задачи;

• не отрицая значения предметных знаний, научить выпускников

• школы решать проблемы, задачи, которые ставит перед ними социум, общество, жизнь.

Современная жизнь ставит человека в чрезвычайно изменчивые условия, требует от него решения всё новых и новых задач. Эффективное решение этих задач невозможно без определённого опыта деятельности по поиску подходов к проблеме, проигрыванию ситуации в уме, прогнозированию последствий тех или иных действий, проведению анализа результатов, поиску новых подходов. Конечно же, этот опыт нужно приобретать ещё в школе. Но традиционные уроки не способствуют этому. На них ученик – пассивный слушатель, поглотитель информации. Он если и решает задачи, то задачи типично школьные, задачи – упражнения, которые имеют очень мало общего с теми, что ожидают его во взрослой жизни. Конечно, ни одна школьная программа не сможет предвидеть и охватить весь круг будущих задач, с которыми придётся столкнуться выпускнику. Кроме того, на материале школьного предмета можно построить далеко не любые, а только научные задачи, так называемые «познавательные». Но теоретические методы решения научных задач содержат те этапы, которые необходимы для рационального решения многих житейских вопросов. Поэтому обучать этим методам – означает готовить школьника к реальной жизни.

Одна из важных задач общеобразовательной школы состоит в том, чтобы привить учащимся умения, позволяющие им активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность. В связи с этим актуальной становится проблема разработки таких средств обучения и методики их использования, которые содействуют формированию и развитию исследовательских умений и навыков у учащихся.

II . Теоретические аспекты проблемы развития логического мышления школьников на уроках математики

2.1. Проблема развития мышления в процессе обучения.

Проблема развития мышления в разные времена рассматривалась различными психологами. Современная психологическая наука понимает мышление как высший познавательный процесс. Оно представляет собой форму творческого отражения человеком действительности, порождающую такой результат, которого в самой действительности или у субъекта на данный момент времени не существует. Мышление человека также можно понимать как творческое преобразование имеющихся в памяти представлений и образов. Отличие мышления от остальных психологических процессов познания состоит в том, что оно всегда связано с активным изменением условий, в которых человек находится. Мышление всегда направлено на решение какой-либо задачи. В процессе мышления производится целенаправленное и целесообразное преобразование действительности.

Мышление - это особого рода умственная и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций преобразовательного и познавательного характера.

Мыслительная деятельность людей совершается при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение - это сопоставление предметов и явлений с целью найти сходство и различие между ними. В учебной деятельности школьника сравнение играет очень важную роль. Сравнивая, например, операции умножения и деления, треугольник и прямоугольник, школьник глубже познает особенности и различие данных предметов и явлений.

Анализ - это мысленное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем отдельных частей, признаков и свойств. Синтез - это мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Анализ и синтез - важнейшие мыслительные операции, в единстве они дают полное и всестороннее знание действительности. Анализ дает знание отдельных элементов, а синтез, опираясь на результаты анализа, объединяя эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом. Для запоминания определенного текста ученик выделяет в нем отдельные части, смысловые куски и пытается понять, как они логически связаны в единое целое.

Абстракция - это мысленное выделение каких-либо существенных признаков, свойств объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путем выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяженности и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств (материала, цвета, массы…). Абстракция лежит в основе обобщения - мысленного объединения предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования.

В учебной работе школьников обобщения обычно проявляется в выводах, , правилах, определениях. Школьникам иногда трудно произвести обобщение, вывод , так как далеко не всегда им удается самостоятельно выделить не просто общие, но и существенные общие признаки. Некоторые психологи (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов) различают два вида обобщения: формально-эмпирическое и содержательное (теоретическое). Формально-эмпирическое обобщение осуществляется путем сравнения ряда объектов и выявления внешне одинаковых и общих признаков. Теоретическое обобщение основано на глубоком анализе объектов и выявлении скрытых общих и существенных признаков, отношений и зависимостей.

Конкретизация - это мысленный переход от общего к единичному, которое соответствует этому общему. В учебной деятельности конкретизировать - значит привести пример, иллюстрацию, конкретный факт, подтверждающий общее теоретическое положение, правило, закон. В учебном процессе конкретизация имеет большое значение: она связывает наши теоретические знания с жизнью, с практикой и помогает правильно понять действительность. Отсутствие конкретизации приводит к формализму знаний, которые остаются голыми и бесполезными абстракциями, оторванными от жизни.

Основные формы мышления.

Различают три основные формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.

Понятие - это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов и явлений. Каждый предмет, каждое явление имеют много различных свойств, признаков. Эти свойства, признаки можно разделить на две категории - существенные и несущественные. Например, каждый отдельный треугольник имеет три угла, определенные размеры - длину сторон и площадь, определенную величину углов, форму. Но только первый признак делает фигуру треугольником, позволяет отличить ее от других фигур: прямоугольника, круга, трапеции. Остальные признаки отличают один треугольник от другого; при изменении их треугольник не перестанет быть треугольником. В понятии содержатся лишь свойства, общие и существенные для целого ряда однородных предметов. Понятие существует в виде значения слова, обозначается словом. Каждое слово обобщает (кроме, разумеется, слов, обозначающих имена собственные). В понятиях наши знания о предметах и явлениях действительности кристаллизуются в обобщенном и отвлеченном виде. В этом отношении понятие существенно отличается от восприятия и представления памяти: восприятие и представление конкретны, образны, наглядны; понятие обладает обобщенным, абстрактным, не наглядным характером. Понятие - более развитая и всесторонняя форма познания, оно значительно шире и полнее отражает действительность, чем представление.В процессе общественно-исторического развития познания расширяется, углубляется и изменяется содержание понятий.

Суждение. В суждениях отражаются связи и отношения между предметами и явлениями окружающего мира и их свойствами и признаками. Суждение - это форма мышления, содержащая утверждение и отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств. Суждения бывают общими, частными и единичными. В общих суждениях утверждается или отрицается что-то относительно всех предметов и явлений, объединяемых понятием. В частном суждении речь идет только о части предметов и явлений, объединяемых понятием. Единичное суждение - это суждение, в котором речь идет о каком-нибудь индивидуальном понятии.

Суждение раскрывает содержание понятий. Знать какой-нибудь предмет или явление - значит уметь высказать о нем правильное и содержательное суждение, т. е. уметь судить о нем.Истинность суждений проверяется общественной практикой человека.

Умозаключение. Умозаключение - такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Типичный пример умозаключения - доказательство геометрических теорем. Человек пользуется в основном двумя видами умозаключений - индуктивными и дедуктивными. Индукция - это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений. Дедукция - это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.

Индукция начинается с накопления знания о возможно большем числе в чем-либо однородных предметов и явлений, что дает возможность найти сходное и различное в предметах и явлениях и опустить несущественное и второстепенное. Обобщая сходные признаки этих предметов и явлений, делают общий вывод или заключение, устанавливают общее правило или закон. Дедуктивное умозаключение дает человеку знания о конкретных свойствах и качествах отдельного предмета на основе знания общих законов и правил.

Основные виды мышления.

Различают три вида мышления:

1) наглядно-действенное,

2) наглядно-образное

3) словесно-логическое (теоретическое).

Самой ранней ступенью в развитии мышления ребенка является наглядно-действенное мышление. Оно характеризуется тем, что задача, подлежащая решению, дается наглядно и решается руками, т.е. с практическим действием. Эта форма «мышления руками» не исчезает с развитием более высоких форм логического мышления. С развитием речи и накоплением опыта ребенок приходит к наглядно-образному мышлению. Ребенок мыслит образами, а слово, которым он владеет, помогает ему делать обобщения. Ребенок, придя в школу, в основном мыслит, опираясь на конкретные образы. Но полное и глубокое изучение программного материала способствует развитию словесно-логического мышления.

Логическое мышление является высшей ступенью умственного развития ребенка, проходит длительный путь развития. Оно характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов мышления, но какой-то один из них обычно преобладает. Так при доказательстве теорем, решении задач доминирует, конечно, теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядного действенного и наглядно-образного мышления (построение чертежей, схем, мысленные и практические их преобразования и т.п.).

Одновременное с развитием мышления у ребенка развивается и речь. В речи мысль обретает материальную форму, в которой она только и может быть воспринята другими людьми и самим человеком. Высокоразвитое мышление вообще невозможно вне речи, оно всегда связано с языком, и речь выступает как материальная оболочка мышления.

Логическое мышление, в отличие от практического, осуществляется только словесным путем. Обучение ребенка доказательству требует от него сформированности умений правильно рассуждать. Что непосредственно обнаруживается через правильность математической речи ребенка. Математическая речь и умение правильно рассуждать тесно связаны друг с другом.

О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности. И это качество развивается главным образом в процессе изучения математики, ибо математика - это практическая логика, в ней каждое новое положение получено с помощью строго обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, т.е. строго доказывается. Математика приучает к логическому мышлению. В математике ученик с наибольшей полнотой, наиболее выпукло и зримо может увидеть демонстрацию почти всех основных законов элементарной логики.

Решение всякой задачи по математике - это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются рассуждениями. Значит, в математике невозможно обойтись без логики. Для успешного изучения математики надо настойчиво учиться правильно рассуждать.

Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач.

Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди (например, учитель), но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которую необходимо решить, с осознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить.

Решение мыслительной задачи начинается с тщательного анализа данных, уяснения того, что дано, чем располагает человек. Эти данные сопоставляют друг с другом и с вопросом, соотносят с прежними знаниями и опытом человека. Человек пытается привлечь принципы, успешно примененные ранее при решении задачи, сходной с новой. На этой основе возникает гипотеза, намечается способ действий, путь решений. Практическая проверка гипотезы, проверка пути решения может показать ошибочность намеченных действий. Тогда ищут новую гипотезу, другой способ действия, причем здесь важно тщательно уяснить причины предшествующей неудачи, сделать из нее соответствующие выводы.

Связь речи и мышления не только позволяет глубже проникать в явления действительности, в отношения между вещами, действиями, качествами, но и располагает системой синтаксических конструкций, которые дают возможность сформулировать мысль, выразить суждение. Речь располагает более сложными образованиями, которые дают основу для теоретического мышления и которые позволяют человеку выйти за пределы непосредственного опыта и делать выводы отвлеченным вербально-логическим путем. К числу аппаратов логического мышления относятся и те логические структуры, моделью которых является силлогизм. Переход к сложным формам общественной деятельности дает возможность овладеть теми средствами языка, которые лежат в основе наиболее высокого уровня познания - теоретического мышления.

2.2.Пути и средства развития логического мышления. Развитие мышления при изучении математики состоит в формировании у учащихся характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. При этом важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков, фиксированных в стандартных правилах, формулах и способах действий, вошли эвристические приемы, которые необходимы для решения творческих задач, применение знаний в новых ситуациях, доказательства высказываемых утверждений.

Процесс обучения предполагает целенаправленное управление мыслительной деятельностью учащихся, что приводит к продвижению учеников в их умственном развитии. Чтобы развить мышление учащихся, нужно показать им как функционирует мышление на практике. Развитие происходит в деятельности, поэтому необходимо создавать ученикам условия соответствующей деятельности, нужно демонстрировать сложную картину поиска решения, всю трудность этой работы. В этом случае ученики становятся активными участниками процесса поиска решения, начинают понимать источники возникновения решения. Как результат - ими легче осваиваются причины ошибок, затруднений, оценивается найденный способ решения и ход логических мыслей, а без этого знания не могут перейти в убеждения.

Системное развитие логического мышления должно быть неотрывно от урока, каждый ученик должен принимать участие в процессе решения не только стандартных заданий, но и задач развивающего характера (активно или пассивно).

На уроках учитель должен моделировать ту умственную деятельность, которая нужна на данном этапе развития (учить анализировать задачи, делать чертежи, выявлять отношения объектов и т.д.). Это имеет обучающее и воспитывающее значение: учащиеся приобщаются к методу поиска, ориентируются не только на результат, но и на процесс его достижения, т.е. учатся мыслить логически.

Можно выделить два подхода к формированию и становлению логико-математического мышления:

1. традиционное обучение, приводящее в зависимости от воздействия и других объективных причин к формированию либо эмпирического, либо теоретического мышления;

2. специально организованное обучение, ориентированное на формирование учебной деятельности, приводящее к становлению теоретического мышления.

Для формирования логического мышления приоритетным является второй подход. Основным средством развития математических способностей учащихся являются задачи. Не случайно известный современный математик Д.Пойа пишет: «Что значит владение математической? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

Одна из главных причин затруднений учащихся, испытываемых ими при решении задач, заключается в том, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Роль и значение таких задач исчерпываются в течении того непродолжительного периода, который отводиться на изучение (повторение) того или иного вопроса программы. Функция таких задач чаще всего сводиться к иллюстрации изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла. Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь минимален. При решении задач на повторение, требующих знания нескольких тем, у учащихся, как правило, возникают определенные трудности.

К сожалению, в практике обучения математике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. И даже задачи повышенной трудности специальных сборников, предназначенных для внеклассной работы, в основном имеют целью закрепление умений и навыков учащихся в решении стандартных задач, задач определенного типа. А между тем функции задач очень разнообразны: обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие.

Каждая предлагаемая для решения учащимся задача может служить многим конкретным целям обучения. И все же главная цель задач - развить творческое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов. Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно, хотя стандартные задачи, безусловно, полезны и необходимы, если они даны вовремя и в нужном количестве. Следует избегать большого числа стандартных задач как на уроке, так и во внеклассной работе, так как в этом случае сильные ученики могут потерять интерес к математике и даже испытать отвращение к ней. Ознакомление учащихся лишь со специальными способами решения отдельных типов задач создают, на наш взгляд, реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно решать незнакомые задачи ("Мы такие" задачи не решали",- часто заявляют учащиеся, встретившись с задачей незнакомого типа).

В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка, задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу. Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, общим приемам решения задач, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемам продуктивной умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы.

Необходимо на уроках систематически использовать задачи, способствующие целенаправленному развитию творческого мышления учащихся, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности. Такие задачи требуют от школьников наблюдательности, творчества и оригинальности.

Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

В качестве средств развития логического мышления могут выступать занимательные задачи (задачи «на соображение», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи).

Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:

- способ решения занимательных задач не известен. Для их решения характерно, броуновское движение мысли, т.е. к решению приводит метод проб и ошибок. Поисковые пробы решения могут в отдельных случаях закончиться догадкой, которая представляет собой нахождение пути искомого решения.

- занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету и играют роль мотива к деятельности учащихся. Необычность сюжета, способа презентации задачи находят эмоциональный отклик у детей и ставят их в условия необходимости ее решения;

- занимательные задачи составлены на основе знаний законов мышления.

Систематическое применение задач такого вида способствует развитию указанных мыслительных операций и формированию математических представлений детей. Для решения таких задач характерен процесс приисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности, как смекалка и сообразительность. Смекалка - это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогии, выводов, умозаключений. О проявлениях сообразительности свидетельствует умение обдумывать конкретную ситуацию, устанавливать взаимосвязи, на основе которых решающий задачу приходит к выводам, обобщениям. Сообразительность является показателем умения оперировать знаниями. Из этого следует, что смекалка, сообразительность, влекущие за собой догадку как результат поиска решения занимательной задачи, не есть что-то данное свыше. Эти качества умственной деятельности можно и нужно развивать в процессе обучения.

В любом случае догадке как способу решения задачи предшествует тщательный анализ: выделение в задаче существенных признаков, пространственного расположения и обобщения ряда фигур, их свойств, сходных признаков и т.п. Однако для решения занимательных задач метод проб и ошибок ненадежен и нерационален. Гораздо более эффективный способ - вооружить детей теми приемами умственной деятельности, которые необходимы при этом: анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация. Предлагая учащимся занимательные задачи, мы формируем у них способность выполнять эти операции и одновременно развиваем их.

Конечно, нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики. Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи, должен вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.

Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить. Ну а как же помочь учащемуся научиться решать задачи, если интерес к решению задач у него есть и трудности решения его не пугают? В чем должна заключаться помощь учителя ученику, не сумевшего решить интересную для него задачу? Как эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи?

Не следует идти по самому легкому в этом случае пути - знакомить ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении. Решение нестандартной задачи - очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться.

Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач. В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения; 4) изучение полученного решения - критический анализ результата решения и отбор полезной информации. Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач. «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею... Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания... Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: « Может мы решали похожие задачи»? Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умело поставленные вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи, полученного с помощью вспомогательных задач или наводящих вопросов, предложенных учителем.

2.3. Этапы развития мышления.

Развитие мышления учащихся, то есть формирование у них умений и навыков применения различных приемов мыслительной деятельности, осуществляется следующими этапами:

• Знакомство учащихся с отдельными мыслительными приемами в процессе изучения соответствующего материала.

• Совместно с учащимися приходим к выводу, что прием, с которым сегодня познакомились в процессе изучения новой темы или решения задачи, не потребовал лишней затраты времени. Более того, этот прием облегчил понимание, усилило интерес к изучаемому материалу.

• Выбор того или иного мыслительного приема осуществляем в зависимости от содержания изучаемого материала. Поэтому в дальнейшем, когда учащиеся повторно встречаются с тем или иным приемом, напоминаем, что прием нам уже знаком;

• Учимся использовать различные мыслительные приемы во всевозможных комбинациях друг с другом.

• Вырабатывается привычка самостоятельно применения мыслительных приемов.

Надо постоянно напоминать, что, прочитав в книге или услышав на уроке при объяснении, при ответе товарища какое-либо утверждение, полезно проверить, действительно ли оно справедливо, поставив перед собой вопросы: «Почему?», «На каком основании?» (прием соотнесения), напоминается также, что преобразования, приведенные в книге, полезно воспроизводить, по возможности видоизменяя их (прием воспроизведения и реконструкции).

Надо приучать учащихся везде, где это, возможно, сопоставлять изучаемый материал с прежними знаниями, устанавливая сходства или различия (прием сравнения). Надо требовать при воспроизведении изучаемого материала приводить свои примеры и контр примеры (прием конкретизации). Надо посоветовать учащимся при конспектировании располагать записи в наиболее удобной форме. Рекомендуется различным образом оформлять свои записи, используя всевозможные символы: стрелки, подчеркивания, цветовые выделения (прием использования стимулирующих звеньев). Прочитав текст, учащиеся выделяют из него главное и коротко рассказывают, о чем идет в нем речь (прием составления плана).

Чтобы учащиеся действительно выполняли перечисленные рекомендации, чтобы целенаправленно управлять их мыслительной деятельностью, надо сначала ставить конкретное задание, направляющее усилие учащихся на использование определенных мыслительных процессов, а затем предлагать тот или иной абзац учебника, слушать объяснение.

Использование этого дидактического правила открывает заманчивые перспективы развития мышления учащихся. Надо побуждать учащихся использовать те или иные мыслительные приемы. Эти приемы он сам выбирает применительно к содержанию данного материала. Тем самым учащиеся постепенно приучаются сами себе ставить такие задания, побуждающие их применять мыслительные приемы, наиболее соответствующие содержанию изучаемого материала. Следовательно, они привыкают не просто слушать и читать, механически запоминая материал, а осмысливать, обдумывать его.

После изучения того или иного раздела полезно составлять с учащимися схемы и выполнять упражнения по этим схемам. Это позволяет повторять изученное с использованием целого ряда приемов мыслительной деятельности.

Очевидно, такая работа позволяет обобщить изученный материал, устанавливать взаимосвязи, которые ускользают от внимания учащихся при изучении отдельных тем.

При этом учащиеся и повторяют материал, и учатся применять различные мыслительные приемы.

На уроках математики мы знакомим учащихся с понятиями, которые часто носят абстрактный характер и не могут быть представлены в виде конкретных образов. Конечно, с одаренными детьми есть возможность заниматься дополнительно как на уроках, так и на факультативах и кружках. Но мы обучаем всех без исключения детей. Поэтому на первый план выдвигается задача поддержания интереса к своему предмету, а далее – развитие познавательной активности, творческого мышления учащихся.

III . Развитие логического мышления учащихся с помощью системы развивающих заданий

3.1.Система развивающих заданий.

Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5 классов можно составить систему развивающих заданий по темам:

·аналогия;

·исключение лишнего;

·классификация;

·логические задачи;

·перебор;

·задачи с геометрическим содержанием;

·задачи «на переливание»;

·задачи-шутки;

·ребусы;

·занимательные задания.

Эти задачи можно разделить на группы, учитывая их воздействие на мыслительную деятельность учащихся.

Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных заданий, задач на перебор вариантов, так как в большинстве случаев эти задачи не привязаны к темам и не требует особой теоретической подготовки.

Логические задачи, ребусы, задачи «на переливание», задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

Задачи на аналогию и исключение лишнего используется для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.

Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.

Учитель, преподающий в 5-6 классах, может развивать логическое мышление учащихся с помощью созданной системы заданий. Для этого необходимо учитывать следующее:

- выбранные задания должны быть посильными для детей;

- задания, отобранные для одного урока, должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;

.-если ученики не справляются с заданием, то целесообразно оставить его на обдумывание до следующего урока;

- ученикам можно дать необязательное домашнее задание по составлению аналогичных задач;

- если на уроке время ограничено, то эти задания можно применять на занятиях математического кружка или факультатива.

Учащиеся хорошо воспринимают эти задания. Ребята видят в них отдых от утомительной, иногда однообразной часто арифметической тренировки. Это ненавязчивое средство обучения логическим приемам, которые применяются в каждом математическом рассуждении.

Развивающие задания.

1. Аналогия

Аналогия - это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач. Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогии между фигурами.

Например:

- Уменьшаемое - разность, множитель - ….?

- Продолжите ряд:

а) 1, 5, 13, 29,….б) 1, 4, 9, 16,….

- Найдите правило нахождения числа, стоящего в средней клетке первой строки. И по этому правилу вставьте в пустую клетку пропущенное число.

2. Исключение лишнего.

В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.

Например,

- Сумма, разность, множитель, частное

- См, дм, м², км

- 1, 9, 27, 64

Можно предложить детям сначала решить анаграммы, затем исключить лишнее слово.

Например, МАПРЯЯ (ПРЯМАЯ), ЧУЛ (ЛУЧ), РЕЗОТОК (ОТРЕЗОК), РИПЕТРЕМ(ПЕРИМЕТР) (лишнее слово - периметр)

3.Классификация

Классификация - это общепознавательный прием мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Число таких подмножеств, а также их состав зависит от основания классификации (т.е. признака, существенного для данных объектов), которое может применять различные значения.

Например,

- Что объединяет слова длина, площадь, масса? Какое слово к ним подходит: секунда, центнер, величина, метр?

- Разбейте данные слова на два столбика и озаглавьте каждый столбик.

Слагаемое, вычитаемое, сумма, частное, множитель, уменьшаемое, делитель, произведение, разность.

- В каждом задании даны пять слов. Под этим списком должны стоять еще четыре слова, разбитые на две пары. Из них даны только три. Выберите из списка одно слово, которое нужно поставить вместо знака вопроса, чтобы найденное четвертое слово находилось с третьим в таком же отношении, что и первое со вторым.

а) Величина, количество, цифра, счет, номер

Слово - буква

Натуральное число - ?

б) Разность, умножение, произведение, деление, частное.

Слагаемое - сумма

Множитель - ?

1. Перебор

Сущность этого приема заключается в проведении организованного разбора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче.

Например:

- Сколько имеется двузначных чисел, у которых среди цифр есть хотя бы одна пятерка?(15,25,35,45,55,65,75,85,95)

- В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке было наибольшим (наименьшим).

5. Задачи на переливание

- Восьмилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью трехлитровой и пятилитровой банок отлить 1 л воды?

6. Задачи-шутки

- Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько он на самом деле стоит. Сколько стоит гусь?

- Сколько концов у двух палок; у трех палок, у пяти с половиной палок?

- Крышка стола имеет 4 угла. Один угол отпилили. Сколько углов осталось?

- Какой математический знак нужно поставить между 5 и 6, чтобы полученное число было больше 5, но меньше 6.

- Один поезд отправляется из Москвы в Пермь, одновременно с ним выходит поезд из Перми в Москву, скорость которого в 2 раза больше. Какой из поездов в момент встречи будет находиться дальше от Москвы?

7. Занимательные задачи.

- Чему равно произведение -15 × (-14) × (-13) × ……× 13 × 14 × 15

- Какой цифрой оканчивается произведение всех чисел от 7 до 12.

- Вдоль всей траектории забега поставили 15 столбов. После начала забега спортсмен был у третьего столба через три минуты. За сколько минут он пробежит весь путь?

8. Логические задачи.

Логические задачи - это задачи, требующие умения проводить доказательные рассуждения, анализировать. Логические упражнения прямо и непосредственно ориентированы на развитие логического мышления учеников. Логические упражнения представляют собой задания творческого характера. Они позволяют организовать на уроках интересные деятельностные ситуации, которые способствуют лучшему усвоению программного материала и развитию логического мышления педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обуславливает высокий интерес школьников к решению таких задач. От обычных они отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача - это особая информация, которую не только нужно отработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.

Логические задачи достаточно интересны и очень полезны для развития математических способностей. Они вырабатывают умение устанавливать связи между объектами, наблюдательность, настойчивость. Однако при решении таких задач ученики много тратят времени на рассуждения о том, с чего начать.

В следующей серии задач многочисленные факты, содержащиеся в условии, ученики легко воспринимают с помощью схем или «графов». Язык графов прост, понятен и нагляден. Графовые задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. Для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку. Поэтому графовые задачи можно использовать для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы.

Принцип их построения доступен каждому: объекты изображаем точками, а отношения между ними - отрезками; точки соединяем сплошной линией, если точки одного множества соответствуют точкам другого множества, или штриховой, если они не соответствуют. С помощью такого наглядного приема можно научить пятиклассников решать достаточно сложные задачи. Графовый язык переводит решение задачи из абстрактно-словесного плана в конкретно-наглядный. Обращение к графу дает толчок к поиску и подсказывает направление этого поиска.

Рассмотрим несколько задач этой серии.

- Встретились Белов, Чернов и Рыжов. Один из них был блондин, другой - брюнет, третий - рыжий. Брюнет сказал Белову: «Ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из них, если брюнеты всегда говорят правду?

Решение:

Белов……………блондин

Чернов…………..брюнет

Рыжов……………рыжий

- Эдик, Вася, Андрей и Миша заняли первые четыре места в соревнованиях, причем ни на одно призовое место не было двух претендентов. На вопрос, какие они заняли места, мальчики честно ответили:

- Андрей - «Я не был последним»;

- Вася - «Я занял второе место»;

- Эдик - «Я занял ни первое, ни третье место».

Какие места заняли мальчики?

Решение

Эдик мог занять только 4-е место, Андрей - 1-е или 3-е, тогда Миша - 3-е или 1-е.

Э…………..1

В…………..2

А…………..3

М………….4

- Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, но в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Решение

Бим…………красные туфли

Бом…………зеленые туфли

Бам…………синие туфли

красная рубашка, зеленая рубашка, синяя рубашка.

Бом может быть только в синих туфлях, тогда Бим в красных туфлях и в красной рубашке. Теперь Бам может быть только в синей рубашке, тогда Бом в зеленой.

Рассмотрим еще одну серию задач, достаточно сложных для пятиклассников, которые часто встречаются на олимпиадах. Чтобы научить решать школьников эти задачи, нужно начать с такой вспомогательной задачи.

- Ребята заметили, что участок вести в 15 см гусеница проползла за 7 минут. Найдите длину гусеницы, если скорость ее движения 3 см/мин. (6см)

Задачу нужно решать обязательно с рисунком.

- Поезд длиной 450 м проходит мост за 35 с., а мимо дежурного по станции проходит за 15 с. Найти длину моста и скорость поезда.

- Поезд, длиной 18 м, проезжает мимо столба за 9 с. Найти время, за которое поезд проедет мост длиной 36 м.

9. Задачи с геометрическим содержанием.

Большие возможности для развития логического мышления школьников имеются в содержании геометрического материала 5 класса.

Рассмотрим на примерах, как можно использовать занимательные задачи с геометрическим содержанием в 5 классе. При этом основной целью является формирование и развитие мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения, аналогий, обобщения, классификации; развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности.

- Деревянный окрашенный кубик распилили пополам. Сколько стало окрашенных и неокрашенных граней у каждой половины?

- Сколько (квадратов) треугольников вы видите на рисунке?

- Разрезать квадрат на две равные фигуры (10 способов)

- Какая из фигур «лишняя» на рисунке?

- Нарисуйте два треугольника так, чтобы их общей частью были: а) четырехугольник; б) отрезок; в) точка.

Система развивающих заданий позволяет привить интерес к предмету, дает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивает мышление учащихся. В результате повышается успеваемость учащихся.

Устойчивые положительные результаты можно получить при подборе заданий, имеющих отношение к заданной теме. Не следует предлагать занимательные задачи как средство заполнения досуга или развлечения. Проблема включения задач подобного вида в учебный процесс должна решаться естественным образом. Анализ показывает, что среди занимательных задач много задач чисто учебного назначения, но поданных в нестандартной или проблемной форме.

Воспитание культуры мышления должно проводиться систематически , а не периодически.

3.2. Пути достижения своих целей.

Самое главное в нашей работе – научить ученика добывать знания, быть самостоятельным, т.е. зажечь его. Поэтому урок надо построить так, чтобы ребенок не чувствовал себя беспомощным, не боялся ошибиться, получить «двойку» за неправильный ответ, был защищен от насмешек одноклассников, чтобы учеба для него была бы в радость.

Основной методической целью урока является создание условий для проявления познавательной, творческой активности учащихся. Эту цель можно достигнуть следующими путями:

• учить детей ставить цели урока, задачи, оценивать свою работу на уроке;

• создать проблемные ситуации;

• обращаться к историческим фактам, показывать практическую значимость тем;

• уделять большое значение научным фактам;

• проводить зачеты по теории и практическим задачам;

• использовать различные формы устной работы;

• использовать дидактические игры, различные виды контроля знаний, умений, навыков;

• проводить уроки в форме деловой игры;

• уделять внимание творческим заданиям на развитие логического, творческого мышления.

Создавая проблемные ситуации на уроках, надо задавать вопросы, которые помогают учащимся не только качественно усвоить материал, но и испытать радость соучастия, почувствовать красоту открытия.

Например, в 6 классе после изучения темы «Сложение чисел с помощью координатной прямой» переходим к теме «Сложение отрицательных чисел» мы рассматриваем несколько примеров на сложение отрицательных чисел с помощью координатной прямой, которое уже знакомо детям. Записываем эти выражения на доске: - 2 + ( -3) = - 5; - 7 + ( - 2) = - 9; 0 + ( - 4) = - 4 и т. д. Учащимся задается вопрос: «Не замечаете ли вы какие-либо особенности в этих выражениях?». Поднимается лес рук, и каждый ученик высказывает свое мнение. Затем делается общий вывод о сложение отрицательных чисел, учащиеся сами формулируют правило, после чего сверяют с правилом по учебнику. Важным моментом является умение задавать такие вопросы, которые ведут учащихся к поиску решений. Исследования показывают, что необходимо связывать изучаемый материал с историческими справками, с применением его на практике. Это дает возможность увлечь учеников материалом, показать ценность значимость. Ведь не секрет, что многие дети воспринимают математику как сухую, безымянную науку, заучивают теоремы, формулы, об авторах, истории ничего не знают. Поэтому мы рассказываем учащимся о людях, творивших математику как науку: Пифагоре, Архимеде, Евклиде, Гауссе, Фалесе и других. Еще важнее показывать связь изучаемых понятий с жизнью. Например, при изучении темы «Пропорции» (6 класс) обращаем внимание учащихся на то, что пропорция и в стебельках растений, и в живописи, и в архитектуре. Даем в обзорном порядке понятие «золотое сечение» (при этом подбираем соответствующие плакаты, рисунки).При изучении этих тем, просматривается межпредметная связь.

Мною накоплен интересный материал по проблемной теме «Формы устной работы на различных этапах урока». Устная работа по учебнику, работа с таблицами, карточками экономит время на уроках, а также стимулирует активность и развивает познавательные способности учащихся. Красочные карточки для устной работы использую при изучении темы, при закреплении, повторении, изучении других тем.

Эффективные виды контроля на уроках математики – математические диктанты (по теории, по задачам), тестовые задания. Диктанты полезны как при повторении, так и при проверке только что изученной темы, при обобщении материала.

Можно составить схему применяемых видов тестовых заданий:

Тестовые задания

Дидактические – для выявления пробелов

Базовые – проверяется базовый уровень

Итоговые – в конце раздела, в конце четверти, учебного года

Тематические – по изучаемой теме

На уроках полезны и дидактические игры, которые выявляют понимание учащимися материала. Если ученики заучивают определение, не вдумываясь в них, то на вопросы дидактических игр им сложно ответить. Можно использовать такие игры, как «Прав ли я?», «Найди ошибку», «Строители», «Построй Фигуру», «Профессии» и др.

В последнее время большое внимание уделяю проведению деловой игры, которая хорошо «уживается» с серьезным уроком. Даже самые пассивные ученики не остаются равнодушными. Увлекаясь, играя, ученики познают новое, запоминают, повторяют.

Пример деловой игры «Строитель».

Тема: «Площади многоугольников» (VIII класс).

Цель урока: усвоение учащимися формул для вычисления площадей параллелограмма, треугольника, трапеции и применение полученных знаний к решению практических задач.

Воспитательная цель: ориентация учащихся на профессию строителя.

Распределение времени: рассказ о профессии строителя — 5 мин.; работа с учебником (повторение формул площадей плоских фигур) — 8—10 мин.; вычисление количества плиток — 16—18 мин. Проверка глубины знаний учащихся — 8 мин. Сообщение домашнего задания — 3 мин.

В начале урока знакомство учащихся со строительным производством и одной из наиболее распространенных строительных профессий — столяра.

I этап. Строительное производство сегодня — это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Он выполняет различные операции на станках: раскрой пиломатериалов, строгание, выдалбливание гнезд и нарезание шипов у заготовок.

Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения. Необходимо при работе экономить материала.

Постановка задачи. Сегодня вы будете выступать в роли строителей. Требуется выполнить работу по настилке полов строящегося детского сада. Предлагается произвести настилку паркетного пола в игровом зале размером 5,75*8 м. Паркетные плитки имеют форму прямоугольных треугольников, параллелограммов и равнобочных трапеций. Размеры плиток в сантиметрах указаны на рисунке.

Правила игры. Будут работать три бригады. Избираются бригадиры.

Первая бригада — столяры. Вам нужно изготовить паркетные плитки указанных размеров в таком количестве, чтобы после настилки пола не осталось лишних плиток, и число треугольных плиток было минимальным, а плиток в форме параллелограммов и трапеций — одинаковое количество.

Вторая бригада — поставщики. Вам нужно доставить необходимое количество плиток на строительную площадку. Они рассчитывают это количество.

Третья бригада — паркетчики. Чтобы проконтролировать доставку, надо наперед знать, сколько и каких паркетных плиток понадобится для покрытия пола.

Побеждает в игре та команда, которая первой выполнит правильный расчет. Для этого надо знать формулы для вычисления площадей вышеуказанных фигур. Можно пользоваться с учебником. Внутри каждой команды разрешаются взаимоконсультации.

После того как теоретический материал повторили, а формулы для вычисления площадей параллелограмма, треугольника и трапеции записаны на доске и в тетрадях, проводится проверка готовности бригад. С этой целью каждой команде предлагается по два-три вопроса. Ответы учащихся оцениваются очками. Счет записывается на доске.

II этап. Каждая команда приступает к практическим вычислениям. Паркет укладывается в ряды так, что параллелограммы и трапеции чередуются, а треугольников в одном ряду всего два. Подсчеты показывают, что в одном ряд по ширине укладывается по два треугольника и по восемь параллелограммов и трапеций.

[Площадь одной полосы шириной 20 см и длиной 575 см будет 11500 см². Если площадь двух треугольников 300 см², а площадь параллелограмма или трапеции 700 см², то в одной полосе по ширине игрового зала поместится по 8 параллелограммов и трапеций: (11500 — 300):700 = 16. Таких полос в длине комнаты поместится 800:20 = 40. Следовательно, для настилки пола понадобится 80 треугольников и по 320 параллелограммов и трапеций. Проверкой устанавливается: площадь игрового зала 575*800 = 460 000 см, площадь одной полосы 575*20 = 11500 см², а таких полос 40, поэтому 11500*40 = 460 000 см² площадь паркетного пола.]

Это самый ответственный этап игры. Вычисляются площади плоских фигур, производятся расчеты.

В конце второго этапа игры учащиеся из каждой бригады дают объяснения, как они вычислили нужное количество паркетных плиток.

На этом этапе игры команды получают определенное число очков, а правильно ответившие ученики оценки в журнал.

III этап.

Ответить на контрольные вопросы:

1. Дайте определение площади простых фигур.

2. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

3. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

4. Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

5. По какому принципу укладывали паркетные плитки в один ряд?

6. Как проводились вычисления площади одного ряда плиток?

7. Дайте краткую характеристику профессии столяра.

Подведение результаты игры.

Деловые игры представляют собой непрерывную последовательность учебных действий в процессе решения поставленной задачи. Этот процесс условно расчленяется на такие этапы: знакомство с профессией строителя; построение имитационной модели производственного объекта; постановка главной задачи бригадам и выяснениё их роли в производстве; создание игровой проблемной ситуации; овладение необходимым теоретическим материалом; решение производственной задачи на основании математических знаний; проверка результатов; коррекция; реализация принятого решения; анализ итогов работы; оценка результатов работы.

Основная идея игры состоит в том, чтобы создать производственную ситуацию, в которой учащиеся, поставив себя на место человека той или иной специальности, смогут увидеть и оценить значение математических знаний в производительном труде, самостоятельно овладеть необходимым теоретическим материалом и применить полученные знания на практике.

Благодаря соревновательному характеру деловой игры активизируется воображение участников, развивается логическое мышление, что помогает им находить решения поставленной задачи.

Деловая игра хорошо проводить для повторительно–обобщающих уроков, она требует специальной подготовки. Но отдельные элементы игры можно применять на любом уроке, особенно в младших классах. Например, в 5 классе при изучении темы «Сравнение дробей» мы разрешаем «спор между двумя дробями» (в роли дробей выступают учащиеся), тем самым формулируем правило сравнения дробей. Учащимся интересны и такие задания, как «Найти лишнюю дробь», «Какая дробь больше», «Найди пропущенное число в дробях»,»Сравни дробь с единицей».

В 5-6 классах провожу логические пятиминутки: это решение небольших задач на логику, внимание, сообразительность, творчество. Такие пятиминутки во время урока помогают снимать усталость, избежать однообразия и скуки. Составляем кроссворды, ребусы, сочиняем сказки, истории, разбираем интересные задачи. Мы много работаем над улучшением вычислительных навыков. Те дети, которые быстро вычисляют, больше успевают за урок, более внимательны.

3.3. Принципы обучения.

В своей работе я придерживаюсь следующих принципов:

• обучение на доступном, научном и интересном уровне;

• обучение развивающее, творческое;

• доброжелательное отношение к ученикам;

• творческое развитие личности;

• научить ученика учиться;

• научить думать, самостоятельно учиться.

Умение логически мыслить, правильно рассуждать является необходимым условием для глубокого и сознательного усвоения математики, а в самой тесной связи с этим умением находится умение с полной ясностью и с возможно большей точностью излагать свои мысли, правильно с логической и стилистической стороны – строить предложения, употреблять только нужные слова и этим достигать необходимой краткости.

Я знаю, что все не станут математиками, но умение логически мыслить, правильно говорить необходимо каждому. На уроках алгебры и геометрии существует тесная связь. Например, при решении задач по теме «Смежные углы» мы решаем такие проблемы:

1. Как уравнения помогают решать геометрические задачи.

а) По рисунку составьте задачу, в которой требовалось бы найти величины смежных углов. Решите её.

х ⁰+ 50⁰

б) Составьте задачу на нахождение величин смежных углов, которая сводилась бы к решению уравнения:

• х⁰ + (х⁰ +30⁰) = 180⁰;

• х + 5х = 180⁰ .

в) Смежные углы равны х и 180⁰ – х. Над этими величинами выполним следующие действия:

х\2; (180⁰ – х.)\2

х\2 + (1800 – х.)\2 = 90 ⁰

Что это за угол? Изобразите его на рисунке. Какую геометрическую закономерность вы заметили? Сформулируйте ее.

2. Сколько данных должно быть в задаче.

Например. Один из смежных углов больше другого на некоторую величину. Найдите эти углы. Хватает ли данных для решения задачи?. Дополните условие и решите задачу.

3) Всегда ли выручает аналогия?

Например. Один из смежных углов увеличили в 5 раз. Как изменился другой угол?

Развивающий эффект дает не отдельно взятая задача, а вся серия задач в целом. После выполнения заданий подводим итог, даем ответ на вопрос, поставленный в проблеме.

Решая проблему, учащиеся овладевают соответствующими знаниями и умениями, развивается мышление.

Чтобы дети думали надо их заинтересовать. Постановка тестовых задач является одним из способов повышения интереса учащихся к математике. При решении таких задач у школьников развивается логическое мышление, способность к математическому моделированию. Но часто решение таких задач ставят учеников в затруднительное положение. На мой взгляд, основными причинами являются неумение читать: отсутствует правильное чтение – чтение с осмыслением, не видят подробную ситуацию и не обладают пространственным мышлением.

Я обычно говорю своим ученикам «Представьте себе всю ситуацию», ««оживите» задачу, тогда она быстро и правильно решится».

Желая научить учащихся решать в натуральных числах уравнения вида ах + by = с, можно, конечно, предложить учащимся выполнить упражнение «При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х+7у=23?». Но, как показывают наблюдения, учащиеся легче и с большим интересом учатся способам решения таких уравнений, если им предложить, например, следующую задачу:

“Чтобы купить вещь, нужно уплатить 19 р. У покупателя только трехрублёвые купюры, у кассира только десятирублевые. Может ли покупатель расплатиться за покупку? А если у кассира только пятирублевые купюры?”

Большой интерес, являющийся для учащихся стимулом для приобретения умений и навыков решения неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных и целых числах, вызывает, как правило, у учащихся VII класса следующая задача:

“В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой табуретки три ножки, у каждого стула четыре ножки. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, в комнате 39 “ног”. Сколько стульев и табуреток в комнате?” (Если стульев х, табуреток у, то имеем уравнение 4х + 3у + 2 (х + у) = 39, откуда 5у = 39 – 6х, х = 4, у = 3.). Много интересных задач на соответствующую тематику имеется в журнале “Квант”.

Я понимаю, конечно, что нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на “скучные” разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики.

Таким образом, чтобы научить школьников решать задачи, нужно вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.

Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить.

Ну а как же помочь учащемуся научиться решать задачи, если интерес к решению задач у него есть и трудности решения его не пугают? В чем должна заключаться помощь учителя ученику, не сумевшего решить интересную для него задачу? Как эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи?

Я считаю, что не следует идти по самому легкому в этом случае пути — познакомить ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении.

Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться. Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения; 4) изучение полученного решения — критический анализ результата решения и отбор полезной информации.

Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить логическое мышление математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.

На уроках должна быть атмосфера творческого поиска. Учитель и ученик должны сотрудничать. Чтобы активизировать мыслительную деятельность, я предпочитаю беседу. Обычно начинаю фразами: «Ребята, как вы думаете?…»,

«С чего бы вы начали?…», «Что вы скажете?…».

В классах учеников мало, поэтому можно работать с каждым учеником. Стараюсь при беседе похвалить ученика даже за малейшее правильное рассуждение. Если задача решается несколькими способами, то рассматриваем хотя бы 2 способа решения. Если рассматриваем только один способ, то я говорю: «Ребята, может быть эту задачу можно решить быстрее, если к ней подойти по-другому. Давайте все вместе подумаем…»

Часто уроки начинаю с викторины, занимательных задач, которые исполняют роль устной работы или теоретической разминки. Вопросы составляют три группы, соответствующие трем уровням знаний учащихся. Устные упражнения помогают мне увидеть характер ошибок учеников.

Обучение может приносить радость каждому обучающемуся, при этом возникает полезный для ученика и для учителя контакт, позволяющий избежать насильственного процесса передачи знаний, когда учащийся сопротивляется, а учитель пытается заставить его получить очередную порцию новых сведений.

Для того чтобы приучить учащихся мыслить самостоятельно, привить им твердую привычку надеяться в разрешении возникающих затруднений на собственные силы и разум, а также воспитывать уверенность в своих возможностях, необходимо заставить их пройти через определенные трудности. Я думаю, что учащийся, не приученный к самостоятельному преодолению трудностей, к поиску выхода из затруднений, будет вынужден всю жизнь нести груз интеллектуальной неполноценности, постоянно испытывать нужду в том, кто выполнит за него умственную работу, даже самую примитивную. Поэтому особенно в начале обучения я стараюсь излагать предмет, чтобы заинтересовать учащихся, чтобы он был доступным, чтобы не было место скуке.

Мой опыт показывает, что ученики должны видеть, что их учитель при встрече с ними непрерывно думает, что его мысль напряженно работает, чтобы дать им то, что нельзя вычитать ни в одном учебнике. Без этого нельзя вызвать учащихся на активное слушание лекции или участие в решении задач.

Вся моя работа направлена на осуществление основной задачи образования – содействовать развитию творческого мышления и речи как способа передачи информации у всех его участников. Все годы работы меня волнуют проблемы развития интереса к изучению математики, активизации деятельности учащихся на уроке и во внеурочное время. Поэтому всегда в педагогической литературе, периодической печати выискиваю разнообразные формы ведения уроков и внеклассных занятий. Это использую в приемлемой для меня и моих учеников форме. Новизна меня всегда интересует. Обратила внимание на труды академика П.М.Эрдниева по укрупнению дидактических единиц (УЕД) как технологии обучения, была на лекциях и уроках М.Цехова. Я изучала освещение вопроса «Развитие логического мышления учащихся при изучении математики» в методической литературе. Эта тема стала для меня интересной. Есть свои, какие-то крупицы своего опыта.

У меня есть свои подходы, приемы, которые помогают в моей работе. Поэтому считаю, что, принимая новое, нужно оставаться самим собой.

1. Валина В. А. «Праздник числа» – М:1993

2. Волкова С.И. Столярова Н.Н. «Развитие познавательных способностей детей на уроках математики».

3. Гнедко Б.В. «Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике» М «Просвещение», 1990 г.

4. Журналы «Математика в школе» № 4, 1991 г., № 4, 1995 г.

5. Корчемлюк О.М. «Задания для развития памяти и внимания на уроках математики».

6. Моро М.И. Пышкало А.М. «Методика преподавания математики».

7. Педагогика . Под ред. Щукиной И.Н. М: 1966

8. Преподавание математики в сельской школ (сборник методических статей) М., «Просвещение», 1984 г.

9. «Повышение эффективности обучения математике в школе». М., «Просвещение», 1989 г.

10. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника математики», М. «Просвещение», 1999

11. Семенов Е. М., Горбунова Е. Д. «Развитие мышления на уроках математики». Свердловск, 1966 г.

12. Сорокин П.И. «Занимательные задачи по математике» М: 1985

13. Труднев В.П. «Считай, смекай, отгадывай» Санкт-Петербург:1997

14. Урунтаева Г.А. Афонькина Ю.А. «Помоги принцу найти золушку» М:1994

15. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи». М., 1989 г.

16. ФридманЛ.М., И.Ю.Кулагина «Психологический справочник для учителя» М., «Совершенство», 1998 г.

17. Фридман «Учитесь учиться математике» М., «Просвещение», 1985 г.

18. Эрдниев П.Э., Эрдниев Б.П. «Обучение математике в школе» М., «Столетие», 1996 г.

45