Разработка урока алгебры "Показательная функция, её свойства и график" (10 класс)

№

Вопросы преподавателя

Ответы учащихся

1

Выбрав основание, проведите классификацию по этому основанию

а) y=x², y=(x-2)³, y=x

б) y=2^x, y=π^x, y=^x

2

Что общего в этих функциях?

Все они представляют степень

3

Чем эти функции отличаются друг от друга?

В первой группе переменная в основании, а во второй – в показателе

4

А знакомы ли мы с группами таких функций?

С первой группой мы знакомы (нам известны сами функции, их свойства и графики), а с функциями второй группы мы ещё не работали

5

Какое бы название вы дали функциям, у которых переменная в показателе?

Показательные

№

Вопросы преподавателя

Ответы учащихся

1

Как известно, любая функция может быть записана в общем виде (линейная функция – y= kx+b, квадратичная – y=ax²+bx+c и т. д.). Как бы вы записали функцию, названную вами показательной?

Возможны затруднения

2

Поскольку у вас возникли затруднения, то давайте посмотрим, что из себя всегда представляет основание и что – показатель данной функции?

Основание – число (константа), показатель – переменная

3

На основе всего этого попробуйте записать показательную функцию в общем виде

y=a^x

4

Любым ли числом может быть а?

Положительным, отрицательным, равным нулю

5

Давайте рассмотрим предложенные вами случаи:

1) пусть а0

(-7)²=49
(-7)^1/2=- не имеет смысла
таким образом, при а0 значение показательной функции не всегда определено
2) пусть а=0

тогда у=0 – линейная функция
3) пусть а0

2³=8
2^-3=
4^1/2=2
4^-1/2=
Таким образом, при а0 значение показательной функции всегда определено.
Давайте рассмотрим ещё один случай:
а=1,

тогда у=1 – линейная функция

Участвуют в обсуждении

6

Таким образом, мы выяснили, что основанием данной функции может быть любое положительное число, не равное единице. А каким числом может быть показатель.

Любое число, т.к. в любую степень мы можем возводить положительное число.

7

На основе всего вышесказанного попробуйте сформулировать определение показательной функции

Пытаются сформулировать определение показательной функции.

8

Определение:

Функция, заданная формулой у=а^х, где а0, а1 называется показательной функцией с основанием а

Записывают данное определение в тетрадь.

9

Мы сформулировали определение показательной функции. Кроме определения мы пока ещё ничего не знаем. Как известно, функцию можно задать не только аналитически, но и графически, а также она обладает определёнными свойствами. Поэтому мы должны рассмотреть свойства и график показательной функции. Можем ли мы сейчас это сделать?

Затрудняются ответить на вопросы

10

Поскольку вы затрудняетесь ответить на поставленные вопросы, то вам предлагается провести исследование, которое и будет сводиться к выяснению свойств и построению графика показательной функции

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

х

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

у

1

Область определения функции

2

Множество значений функции

3

Чётность функции

4

Монотонность функции

5

Интервалы знакопостоянства

у0 при

у0 при

6

Нули функции

7

Особые точки

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

х

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

у

1

Область определения функции

2

Множество значений функции

3

Чётность функции

4

Монотонность функции

5

Интервалы знакопостоянства

у0 при

у0 при

6

Нули функции

7

Особые точки

Свойства функции

у=а^х, а1

у=а^х, 0а1

1

Область определения функции

(-∞; +∞)

(-∞; +∞)

2

Множество значений функции

(0; +∞)

(0; +∞)

3

Чётность функции

ни четная, ни нечетная

ни четная, ни нечетная

4

Монотонность функции

возрастает на всей области определения

убывает на всей области определения

5

Интервалы знакопостоянства

у0 при х(-∞; +∞)

у0 при х(-∞; +∞)

6

Нули функции

не существует

не существует

7

Особые точки

(0;1)

(0;1)

8

График

№

Вопрос

Ответ

Проверка

1

Какие из перечисленных функций являются монотонно возрастающими на своей области определения: (+, -)

• у=2^х

• у=π^х

• у=()^х

2

Верно ли, что показательная функция: (+, -)

• принимает значение, равное нулю

• принимает значение, равное единице

• является чётной

• принимает только положительные значения

• принимает только отрицательные значения

• принимает как положительные, так и отрицательные значения

3

Сравнить числа m и n:

• ()^m  () ⁿ

• 1,2^m  1,2ⁿ

4

Сравните значения а (а0) с единицей

а^3/4  а^5/7

из 12 ответов

____верных

№

Вопрос

Ответ

Проверка

1

Какие из перечисленных функций являются монотонно возрастающими на своей области определения: (+, -)

• у=2^х

• у=π^х

• у=()^х

2

Верно ли, что показательная функция: (+, -)

• принимает значение, равное нулю

• принимает значение, равное единице

• является чётной

• принимает только положительные значения

• принимает только отрицательные значения

• принимает как положительные, так и отрицательные значения

3

Сравнить числа m и n:

• ()^m () ⁿ

• 1,2^m 1,2ⁿ

4

Сравните значения а (а0) с единицей

а^3/4 а^5/7

из 12 ответов

____верных

Свойства показательной функции

Свойства функции

у=а^х, а1

у=а^х, 0а1

1

Область определения функции

2

Множество значений функции

3

Чётность функции

4

Монотонность функции

5

Интервалы знакопостоянства

у0 при

у0 при

6

Нули функции

7

Особые точки

8

График