Разработка урока по геометрии с применением мобильного комплекса фирмы Apple на платформе Mac OS с применение УМК «Живая математика»

Разработка урока по геометрии с применением мобильного комплекса фирмы Apple на платформе Mac OS с применение УМК «Живая математика»

Тема: Средняя линия треугольника

Класс: 8

Оборудование урока: мобильный комплекс фирмы Apple на платформе Mac OS, программа «Живая математика», проектор, экран.

Раздаточный материал: брошюры «Средняя линия треугольника», карточки с заданиями

Цели урока:

1) познакомить учащихся с понятием средней линии треугольника и трапеции, рассмотреть их свойства с помощью построения анимационных моделей;

2) учиться доказывать геометрические утверждения, проводя исследования на анимационных моделях;

3) развивать умения делать выводы на основе проведенных исследований и аргументации;

4) развивать умение учащихся применять полученные знания при решении задач.

Ход урока

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь.

I этап. Проверка домашнего задания.

На прошлом уроке мы познакомились с теоремой Фалеса. Наш урок мы начнем с рассмотрения домашних задач. На экране чертеж к задаче № 1.

Ученик читает задачу и объясняет ее решение.

Задача №1: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС через середину боковой стороны проведена прямая MN, параллельная АС. Зная, что АМ=7 см, периметр треугольника АВС=38 см; периметр треугольника MBN=19 см. Найти: AC, MN.

Рисунок 1.

Решение:

• АМ=МВ (по условию), МВ=7 см, АВ=7+7=14 (см), так как по условию – треугольник АВС равнобедренный, то АВ=ВС, ВС=14 см.

• CN=NB (по теореме Фалеса), CN=7 см, NB=7 см.

• АС=38-28=10 (см), MN=19-14=5 (см)

Ответ: АС=10 см,MN=5 см.

Учитель задает дополнительный вопрос: «Почему отрезки CN и NB равны?»

Ученик: «Отрезки CN и NB равны по теореме Фалеса».

Учитель: «Сформулируйте теорему Фалеса».

Ученик: «Если // прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне».

Учитель: (оценивает знания ученика )Как вы решили вторую задачу?

Задача № 2.

Д окажите, что четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон выпуклого четырехугольника является параллелограммом.

Ученики предлагают свои решения. Оказывается, что есть затруднения.

Учитель: Хорошо, молодцы. Но к решению этой задачи мы вернемся немного позже.

II этап - Исследования

Выполняя домашнее задание, вы построили треугольник. Мы о нем знаем уже многое, но не все. В брошюре, которая лежит на ваших столах, изображен произвольный треугольник. Рассмотрим его и ответим на вопросы: сколько биссектрис, медиан и высот можно провести из одной вершины треугольника? в треугольнике?

У ченики рассказывают об элементах треугольника и отвечают на вопросы.

a, b, c - стороны треугольника

ma  - медиана к стороне a угла A

ha  - высота к стороне a угла A

la  - биссектриса к стороне a угла A

Учитель: Но, оказывается это не все линии, которые можно провести в треугольнике. Как вы думаете, каким образом можно еще провести линии треугольника?

Ученики предполагают – так, как в домашней работе – соединяя середины сторон или параллельно основанию.

Учитель: Решая домашнюю задачу, вы получили отрезок MN, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он находится внутри треугольника. Такой отрезок называется средней линией треугольника.

Запишите тему урока в тетрадь: «Средняя линия треугольника»

Прочитайте в брошюре определение средней линии треугольника, ответьте на вопросы, выполните построения.

Ученики читают определение средней линии треугольника и отвечают на вопросы и делают построения.

Вопросы:

1. Сколько средних линий имеет треугольник и почему? Выполните построение.

Построения делаются на компьютере в программе «Живая математика».. Для этого строится треугольник с помощью инструмента – отрезок. Выделяются стороны треугольника левой кнопкой мыши ЛКМ, затем во вкладке измерения выбирается слово Длина. На экран компьютера выходят все три измерения сторон треугольника.

Ученики делают вывод, что средних линий треугольника – три.

2. Каково расположение средней линии треугольника относительно сторон треугольника? Проведите исследование.

Ученики предполагают, что средняя линия треугольника, соединяющая две его стороны, параллельна третьей стороне. Строят прямую, параллельную средней линии и убеждаются, что параллельная прямая содержит через третью сторону треугольника.

3. В каком отношении находятся средняя линия треугольника и сторона треугольника, которую она не пересекает? Проведите измерения.

Для этого ученики выделяют длины трех сторон левой кнопкой мыши ЛКМ, входят во вкладку Измерения – Длина, затем, извлекая калькулятор (вкладка Измерения – Вычислить), ученики находят отношение средней линии с тремя сторонами треугольника. Получают три отношения. Одно из отношений у всех равно 0,5.

Учитель: Измените размеры треугольника (потянув за одну из его вершин) и проверьте, изменяется ли это отношение при изменении длин сторон треугольника; при изменении вида треугольника (остроугольного, тупоугольного, прямоугольного)?

Ученики проводят исследование и выясняют, что отношение средней линии треугольника к той стороне, которой она параллельна, не изменяется, остается прежним 0,5.

Учитель: Какой можно сделать вывод из всей нашей работы?

Ученики: Средняя линия, соединяет середины сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Учитель:

Итак, мы выдвинули с вами гипотезу, что каждая средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Доказательство этой гипотезы мы проведем на следующем уроке. Сейчас вернемся к домашним задаче №1. Является ли отрезок MN средней линией треугольника? (Рисунки изображены на экране).

Ученики отвечают на вопрос учителя, и каждый еще раз дает определение средней линии.

Учитель: Сколько всего средних линий можно построить в треугольнике?

После этой работы еще раз ученики формулируют определение средней линии треугольника.

Учитель: Давайте построим среднюю линию треугольника в тетрадях. Запишите число, тему урока.

Ученики записывают тему урока, делают построения, записывают вывод исследования.

Вывод: Каждая из средних линий треугольника, соединяющих середины двух данных сторон, параллельна третей стороне и равна её половине.

III этап. Решение задач

Учитель: Проверим, как на практике нам пригодится знание о средней линии треугольника. В брошюре есть задачи: которые мы попробуем решить.

Задача 1. Дан треугольник ABC. Точки K, M, N – середины сторон АС, AB, CB соответственно. Найдите СВ, MN, AB, если KM = 3, AC = 7, KN = 4.

Ученики читают, думают и поясняют свои решения. Записывают решения задачи в тетради.

Задача № 2.

Докажите, что четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон выпуклого четырехугольника является параллелограммом.

Для наглядности сделайте чертеж к задаче.

Для построения необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середины всех сторон выпуклого четырехугольника (выделить ЛКМ, войти во вкладку ПОСТРОЕНИЕ и

выбрать—СЕРЕДИНЫ);
2) последовательно соединить середины сторон отрезка

Учитель: Теперь каким образом можно решить домашнюю задачу?

Ученики: Провести диагонали четырехугольника, тогда по определению средней линии стороны внутреннего четырехугольника будут параллельны друг другу, следовательно, этот четырехугольник является параллелограммом.

Учитель: Сегодня на уроке мы вспомнили основные линии треугольника, рассмотрели еще одну из основных линий треугольника – среднюю линию. Что мы про нее узнали?

Ученики рассказывают.

Учитель: Рассмотрели, каким образом можно применить полученные знания для решения задач.

На последней странице брошюры информация о том, что нам следует изучить далее.

Ч то нам еще предстоит узнать:

1. В каком отношении находятся площади треугольников KMN и ABC?

2. Что такое серединный перпендикуляр?

3. Что называется средней линией трапеции, ее свойства.

Дополнительная работа для тех, кто работает быстрее.

Учитель: (если позволит время) На уроках геометрии часто приходится решать задачи на доказательство. Посмотрим, как можно применить теорему о средней линии треугольника в задаче 55. Читаем задачу. Рисунок на слайде.

Дети:

1. D АВС, MN – средняя линия, MN // АС.

2. D CDA, PK – средняя линия, РК // АС.

3. MN // РК (по теореме 4.1). Т. (4.1) стр.49 «Две прямые, // третьей, - параллельны».

4. Аналогично МР // NК.

Учитель: Решение запишите дома.

Домашняя работа: п. 58 Т. 6.7, № 51, 55 (решение).

Учитель подводит итог урока.

Сегодня мы выполняли построения анимационных моделей для доказательства утверждения о средней линии, на следующем уроке мы будем доказывать это утверждение, путем ранее изученных теорем, свойств и определений, решать задачи.

Хорошо (отлично) работали на уроке …

6