Разработка урока по теме «Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем»

Разработка урока по теме «Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем»

Учитель: Новоселова Галина Валентиновна

Предмет: Алгебра и начала математического анализа

Класс: 10

Тема урока: Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем

Цели урока:

образовательные: рассмотреть свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем; расширить и углубить знания о функциях; формировать умение распознавать данные функции по формуле и графику в зависимости от четности (нечетности) показателя, применять свойства функции при решении задач, строить графики.

развивающие: развивать внимание, логическое мышление; умение анализировать, сравнивать и обобщать, делать выводы, развивать механизмы кратковременной и долговременной памяти.

воспитательные: воспитывать графическую культуру, культуру устной и письменной речи, аккуратность, дисциплинированность, ответственность. Побуждать учащихся к самоконтролю и саморефлексии своей деятельности

Средства: учебник, компьютер, проектор, интерактивная доска, презентация.

Тип урока: усвоения новых знаний

План урока:

I. Организационный момент. Постановка целей урока

II. Актуализация знаний

III. Изучение новой темы.

IV. Гимнастика для глаз

V. Закрепление

VI. Домашнее задание.

VII. Итог урока.

VIII. Рефлексия

Ход урока:

I. Организационный момент:

Здравствуйте, ребята!

Мы сегодня с вами делаем новый виток в изучении функций, их графиков и свойств.

Эпиграфом к нашему уроку я предлагаю взять слова М. В. Ломоносова "Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит".

Поэтому, чтобы понимать, что мы будем делать на уроке, давайте сформулируем цели нашего урока:

- рассмотреть свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем;

- применять свойства функции при решении задач, строить графики.

II. Актуализация знаний

Для изучения новой функции, необходимо вкратце вспомнить все, что мы с вами уже выучили по теме «Функции, их свойства и графики». Если вы понимаете, что нужно повторить како-либо понятие, то это вы можете сделать либо по своему справочнику, либо нажав кнопку на слайде презентации с названием того понятие, которое вызывает затруднения, либо обратиться к Приложению.

Пройдите тестирование по ссылке https://onlinetestpad.com/r244meer26vp4 (или можно детям дать карточки)

тестирование

1. Установите соответствие между понятиями и их определениями (каждый правильный ответ по 0,5 б)

2. Выберите точку, принадлежащую графику функции y = (правильный ответ - 1 балл)

a) (3; 9); б) (16; 4); в) (9; −3); г) (16; −4).

3. Найдите область определения функции у = (правильный ответ - 1 балл)

a) [−3; 5]; б) (− ; −3] [5; + ); в) (3; −5); г) (− ;3) (−5; + )

4. Множеством значений функции y = 2 + 5 является промежуток (правильный ответ - 1 балл)

a) (0; ∞); б) [0; ∞); в) (5; ∞); г) [5; ∞).

Выберите правильный ответ

5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают

(каждый правильный ответ по 0,5 б)

у = х^-5 у = х¹⁰ у = х⁹

у = х^-6 у =

III. Изучение новой темы.

Вс­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние корня:

Кор­нем n-ой сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а при чет­ном n на­зы­ва­ют такое неот­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает в ре­зуль­та­те число a. Записывается так:

Тогда как же выглядит график этой функции и, каковы ее свойства?

Из опре­де­ле­ния сле­ду­ет важ­ный вывод:

На мно­же­стве зна­че­ний   су­ще­ству­ет функ­ция   при n=2,3,4, …, т. е. при любом на­ту­раль­ном n, не рав­ном еди­ни­це.

Записываем тему урока: Функции , их свойства и графики.

Вспомним степенную функцию с натуральным показателем y = xⁿ, где n – натуральный показатель и построим ее график.

Рассмотрим случай, когда

n – четное натуральное число и n – нечетное натуральное число.

Область определения. Функция y = xⁿ (n – натуральное число) определена при всех x. Ее область определения – множество R.

Нули функции. Функция обращается в нуль при x = 0.

Знакопостоянство.

Если n четно, то y ≥ 0 при всех x.

Если n нечетное, то y 0 при x 0.

Монотонность.

Если n четно, то y убывает на промежутке (–∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞). Если n нечетное, то y возрастает на всей числовой оси.

Рассмотрим y = xⁿ, при x ∈ [0; ∞), она монотонна ⟹ функция обратима

Найдем обратную функцию. Для этого

из равенства y = xⁿ выразим х: х 

Выполним замену х → у получим y  - обратная функция

Построим график функции y = xⁿ при .

График обратной функции y  симметричен графику функции y = xⁿ относительно прямой у = х

Рассмотрим свойства функции y  для четных и нечетных показателей корня.

Функция y = , где k ∊ N

1. Область определения функции.

По свойству арифметического корня D  [0; ∞).

2. Множество значений функции - E(y)  [0; +∞).

Наибольшее  и  наименьшее значения функции.

При x  0 функция принимает наименьшее значение y  0.

Наибольшего значения у функции не существует.

3. Нули функции.

y  0 при x  0, значение x  0 является единственным нулем функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции.

y 0 при всех x ∈ (0; +∞ ).

5. Промежутки монотонности функции.

Функция возрастает на всей области определения.

6. Четность (нечетность) функции.

Функция не является четной и не является нечетной, т.к. область определения функции не симметрична относительно начала координат.

7. Ограниченность функции

Функция ограничена снизу и не ограничена сверху

8. График функции.

Графики функций y xⁿ при n  2, n  4, n  6 изображены на рисунке

Функция y = , где k ∊ N

1. Область определения функции: D(у)  (−∞; ∞).

2. Множество значений функции: E(y)  (−∞; +∞).

Наибольшее  и  наименьшее значения функции:

Наибольшего значения у функции не существует.

3. Нули функции: y  0 при x  0,

значение x  0 является единственным нулем функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции:

y 0 при всех x ∈ (0; +∞ ); y ∈ (-∞; 0).

5. Промежутки монотонности функции:

Функция возрастает на всей области определения.

6. Четность (нечетность) функции: функция является нечетной.

Её график симметричен относительно начала координат.

7. Ограниченность функции: Функция не ограничена

8. График функции.

Графики функций y  при n  3, n  5 изображены на рисунке

IV. Гимнастика для глаз

https://youtu.be/H7bWmNQbars

V. Закрепление

Предлагаю рассмотреть типичные задания по изучаемой нами теме.

№ 1. Найдите область определения функции:

Решение.

а) Так как область определения корня четной степени есть множество неотрицательных чисел, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Р ешим неравенство 2х² – 3х + 1 ≥ 0.

Нули функции f(x)= 2х² – 3х + 1:

2х² – 3х + 1 = 0;

х₁ = 0,5, х₂ = 1

получим x ∈ (–∞; 05] U [1; +∞)

Ответ: D = (–∞; 05] U [1; +∞).

б) Так как область определения корня нечетной степени есть множество всех действительных чисел, то подкоренное выражение может принимать любые значения x ∈ (−∞; ∞).

Ответ: D(у)  (−∞; ∞).

Сейчас вы видите 3 примера, которые вы можете решить самостоятельно, поставив видео на паузу

Упражнения для самостоятельного решения: найдите область определения функции:

1). у = ;

2). у =

2).

№ 2. Найдите множество значений функции:

а) h(x) = + 3;

б) f(x) = – 7

Решение.

h(x) = + 3;

а) Множеством значений функции y 

является промежуток [0; +∞), т.к. ≥ 0.

По свойству неравенств: ≥ 0;

+ 3 ≥ 3,

значит, E (h) = [3; +∞)

f(x) = – 7

б) Множеством значений функции y 

является множество всех действительных чисел (−∞; ∞).

Значит, и множеством значений функции f(x) = – 7

является множество всех действительных чисел,

т. е. Е (f) = (−∞; ∞)

Упражнения для самостоятельного решения: найдите множество значений функции:

1). у = ;

2). у =

№ 3. Определите наименьшее значение функции f(х) = 3 + 7

Решение.

Наименьшее значение функции напрямую зависит от множества значений функции, поэтому сначала мы выполняем задание, аналогичное 2-му примеру, т.е.

f(х) = 3 + 7

найдём множество значений функции, а потом выбираем наименьшее число из области значений.

Так как функция y  для четных n имеет наименьшее значение, равное нулю, при x  0, то

3 ≥ 0, а 3 + 7 ≥ 7. Следовательно, наименьшее значение данной функции равно 7 и достигается при x  0.

Ответ: 7.

Упражнения для самостоятельного решения: найдите наименьшее значение функции:

1). у = ;

№ 4. Найдите нули функции у =

Решение.

Так как значение корня n-й степени равно нулю, если его подкоренное выражение равно нулю, то решим уравнение 2х² – 3х + 1 = 0.

Его корни x₁  1 и x₂  0,5 являются нулями функции у =

Ответ:

Упражнения для самостоятельного решения: найдите нули функции:

1). у = ;

2). у =

№ 5. Расположите числа в порядке возрастания.

Решение.

На чем основано это задание? оно основано на свойстве возрастания данной функции. Т.к. функция возрастает на всей области определения, то, чем больше значение аргумента х, тем больше значение у

Сначала запишем числа в виде корней с одинаковыми показателями

Теперь сравним подкоренные выражения

192 ⟹ ,

Значит ,

поскольку функция f(x)  возрастает на промежутке [0; ∞)

Ответ:

Упражнения для самостоятельного решения: расположите числа в порядке убывания ;

№ 6. Постройте график функции:

а) f(х) = + 2; б) f(х) = .

Решение.

Как правило в этом задании мы просто пользуемся правилами геометрических преобразований графиков функций, чаще всего – это сдвиг вдоль осей координат и растяжение или сжатие.

График функции корня n-й степени можно переносить вдоль осей по схожему принципу.

1) Построим график функции f (х) =

а) f(х) = + 2

2) График функции f(х) = + 2 получается из графика функции f(х ) = сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

б) f(х) =

График функции f(х) = получается из графика функции f(х ) = сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс

№ 7. Постройте график функции:

а) g(х) = – 2; б) g(х) = .

Решение.

1) Построим график функции g(х ) =

а) f(х) = – 2

2) График функции f(х) = – 2 получается из графика функции f(х ) = сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

б) g(х) =

График функции g(х) = получается из графика функции f(х ) = сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс

Упражнения для самостоятельного решения: постройте график функции:

а) g(х) = + 4; б) g(х) = .

№ 8. Какой (четной или нечетной) является функция:

а) f(х ) = ; б) р(х ) = ; в) h(х ) = ; г) g(х ) = .

а) Так как областью определения функции f(х) = есть множество всех действительных чисел (т.е. симметрична относительно начала координат) и f(х) = = – = – f(х), то функция является нечетной.

б) Так как областью определения функции р(х) = есть промежуток [0; ∞) и область определения функции не симметрична относительно начала координат, то функция р(х ) = не является ни четной, ни нечетной.

в) Так как областью определения функции h(х) = есть множество всех действительных чисел и h(–х) = = = h(х), то функция является четной.

г) Так как областью определения функции g(х) = есть множество всех действительных чисел и

g(–х) = = = g(х), то функция является четной.

VI. Итог урока.

Ребята, пора подвести итог урока. А для этого давайте вернемся к самому началу урока и вспомним эпиграф.

Для этого я предлагаю вам ответить на несколько моих вопросов в формате диалога.

https://onlinetestpad.com/lmbjgncsj4nki

«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия пробуждать чувства, философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей.»

Морис Клайн.

VII. Домашнее задание.

Выучить определение и свойства функции y  , решить упражнения для самостоятельного решения.

VIII. Рефлексия

Улучшилось ли ваше эмоциональное состояние после урока?

Оцените своё настроение и состояние после проведённого урока.
(выберите левой кнопкой мыши соответствующее изображение) и отправьте мне в личном сообщении вместе с выполненным заданием