Реферат к проекту "Теорема Симсона"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по теме:

«Теорема Симсона»

Выполнил:

Учащийся 10 класса «А»

Владимиров Лев Валерьевич

Подпись

Научный руководитель:

Андрющенко Алла Рудольфовна

Должность: учитель математики

Тамбов, 2021

Введение 3

Литературный обзор 4

Типовые задачи 6

Продукт 8

Вывод 11

Список литературы 12

Сегодня речь пойдет о теореме Симсона. Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название теорема Уоллеса. Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что умение работать с теоремой Симсона помогает при решении ряда задач, в которых нужно доказать, что три точки лежат на одной прямой.

ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ

Основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника (или их продолжения) из точки, лежащей на описанной около этого треугольника окружности, лежат на одной прямой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Пусть точки F, E и G – основания перпендикуляров, опущенных из точки D на прямые АС, АВ и ВС соответственно (см. рис. 1). Используя, что АDС = АВС, докажем, что углы АEF и BEG – вертикальные. Действительно, четырехугольники АFED и FDGС – вписанные. Следовательно, АDF = АКF и СDF = СGF (вписанные, опирающиеся на одну дугу). Тогда ВEG = АВС – СGF = АDС – СDF = АDF = АEF. Так как точки А, E и В лежат на одной прямой, то точки F, E и G также лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Задача 1. В треугольнике АВС проведены высота BH и биссектриса BL. Точки Р и Q – основания перпендикуляров, опущенных из А на BL и из L на ВС соответственно. Докажите, что точки Н, Р и Q лежат на одной прямой.

Доказательство:

Заметим, что точки Н, Р и Q – это основания перпендикуляров, опущенных из точки L на прямые ВН, АР и ВС соответственно. Поэтому достаточно доказать, что L лежит на окружности, описанной около треугольника, образованного этими прямыми. Это треугольник BDE, где D и Е – точки пересечения прямой АР с ВН и ВС соответственно. Действительно, точки А и Е симметричны относительно BL, значит, LAP = LEP. Кроме того, LAP = 90 – ВLA = LBD. Следовательно, LED = LBD, то есть точки L, D, В и E лежат на одной окружности.

Задача 2.Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

Доказательство:

Решение. Пусть А1, В1 и С1 - середины отрезков РА, РВ и РС; Од. Оa, и Оc - центры описанных окружностей треугольников ВСР. АСР и АВР. Точки А1, В1 и С1 являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны треугольника ОaОbОc, (или на их продолжения). Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой, следовательно, точка Р лежит на описанной окружности треугольника ОaObOc.

ПРОДУКТ

Продуктом я решил сделать сайт, на основе css,htmlи javascript, в котором была написана основная информация по теме теоремы Симсона, то есть ее история, актуальность, формулировка, доказательство и несколько типовых задач для решения по этой теореме. Ниже предоставлены скриншоты этого сайта.

ВЫВОД

В этом проекте было показано множество способов применения теоремы Симсона, а также была разобрана ее формулировка и доказательство. Показанный мною материал, освещает информацию, которая неизвестна среднестатистическому школьнику, что может заинтересовать и побудить к более подробному изучению теоремы Симсона и геометрии в целом.

Благодаря этому проекту, я подробнее познакомился с теоремой Симсона и геометрией в целом, что облегчит мне решение задач более сложного уровня, а также он поможет мне построить базу знаний, которая поспособствует мне в дальнейшем изучении математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. https://anasta8ia.ru/pryamaya-simsona/

2. http://math.mosolymp.ru/upload/files/2017/khamovniki/geom-9/2017-01-10_Pryamaya_Simsona.pdf

3. https://geometry.ru/persons/shvetsov/Simson1problems.pdf

4. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). Под ред. А.П. Нордена. — М.: Физматлит, 1960. С. 127

5. В. Березин. Дельтоида (рус.) // [Квант (журнал). — 1977. — № 3. — С. 19.

6. http://math.mosolymp.ru/upload/files/2017/khamovniki/geom-9/2017-01-10_Pryamaya_Simsona.pdf