«Решение экономических задач с помощью графического метода линейного программирования»

«Решение экономических задач с помощью графического метода линейного программирования»

Одной из важных задач экономических процессов является задача оптимизации. Решение этих задач можно осуществлять различными способами. Одним из таких способов является метод линейного программирования. В постановку задачи линейного программирования входит система неравенств, описывающая ограничения, составленные по условию задачи и целевая функция, которая задает основное требование задачи.

Решение задачи линейного программирования можно осуществлять графическим способом. Для этого необходимо построить многоугольник распределения в прямоугольной декартовой системе координат, в котором могут находиться решения задачи, а также построить целевую функцию. Для того чтобы конкретно рассмотреть графический способ решения задачи оптимизации, разберем ее решение на конкретном примере.

Задача. Класс решил принять участие в благотворительной акции. На классном часе было решено изготовить подделку двух видов: открытки и календари. Для выполнения данного задания необходимо: цветная бумага, клей и украшения (стразы, блестки, наклейки и т.п.), то, что в дальнейшем мы будем называть ресурсами. Нормы затрат ресурсов на единицу изготовленной продукции, а именно календарей и открыток, запасы ресурсов и прибыль от реализации за единицу продукции мы представим в табличном виде. От нас требуется составить такой план изготовленных изделий для благотворительной акции с учетом имеющихся ресурсов, который обеспечит нам наибольшую прибыль от проданных открыток и календарей. Все приведенные выше условия являются экономической постановкой задачи. А теперь составим математическую модель нашей задачи. Табличный вид математической задачи следующий:

Таблица 1. Математическая модель задачи

Пусть - это количество изготовленных открыток, а - это количество календарей. Тогда прибыль от продажи подделок (целевая функция) составит . При этом общий расход цветной бумаги равен и он не должен превышать имеющегося запаса этого ресурса, который равен 50 единиц. Это приводит к следующему ограничению . Теперь составим ограничения для использования клея, которое примет вид , и для ограничений, которое запишется следующем образом . Все полученные ограничения запишем в систему и под ней запишем целевую функцию. Данная система примет вид:

Причем в этом системе и должны являться целым числом, большим нуля. Таким образом, мы составили математическую модель поставленной экономической задачи. Нам остается решить эту задачу, для этого построим многоугольник распределения решений в системе координат и . Многоугольник распределения имеется вид (рисунок 1):

Рисунок 1 – Многоугольник распределения

Теперь на данном многоугольнике распределения построим целевую функцию и укажем вектор направления движения целевой функции (рисунок 2).

Рисунок 2 – Вектор направления целевой функции

Далее сдвигаем целевую функцию по направлению вектора, пока целевая функция не достигнет максимального значения в заданном многоугольнике распределения решения (рисунок 3).

Рисунок 3 – максимальное значение целевой функции

По многоугольнику распределения видно, что максимальное значение целевая функция принимает в точке . Используя систему линейных уравнений, найдем ее координаты.

,

Таким образом, точка имеет координаты . Отсюда вытекает следующий вывод, что целесообразно изготовить 10 открыток и 20 календарей, чтобы получить максимальную прибыль от продажи. Если цена одного календаря составит 40 рублей, а цена открытки 60 рублей, то прибыль от продажи в благотворительной акции составит рублей.