Решение геометрической задачи (№16 ЕГЭ) повышенного уровня сложности

Решение геометрической задачи (№16 ЕГЭ) повышенного уровня сложности

Подготовила: Глебова Елена Николаевна

Учитель математики

МБОУ «Гимназии №5» г. о. Дзержинский

Задача 16 (ЕГЭ): На сторонах  АВ ,  ВС  и  АС  треугольника  АВС  отмечены точки  C 1 ,  A 1  и  B 1  соответственно, причём  АC 1  :  С 1 B  = 21 : 10,  ВА 1  :  A 1 C  = 2 : 3,  АВ 1 : В 1 С  = 2 : 5. Отрезки  BB 1  и  CC 1  пересекаются в точке  D .

а) Докажите, что четырёхугольник  ADA 1 B 1   — параллелограмм.

б) Найдите  CD , если отрезки  AD  и  ВС  перпендикулярны,  АС  = 63,  ВС  = 25.

B

T

Дано: ΔАВС;

;

C 1

Доказать: 1) -параллелограмм

2) Найти

A 1

Доказательство: 1. Через точку B проведем прямую параллельную AC, которая пересечет прямую в точке

D

2. Тогда Δподобен Δ по двум углам:

(по св-ву вертикальных углов)

как накрест лежащие углы при -секущая

A

C

B 1

Из подобия треугольников следует, что

3. Аналогично Δподобен Δ по двум углам: (по св-ву вертикальных углов)

B

T

Следовательно

Треугольник Δподобен Δ (по 2 пропорц. Сторонам и общему Таким образом, прямая , т.к. соответственные (3 признак параллельных прямых)

C 1

A 1

D

Значит, в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, следовательно данный четырехугольник параллелограмм по 1 признаку.

ч.т.д.

A

B 1

C

2) Пусть прямые пересекаются в точке H , тогда подобен по 2 углам: –общий, как соответственные при , AH-секущая

(т.к. )

В прямоугольном треугольнике

По теореме Пифагора:

B

T

2x

C 1

H

A 1

В прямоугольном треугольнике

По теореме Пифагора:

Ответ: 27

D

3x

A

C

B 1

2y

5y