Решение итоговой контрольной работы по алгебре для обучающихся 7 класса

Вариант 1

1. Используя формулы квадрата суммы и разности квадратов, упростим данное выражение. Получаем

Найдем значение этого выражения при а = 1 и b = 1/5.

Получаем 

(Ответ: 1.)

2. Умножим все члены уравнения  на число 15. Получаем равносильное уравнение 

 или  или 25х + 10 + 9х - 3 = 75, или 34х = 68, откуда х = 2.

(Ответ: х = 2.)

3. Учтем, что 3 ∙ 2 = 6, и используем свойства степеней. Получаем

(Ответ: 2.)

4. Построим график функции у = 3х - 6.

(Ответ: проходит через точку А и не проходит через точку В.)

5. Пусть первое число равно х, а второе число равно у. По условию их сумма равна 80. Поэтому получаем первое уравнение х + у = 80. Один процент числа х равен x/100, тогда 50% числа х равны  Один процент числа у равен у/100, тогда 25% числа у равны  По условию сумма чисел x/2 и y/4 равна 26. Поэтому получаем второе уравнение 

Имеем систему двух линейных уравнений 

Решим систему способом подстановки. Из первого уравнения выразим у = 80 - х и подставим это выражение во второе уравнение. Получаем линейное уравнение с одним неизвестным  Умножим все члены уравнения на число 4 и получим  или 2х + 80 - х = 104, или х + 80 = 104, откуда х = 24. Используя формулу у = 80 - х, найдем у = 80 - 24 = 56.

(Ответ: первое число 24, второе число 56.)

6. Перенесем все члены уравнения (х - 2)(5х + 3) = (х - 2)(3х - 5) в левую часть и разложим их на множители. Получаем (х - 2)(5х + 3) - (х - 2)(3х - 5) = 0, или (х - 2)(5х + 3 - 3х + 5), или (х - 2)(2х + 8) = 0. Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из этих множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения х - 2 = 0 (корень х = 2) и 2х + 8 = 0 (корень х = -4). Итак, данное уравнение имеет два корня: х = 2 и х = -4.

(Ответ: х = 2 и х = -4.)

Вариант 2

1. Используя формулы квадрата суммы и разности квадратов, упростим данное выражение. Получаем

Найдем значение этого выражения при а = 2 и b = 1/5.

Получаем 

(Ответ: 2.)

2. Умножим все члены уравнения  на число 28. Получаем равносильное уравнение 

 или  или 16х + 8 + 21х - 35 = 84, или 37х = 111, откуда х = 3.

(Ответ: х = 3.)

3. Учтем, что 5 ∙ 3 = 15, и используем свойства степеней. Получаем

(Ответ: 5.)

4.

(Ответ: проходит через точку А и не проходит через точку В.)

5. Пусть первое число равно x, а второе число равно у. По условию их сумма равна 90. Поэтому получаем первое уравнение х + у = 90. Один процент числа х равен x/100, тогда 75% числа х равны  Один процент числа у равен y/100, тогда 50% числа у равны  По условию сумма чисел 3/4х и у/2 равна 61. Поэтому получаем второе уравнение 

Имеем систему двух линейных уравнений 

Решим систему способом подстановки. Из первого уравнения выразим у = 90 - х и подставим это выражение во второе уравнение. Получаем линейное уравнение с одним неизвестным  Умножим все члены уравнения на число 4 и получим  или 3х + (90 - х) ∙ 2 = 244 или 3х + 180 – 2x = 244 или х + 180 = 244, откуда х = 64. Используя формулу у = 90 - х, найдем у - 90 - 64 = 26.

(Ответ: первое число 64, второе число 26.)

6. Перенесем все члены уравнения (х - 3)(6х + 5) = (х - 3)(2х - 3) в левую часть и разложим их на множители. Получаем (х - 3)(6х + 5) - (х - 3)(2х - 3) = 0, или (х - 3)(6х + 5 - 2х + 3) = 0, или (х - 3)(4х + 8) = 0. Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из этих множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения х - 3 = 0 (корень х = 3) и 4х + 8 = 0 (корень х = - 2). Итак, данное уравнение имеет два корня: х = 3 и х = -2.

(Ответ: х = 3 и х = -2.)