Решение показательных уравнений и неравенств

Дисциплина

Математика

Специальность / профессия

08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

Тема занятия

Решение показательных уравнений и неравенств

Содержание темы

Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей и методом введения новой переменной. Графический метод. Решение показательных неравенств.

Тип занятия

Комбинированное занятие.

Формы организации учебной деятельности

Фронтальная, индивидуальная, групповая.

Учебная и дополнительная литература

1. «Алгебра и начала анализа»,10-11 класс под. редакцией А.Н. Колмогорова, Москва, «Просвещение», 2003 г.

2. «1 С: Репетитор. Математика», АОЗТ «1С», 2002 г.

Этапы занятия

Деятельность

преподавателя

Деятельность

студентов

Планируемые образовательные результаты

Типы оценочных мероприятий

1. Организационный этап занятия

Создание рабочей обстановки, актуализация мотивов учебной деятельности

Приветствие. Предлагает определить тему и цели урока.

Записывают тему урока

ОК 01.

Создание рабочей обстановки, актуализация мотивов учебной деятельности

2. Основной этап занятия

Актуализация знаний

Вычислить:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Устные ответы, решение задач

ОК-01, ОК-02,
ОК-03, ОК-04,
ОК-05, ОК-07

Устный опрос

Выполнить самостоятельно

Выполняют в тетради

ОК-01, ОК-02,
ОК-03, ОК-04, ОК-05

Взаимопроверка

Изучение нового материала

1 Приведение к одному основанию

/Свойство а^х=а^ух=у/

Пример 1

2^{х -7х+12}=1
Представим левую и правую части уравнения в виде степени с одинаковым основанием:

2^{х -7х+12}=2⁰

Степени с одинаковым основанием равны, значит равны и показатели:

х -7х+12=0

Решая уравнение получим:

х₁=4, х₂=3

2 Вынесение общего множителя за скобки

Пример 2

2^х+3-2^х=112

Используя свойство степени а^m+n=a^m+aⁿ, получим:

2^х.2³-2^х=112

Вынесем 2^х за скобки:

2^х.(2³-1)=112

2^х.7=112

2^х.=16

2^х.=2⁴

х=4

3 Замена переменной

Пример 3

4^х+2^х+1-8=0

Заменим 4^х=2^2х, 2^х+1=2^х.2¹

2^2х+2^х.2-8=0

Введем новую переменную: у=2^х

у²+2у-8=0

Решим данное уравнение:

у₁=2, у₂=-4

Вернемся к подстановке:

2^х=2 или 2^х=-4

х=1 решений нет

4 Графический метод

Пример 4

3^х=2х+3

Построим графики функций у=3^х и у=2х+3

х₁-х₁-1,5; х₂1,8

При решении показательных неравенств применяются те же способы, кроме того, необходимо помнить свойства возрастающей и убывающей функции

1. Привести неравенство к виду: а^f(х) а^g(х)

2. аф-яхg(х) /знак не меняется

3. 0а1 ф-яхg(х)/знак меняется

Пример 5

3^х27

3^х

а=3, 31, х3

Пример 6

6^{х -7х+12}1

6^{х -7х+12}6⁰

а=6, 61

х -7х+120

Введем функцию: у= х -7х+12

Найдем нули функции: х₁=4, х₂=3

х(-;3)(4;+)

Пример 7

(1/3)^{х -5х+8}1/9

(1/3)^{х -5х+8}(1/3)²

а=1/3, 01/31, следовательно знак неравенства меняется:

х -5х+82

х -5х+60

Введем функцию: у= х -5х+6

Найдем нули функции: х₁=4, х₂=3

х(2;3)

Решают в тетради, один у доски

1)

2)

3)

Составляют алгоритм решения

Составляют алгоритм решения

Составляют алгоритм решения

1. 3^х = 4-х

2. 

Составляют алгоритм решения

а) ;
б) ;
в) ;
г ) .

Составляют алгоритм решения

ОК-01, ОК-02,
ОК-03, ОК-04, ОК-05

Оценка работы у доски

3. Заключительный этап занятия

Подведение итогов работы; фиксация достижения целей (оценка деятельности обучающихся); определение перспективы дальнейшей

работы

-предлагает вернуться к цели учебного занятия, определить компоненты ее достижения;

-анализируют компоненты достижения цели учебного занятия;

-оценивают свою работу, аргументируют свои ответы

ОК 06

Комплексная оценка за все этапы урока

4. Задания для самостоятельного выполнения

1. Решить уравнение:

а) ; б) ;
в) ; г)

д) ; е)

2. Решить неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

Определить метод и решить уравнения и неравенства