Решение уравнений с параметрами 7 класс

Примеры решения линейных уравнений, содержащие параметры.

Линейные уравнения с одним неизвестным могут содержать и другие буквы. Такие уравнения называют уравнениями с параметрами. Уравнения, содержащие параметры, решаются также, как и обычные линейные уравнения, но корни уравнения зависят от значений параметров и выражаются через них.

Пример 1. Решим уравнение относительно переменной x:

5x – 3p = px + 7, где x – неизвестная величина, p – параметр.

Решение.

Перенесем члены уравнения, содержащие x, в левую часть, а все остальные – в правую часть уравнения:

5x – px = 7+3p

Вынесем x в левой части за скобки:

x(5 - p) = 7+3p

При p = 5 получаем 0  x = 22, т.е. уравнение корней не имеет.

Если же p ≠ 5, то разделим обе части уравнения на 5 – p.

x = – уравнение имеет единственный корень.

Ответ: при р ≠ 5 x = ; при р = 5 корней нет.

Мы нашли зависимость решения уравнения от параметра. Если решаем уравнения, содержащие параметры, мы можем сказать, при каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение, когда решений бесконечное множество, а в каких случаях их нет вообще.

Пример 2. Решим уравнение относительно переменной x:

3x +2c – b = 6x – 5b + 1

Решение.

3x – 6x = -5b + 1 -2c + b

-3x = -2c – 4b +1

Умножим обе части уравнения для удобства на -1:

3x = 2c + 4b -1

x =

Это выражение имеет смысл при любых значениях c и b поэтому уравнение имеет единственное решение.

Ответ: x =

Пример 3. Решим уравнение относительно переменной y:

4 – 3y + 2a = 6 – by

Решение.

by – 3y = 6 – 4 – 2a

y(b – 3) = 2 - 2a

Если b = 3 и 2 – 2a ≠ 0 (a ≠ 1), то корней нет, т.к. получим равенство, которое не выполняется ни при каких значениях переменной.

Если b = 3 и a = 1, то получим 0  y = 0. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если b ≠ 3, то y = – единственный корень.

Ответ: при b ≠ 3 y = ; при b = 3 и a = 1 – бесконечно много решений; при b = 3 и a ≠ 1 – корней нет.