Решение уравнений с параметрами. Аналитический метод.

Решение уравнений с параметрами.

Аналитический метод.

Теория.

Равносильность уравнений.

Определение: два уравнения называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго. И, наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого. (Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.)

Преобразования, при которых исходное уравнение переходит в равносильное ему уравнение:

1. можно переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя при этом знаки слагаемых на противоположные; (обратить внимание, что речь не идёт о приведении подобных слагаемых)

2. можно к обеим частям уравнения прибавлять одно и то же число;

3. можно обе части уравнения умножать или делить на одно и то же отличное от нуля число;

4. можно обе части уравнения умножать или делить на функцию, которая определена на всей области определения уравнения и не обращается в ноль при всех значениях аргумента;

5. можно применять тождества, т. е. равенства, справедливые для любого действительного х;

6. можно возвести обе части уравнения в нечётную степень;

7. можно из обеих частей уравнения извлечь корень нечётной степени;

8. можно логарифмировать показательное уравнение, т. е. от уравнения где a 0, a перейти к уравнению f(x) = g(x).

Преобразования, при которых исходное уравнение переходит в равносильную систему:

1. для любого чётного числа уравнение = g(x) равносильно системе

2. для любого чётного числа уравнение = равносильно системе (можно записать и )

3. при уравнение равносильно системе

4. уравнение равносильно системе

5. уравнение равносильно системе

6. множество решений уравнения f(x)∙g(x)=0 есть объединение множеств решений двух систем и

2. Решение уравнений.

1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде: Вынесем за скобки общий множитель, получим: Множество решений этого уравнения есть объединение множеств решений двух систем и Найдём множества решений каждой системы с учётом условия .

Т. о. получили, что данное уравнение на имеет корни при и при . При корни совпадают.

Ответ:

2. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение на отрезке имеет единственное решение.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде: , множеством решений которого будет объединение множеств решений двух систем. Найдём множества решений каждой системы с учётом условия .

Т . о. получили, что данное уравнение на имеет корни при и при . Осталось проверить существование такого значения параметра a, при котором значения корней совпадают: при

Ответ: ..

3. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде: Множество решений этого уравнения есть объединение множеств решений двух систем и Найдём множества решений каждой системы.

1. 

2. при всех действительных значениях параметра

Т. о. получили, что данное уравнение имеет корни при и при всех действительных значениях a.

Осталось проверить существование такого значения параметра a, при котором значения корней совпадают:

Если и корни совпадают при

Если и корни совпадают при

Ответ:

4. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение на отрезке имеет ровно один корень.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде: ,

Множество решений этого уравнения есть объединение множеств решений двух

систем и Найдём множества решений каждой системы с учётом условия .

Т. о. получили, что данное уравнение имеет корни при и при

Причём при уравнение имеет два корня и

Ответ: .

5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно три решения.

Решение.

Данное уравнение равносильно системе Множество решений этой системы есть объединение множеств решений трёх систем и и Найдём множества решений каждой системы.

Т. о. получили, что система, а значит и данное уравнение имеет корни при при и при всех действительных значениях a. Осталось проверить существование такого значения параметра a, при котором значения корней совпадают:

Ответ: