«Решение задач ключевых типов по теории вероятностей»

Задачи только на определение вероятности

№ 1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации  при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

№ 2 . В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

№ 3. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

9

Решение №1.

Если "остальные места неудобны", то удобны именно упомянутые 12 + 18 = 30 мест. Пассажиру В. может достаться одно любое место из 300 мест в самолёте, значит всего возможных событий  n  = 300. Но "благоприятствующими" будут только те из них, когда пассажир В. попал на удобное место, таких событий, как и мест,  m  = 30.

P(A) =    30 / 300 = 0,1.

Ответ: 0,1

.

9

Решение № 2.

Определим, сколько всего рейсов должен совершить вертолет 30 : 6 = 5 (рейсов). Турист П. может полететь любым, но "благоприятствующим" будет только один из них - первый. Следовательно  n  = 5,  m  = 1.

P(A) = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2

.

9

Решение № 3.

Выпишем в ряд заданные числа и отметим те из них, которые делятся на 3.

10, 11,  12 , 13, 14,  15 , 16, 17,  18 , 19

Получается, что из 10 заданных чисел на 3 делятся 3 числа. Находим ответ по общей формуле

P(A) = 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3

.

9

Свойства противоположных событий.

.

События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В.

Событие, противоположное событию А, обозначают Ā .

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А) + Р( Ā) = 1

9

Примеры противоположных событий.

• Бросаем один раз игральную кость. Событие А – выпадение четного числа очков, тогда событие Ā – выпадение нечетного числа очков.

• В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

.

9

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор.

Поэтому N = 1000.

Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.

Поэтому N ( A ) = 994.

Тогда

Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события

Ā = {аккумулятор неисправен}. Тогда N (Ā)=6.

=

9

Задачи с использованием элементов комбинаторики

«комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

9

Факториал.

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n . Обозначение n !

Таблица факториалов:

n

n!

0

1

1

2

1

3

2

4

6

5

24

6

120

7

720

8

5 040

9

40 320

10

362 880

3 628 800

Перестановки.

Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

P n = n!

Размещения.

Определение. Размещением

из n элементов

конечного множества по k , где

, называют

упорядоченное множество, состоящее из k

элементов.

Сочетания.

Определение . Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k . (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

Задачи с использованием элементов комбинаторики

№ 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?  

№ 2. Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? 

№ 3. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек?

  № 4. Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта?

№ 1.

Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P 8 = 8! = 40 320

№ 2.

Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

№ 3.

Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек?

Решение:

№ 4.

Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта?

Решение :

Сложение вероятностей.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

P(A + B) = P(A) + P(B)

Умножение вероятностей.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

P(A·B) = P(A) · P(B)

Правило сложения вероятностей для совместимых событий:  вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности их произведения.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)

Правило умножения вероятностей для зависимых событий:  вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

P(A·B) = P(A) · P(B/А)

Задачи на правила сложения и умножения вероятностей

№ 1. В урне находятся 30 шаров: 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара.

№ 2. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза.

№ 3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Пример 1 .

В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара.

Решение :

Пример 1.

Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза.

Решение :

Пример 3.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение примера 3.

События A = "кофе закончится в первом автомате" и B = "кофе закончится во втором автомате" не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее. По условию задачи P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12

Способ I. Событие "кофе останется в обоих автоматах" противоположно событию "кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих". Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = =0,48 Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52

Групповая работа

Задачи: ЕГЭ 2020( профиль), задание 4

1 группа. №1 вариант 4, №2 вариант 5,

№ 3 вариант 9, №4 вариант 17,

№ 5 вариант 36

2 группа. №1 вариант 2, №2 вариант 11,

№ 3 вариант 12, №4 вариант 15,

№ 5 вариант 18

Групповая работа (ответы)

Задачи: ЕГЭ 2020( профиль), задание 4

1 группа.

№ 1 (0, 556) , №2 (0, 0595)

№ 3 (0, 09) , №4 (0, 2)

№ 5 (0, 2)

2 группа.

№ 1 (0,34) , №2 (0, 26)

№ 3 (0, 48) , №4 (0,76)

№ 5 (0, 25)

11, 12, 15, 18

Рефлексия.

Д/з. 1.Противоположные варианты

групповой работы;

2. Решите ребус.