Решение задач по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по теме: Смеси и сплавы

Решение задач

на растворы, смеси и сплавы

Содержание

1. Общие вопросы по теории

2. Несколько решений одной задачи

3. Решение задач из ЕГЭ

Введение

В школьном курсе математики практически мало времени уделяется задачам на растворы, смеси и сплавы, хотя в заданиях ОГЭ, ЕГЭ и на олимпиадах по математике они встречаются. При решении задач на растворы, смеси и сплавы можно проверить свои знания по разделам школьной математики, уровень математического и логического мышления, оценить свои способности к математике.

Мною была использована в основном литература для подготовки к ЕГЭ по заданной теме, также несколько вторичных источников и информация, взятая из интернета

Целью моей работы станет предложение нескольких способов решения конкретных задач на концентрацию, смеси и сплавы.

Рассматривая задачи на составление уравнений, остановлюсь прежде всего на тех, решение которых связано с использованием понятий «концентрация» и «процентное содержание». Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

1. Общие вопросы по теории

Основными понятиями в этих задачах являются:

• масса или объём раствора (смеси, сплава);

• масса или объём вещества входящего в раствор (смесь или в сплав);

• концентрация (объёмная или массовая) вещества;

• процентное содержание вещества;

• доля или часть раствора (смеси, сплава).

Основные допущения, как правило, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем:

1. все смешиваемые вещества не вступают в химическую реакцию, все получающиеся сплавы или смеси однородны;

2. при слиянии двух растворов, имеющих объемы V₁ и V₂, получается смесь, объем которой равен V₁ + V₂, т.е.

V₀=V₁ + V₂,

причем это соотношение является именно допущением, поскольку не всегда выполняется в действительности, например, объём смеси спирта и воды на самом деле несколько меньше суммы объёмов спирта и воды. При слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих ее компонент:

m₀=m₁+m₂;

1. закон сохранения объёма или массы имеет место и для отдельных частей (компонентов) раствора, смеси и сплава.

Если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например, A, B и C, а второй – из компонентов B, C и D, то новый сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты A, B, C, и D, причем массы этих компонентов в новом сплаве равны сумме масс каждого из компонентов, входящих в первый и второй сплавы.

Рассмотрим для определенности смесь трех компонент A, B и C. Объем смеси V₀ складывается из объемов чистых компонент:

V₀= V_A + V_B + V_C,

а три отношения,

, , ,

показывают, какую долю полного объема смеси составляют объемы отдельных компонент:

V_A=c_A·V₀, V_B=c_B·V₀, V_C=c_C·V₀ .

Отношение объема чистой компоненты (V_A) в растворе ко всему объему смеси (V₀)

называется объемной концентрацией этой компоненты.

Концентрации – это безмерные величины; сумма концентрации всех компонент, составляющих смесь, очевидно, равна единице:

c_A + c_B + c_C = 1.

Поэтому для того, чтобы структура раствора, состоящего и n компонент, была определена, достаточно знать концентрацию (n-1)-й компоненты.

Если известны концентрации c_A, c_B и c_C компонент, составляющих данную смесь, то ее объем можно разбить на объемы отдельных компонент (рис. 1):

V₀₌ c_A·V₀+ c_B·V₀+ c_C·V₀ . (1)

Объемным процентным содержанием компоненты A называется величина p_A=c_A·100%,

т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Очевидно p_A + p_B +p_C=100%.

Если известно процентное содержание вещества A, то его концентрация находится по формуле .

Так, например, если процентное содержание составляет 80%, то соответствующая концентрация равна 0,8. Процентному содержанию 10% соответствует концентрация 0,1 и т.д.

Таким же способом определяются и массовые концентрация и процентное содержание, а именно, как отношение массы чистого вещества A в сплаве к массе всего сплава. О какой концентрации, объемной или массовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.

Встречается сравнительно немного задач, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на массовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать плотности компонент, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонент c₁ и c₂ (c₁+c₂=1) и плотностями компонент ρ₁ и ρ₂ . Масса смеси может быть найдена по формуле

M=V₁·ρ₁+ V₂·ρ₂=V₀·c₁ ·ρ₁+ V₀·c₂ ·ρ₂,

в которой V₁ и V₂ – объемы составляющих смесь компонент. Объемные концентрации выражаются друг через друга следующим образом

c₁=1-c₂ и c₂=1-c_{1 .}

Массовые концентрации компонент находятся из равенств

,

,

которые определяют связь этих величин с объемными концентрациями.

Как правило, в условиях задач рассматриваемого типа встречается один и тот же повторяющийся элемент: из двух или нескольких смесей, содержащих компоненты A₁, A₂, A₃, …, A_n, составляется новая смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты A₁, A₂, A₃, …, A_n войдут в получившуюся смесь. Для решения таких задач удобно ввести в рассмотрение объем или массу каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонент A₁, A₂, A₃, …, A_n. С помощью концентраций нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле (1), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко подсчитать, какой объем (какая масса) каждой компоненты входит в получившуюся смесь, а также полный объем (полную массу) этой смеси. После этого определяются концентрации компонент A₁, A₂, A₃, …, A_n в новой смеси.

1. Несколько решений одной задачи

Задача. Смешали 10%-й раствор серной кислоты с 30%-м раствором той же кислоты. В результате получили 600 г 15%-го раствора серной кислоты. Сколько нужно было взять того и другого раствора?

Решим эту задачу разными способами. Чаще всего при решении пользуются алгебраическим способом. В данном случае можно предложить четыре таких решения.

Первое решение. Пусть нужно взять x г 10%-го раствора, тогда придётся взять (600-x) г 30%-го раствора. Так как в результате смешивания получается 15%-ный раствор, составляем уравнение

0,1x+0,3(600-x)=0,15·600.

Решив это уравнение, получаем ответ: 10%-го раствора - 450 г, 30%-го раствора – 150 г.

Второе решение. Обозначение: требуется взять x г 10%-го раствора, y г 30%-го раствора. На основании условий задачи приходим к простой системе

Решая её любым способом либо подстановкой, либо сложением мы найдем те же 450 г и 150 г.

Третье решение. По условию задачи в 600 г раствора должно содержаться 90 г чистой серной кислоты (0,15·600=90). Предположим, что мы взяли бы все 600 г 10%-го раствора. В нём содержалось бы только 60 г серной кислоты (0,1·600=60), т.е. необходимо ещё 30 г. Недостающее количество серной кислоты можно получить, если часть 10%-го раствора заменить более насыщенным 30%-м. Каждый грамм (в силу однородности раствора) 10%-го раствора содержит 0,1 г чистой серной кислоты, а 1 г 30%-го раствора содержит 0,3 г чистой серной кислоты. Таким образом, при замене одного грамма 10%-го раствора на 1 г 30%-го содержание кислоты в растворе увеличивается на 0,2 г. Всего недостает 30 г. Так как 30:0,2=150, значит надо 150 г 10%-го раствора заменить на 150 г 30%-го. Отсюда получаем: 10%-го раствора – 450 г, 30%-го – 150 г.

Ч етвертое решение. Для наглядности рассуждений воспользуемся изображенной на рисунке 5 схемой. В силу однородности растворов в каждой доле полученного 15%-го раствора должно содержаться 15 частей чистой кислоты (это число 15 стоит в центре схемы). Следовательно, каждая доля 10%-го даёт недостачу в 5 частей (- 5), а каждая доля 30%-го раствора даёт избыток в 15 частей (+15). При смешивании избыток и недостаток должны погаситься, поэтому исходные растворы следует брать в отношении, обратном к данному 5:15, т.е. 15:5 или 3:1. Разделив 600г в данном отношении, мы получим искомый ответ: 450г и 150г. Фактически, данный способ позволил решить более общую задачу: каково должно быть соотношение 10%-го и 30%-го растворов, чтобы при смешивании получился 15%-ый раствор.

1. Решения задач из ЕГЭ

Задача 1. В сосуд, содержащий 180 г 70% -го водного раствора уксуса добавили 320 г воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Решение. Масса уксусной кислоты не изменилась и равна

m₁=0,7·180=126 (г).

Получившийся раствор имеет массу

180 г + 320 г = 500 г

Концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна

k= =25,2% Ответ. 25,2%.

Задача 2. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 150 г 70% -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 6 % раствор уксусной кислоты?

Решение. Количество воды необходимое для доливания в сосуд обозначим через x.

Так как масса уксусной кислоты осталась прежней, составляем и решаем уравнение

0,06(150 + x) = 105,

9 + 0,06x = 105,

0,06x = 96,

x = 1600.

Ответ. 1,6 кг воды.

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20% раствора этой же кислоты. Найти концентрацию соляной кислоты в получившейся смеси.

Решение. Обозначим: x – концентрация кислоты в смеси, y кг – масса каждого раствора.

По закону сохранения массы для отдельных компонентов имеем, масса соляной кислоты в смеси равна сумме масс этого вещества, входящих в первый и второй растворы

2xy=0,12y+0,2y.

Из y≠0 следует

2x=0,12+0,2=0,32

x=0,16.

Выражаем в процентах: 16%.

Ответ. 16%

Задача 4. Смешали 8кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

Решение. Пусть x – концентрация смеси из двух растворов.

По закону сохранения массы для отдельного вещества получаем уравнение

20x=1,44+0,96

20x=2,4

x=0,12

или в процентах:12%.

Ответ. 12%

Задача 5. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70% сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40% сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55% содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35% содержание сахара. Найдите массу сахарного сиропа в третьем сосуде и концентрацию сахара в нём.

Решение. Обозначения: x кг - масса сахарного сиропа в третьем сосуде, y – концентрация сахара в нём.

По условию задачи составляем уравнения:

для 1 смеси

0,55(4+x)=2,8+ xy,

для 2 смеси

0,35(6+x)=2,4+ xy.

Итак, получаем систему уравнений:

Масса сахарного сиропа в третьем сосуде равна 1,5 кг, а массовое процентное содержание равно 15%.

Ответ. 1,5 кг, 15%.

Задача 6. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8:3, а во втором - 12:5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

Решение. Эту задачу можно решить без составления уравнений.

(кг) масса золота в I сплаве,

(кг) масса золота в II сплаве,

121+255=376 (кг) масса III сплава,

88+180=268 (кг) масса золота в III сплаве,

376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве.

Ответ. 268 кг золота и 108 кг меди.

Задача 7. При смешивании 5%-го раствора кислоты с 40%-ным раствором той же кислоты получили 140г 30%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решим задачу при помощи схемы. Число 30 ставим в центр схемы. Число 5 ставим в верхнем левом углу схемы, число 40 в правом верхнем углу. Каждая доля 5%-го раствора даёт недостачу в 25 частей (-25), а каждая доля 40%-го раствора даёт избыток в 10 частей (+10). Так как при смешивании недостаток и избыток должны гаситься, то растворы будем брать в отношении обратном к данному 25:10, т.е. 10:25 или 2:5.

5%-го: 140:7·2=40 (г),

40%-го: 140:7·5=100 (г).

Ответ. 40г и 100г.

Задача 8. Имеется два сосуда с 24%-м раствором спирта и 64%-м раствором спирта соответственно. Как можно получить 40%-ый раствор спирта, имея в распоряжении только кружку неизвестной ёмкости и пустой сосуд для смешивания?

Р ешаем при помощи схемы. Из схемы видно, чтобы получить 40%-ый спирт надо взять растворы в отношении 24:16 или 3:2, т.е. необходимо зачерпнуть 3 кружки из сосуда с раствором 24%-м спирта и 2 кружки из сосуда с 64%-м спирта.

Ответ. 3:2.

Заключение

Знание некоторых способов решения задач на концентрацию, смеси и сплавы поможет мне в подготовке к сдаче ЕГЭ по математике, химии и в продолжении образования, а также в профессиональной деятельности. В процессе решения задач на растворы, смеси и сплавы в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия

Список использованной литературы

1. ЕГЭ Математика. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Универсальные материалы с методическими рекомендациями, и ответами. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов-М., Издательский дом «Экзамен», 2014

2. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому

государственному экзамену. Математика. Составители: Л.Д.Лаппо, М.А. Попов и др. - М.,: «Экзамен», 2017

3. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Авт. –

сост. В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова. – Волгоград: «Учитель»,

2007. – 205 с.

4. Сборник задач по математике с решениями. 7-11 кл. Под ред.

М.И.Сканави. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21век»; ООО

Издательство «Мир и Образование», 2003.

5.ОГЭ 2017 . Математика. 9 класс. Тематические тестовые задания. С.С. Минаева, Н.Б. Мельникова – М.,: «Экзамен», 2017