Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений.

«Мне приходится делить время между политикой и уравнением. Однако уравнение, по – моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Альберт Эйнштейн

Пожелания учащимся.

1. Увеличить объем своих знаний на уроке.

2. Смело высказывать свое мнение, приводить свои способы решения задач, сомневаться, и даже ошибаться в чем-то.

3. Сделать себе установку: « Я все могу, все решу».

Каков алгоритм решения уравнения , одна часть которого алгебраическая дробь , а другая нуль?

= 0

• Найти корни уравнения которого стоит в числителе алгебраической дроби.

• Подставить каждый корень в знаменатель дроби.

• Исключить те корни, которые обращают в нуль знаменатель.

• Записать ответ.

Найдите ошибку

Ответ:

Правильный ответ:

Решите уравнения устно :

1.

2.

3.

Решите уравнения устно :

1.

Ответ: 0; 2

2.

Ответ : 1, -1

Ответ : 0

3.

Каков алгоритм решения дробных рациональных уравнений?

• Перенести все члены уравнения в левую часть

• Применяя правила сложения и вычитания алгебраических дробей , записать левую часть как алгебраическую дробь.

• Решить полученное уравнение.

• Записать ответ.

05.02.2021

Работа в парах. Запишите в тетради общий знаменатель дробей, входящих в уравнение

Ответы: 1) (х+7)(х-4); 2) (х+2)(х-2); 3) (х+3)(х-3); 4) 2(х-8)(х+8); 5) х(х-7).

Проверочная работа

Вариант 1 Вариант 2

Уровень А

а)

б)

Уровень Б

  а)

Уровень А

а)

б)

Уровень Б

а)

б)

б)

в)

в)

Взаимопроверка

Вариант 2.

Вариант 1.

Уровень А.

Уровень А.

а) -1

а) 2

б) -6

б) -1

Уровень Б.

Уровень Б.

а) 3

а) 7

б) -4

б) 3

в) 10

в) -6

Тема урока: Решение задач с помощью рациональных уравнений

Цели урока:

• Научиться составлять дробно-рациональные уравнения по условию задачи.

• Научиться решать задачи с помощью дробно-рациональных уравнений.

Этапы решения задачи

Первый этап. Составление математической модели.

Вводится переменная, текст задачи переводится на математический язык, составляется уравнение.

Второй этап. Работа с математической моделью.

Решение уравнения.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Анализируется полученное решение, записывается ответ на вопрос задачи.

Задача 325 (а) стр.108 Числитель дроби на больше знаменателя. Если числитель умножить на 2, а к знаменателю прибавить 3 то получится число 1 . Найти дробь.

Решение:

Обозначим за – знаменатель дроби.

Тогда – числитель этой дроби.

Значит, исходная дробь имеет вид .

По условию задачи числитель

нужно умножить на 2 , а к знаменателю прибавить 3.

было

стало

Числитель

х+2

Знаменатель

х

2(х+2)

х+3

Составим уравнение:

Решение:

Обозначим за – знаменатель дроби.

Тогда – числитель этой дроби.

Значит, исходная дробь имеет вид .

По условию задачи числитель нужно умножить на 2 , а к знаменателю прибавить 3.

было

стало

Числитель

х+2

Знаменатель

х

2(х+2)

х+3

Составим уравнение:

Ответ :

Задача

Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорость велосипедистов.

В

А

120 км

S, км

1 велосипедист

 , км/ч

120

2 велосипедист

t, ч

х+3

120

х

Известно, что первый велосипедист прибыл в город В на 2 ч раньше, чем второй.

В

А

120 км

Решение

Составим и решим уравнение:

Решение

Составим и решим уравнение:

12 км/ч – скорость второго велосипедиста

15 км/ч – скорость первого велосипедиста

Ответ: 12 км/ч; 15 км/ч.

Выполните тестовую работу

Вопросы:

• Каковы этапы решения задач на составление дробного рационального уравнения ?
• Как проводится интерпретация полученных решений?
• В каких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетворять условию задачи?

Подведем итоги

• Я сегодня на уроке все понял и могу объяснить другим.
• Я сегодня на уроке все понял, но объяснить другим не смогу.
• У меня остались вопросы по теме, но я смогу с ними справиться самостоятельно.
• У меня остались вопросы по теме, мне нужна помощь.

Домашняя работа Тема 5.6 Изучить задачу №1 Выполнить № 325 (б), 328

«Если хотите научиться плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Джордж Пойа.

Задача . Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость , с которой шел по расписанию, на 10 км/час . Какова скорость поезда по расписанию.

S

V

t

720 км

По расписанию

x км/ч

x+10 км/ч

Фактически

720 км

Слайд 15 . Задача 621. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость , с которой шел по расписанию, на 10 км/час . Какова скорость поезда по расписанию.

" width="640"

Задача . Велосипедисту надо проехать км. Он выехал на минут позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

s

s

фактически

фактически

15 км

15 км

v

планировал

планировал

v

проехать

Х км/ч

t

15 км

15 км

проехать

Х км/ч

t

(Х-2) км/ч

(Х-2) км/ч

ч

на 15мин

Решение:

Тогда расстояние в км велосипедист проедет за часов.

Пусть (км/ч) – скорость велосипедиста.

И тогда расстояние в км он проехал бы за часов.

Если бы велосипедист выехал вовремя, то его скорость была бы равна км/ч.

По условию задачи, велосипедист выехал на минут позже намеченного срока, или, что тоже самое, на часа позже.

Составим уравнение:

Ответ: км/ч.

Задача 3. Моторная лодка прошла вниз по реке км, а затем км против течения, затратив на весь путь часов. Найти скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна км/ч.

v

По течению

По течению

v

(5+х) км/ч

(5+х) км/ч

t

Против течения

t

Против течения

(5-х) км/ч

ч

S

S

(5-х) км/ч

14 км

14 км

5ч

ч

9 км

9 км

Решение:

Тогда км/ч скорость моторной лодки по течению реки и км/ч скорость моторной лодки против течения.

Пусть (км/ч) – скорость течения реки.

Известно, что моторная лодка прошла по течению реки км, а значит, затратила на это расстояние часов. Затем против течения лодка прошла км, затратив на это расстояние часов.

По условию известно, что на весь путь моторная лодка затратила часов.

Составим уравнение:

Общий знаменатель

Ответ: км/ч.

Решите задачи:

Скорость течения реки 2 км/ч, катер двигался по течению 40 км, а против течения 6 км, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера?

Решение:

(х+2)(х-2)

40(х-2)+6(х+2)=3(

40х-80+6х+12=3

3

D=1444 , не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 14 км/ч