Решения задач 11 (математика ЕГЭ профиль)

Решения задач В11

Решения задач В11

Задача: Железнодорожный билет для взрослого стоит 780 руб. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 23 школьников и 4 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу? Ответ выразите в рублях.

Решение.

Стоимость билета для школьника в два раза меньше стоимости билета для взрослого и составляет 390 руб. Стоимость всех билетов на группу составит: .

Ответ: 12090.

Задача: В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8%, то есть стало равно 40000 * 1,08 = 43200 человек.
А в 2010 году число жителей выросло на 9%, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать

40000 * 1,08 * 1,09 = 47088 жителей.

Задача: В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили хрублей. К вечеру понедельника они подорожали на р% и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на р% по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

По условию, акции в итоге подешевели на 4%.

Получаем, что

Поделим обе части уравнения на х (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

По смыслу задачи, р  0.

Получаем, что р = 20.

Задача: Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на р%, и теперь она равна

Задача: Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна х, стоимость куртки y. Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 96% от цены куртки, то есть
4х = 0,92 y.

Стоимость одной рубашки — в 4 раза меньше:
х = 0,23 y,
а стоимость пяти рубашек:
5x = 1,15y = 115/100 y = 115% от y.
Получили, что пять рубашек на 15% дороже куртки.

Ответ: 15.

Задача: Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация А» и «ситуация В».

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти х, y иz по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму x + y + z. Получим:

x = 0, 67 (x + y + z)
Это значит, что зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение  x + y + z, упростим и получим, что

z = 0,06 (x + y + z)

Значит, стипендия дочки составляет 6% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27% общего дохода.

Ответ: 27.

Задача: В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим x.

Первый сосуд содержал 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

х = 5.

Задача: Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна x. Масса второго — тоже x. В результате получили раствор массой 2x. Рисуем картинку.

Получаем: 0,15x + 0,19x = 0,34x = 0,17 * 2x

Ответ: 17.

Задача: Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения20 килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось 90% воды, значит, «сухого вещества» было 10%. В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда
10% от x = 95% от 20

Составим уравнение:
0,1x = 0,95 * 20
и найдем x.

Ответ: 190.

Задача: Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой x + y = 200.

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что x = 50, y = 150.

Ответ: 100.

Задача: Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора x, масса второго равна y. Масса получившегося раствора равна x + y + 10. Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на 100, поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

Ответ: 60.

Задача: Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за x и y. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 минут, то есть через 1/6 часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 минут, то есть 2/3часа.

Запишем эти данные в таблицу:

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть 1/6y = 2/3x.

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 минут, то есть через 1/2 часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна 30 км. Получим второе уравнение:

В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: 80.

Задача: Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая 1/12 часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и 1/12 (круга в час). Старт — в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на 2/3 круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что t = 8/11 часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через 8/11 часа. Пусть во второй раз они поравняются через время z. Минутная стрелка пройдет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z, причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что z = 12/11 часа. Итак, через 12/11 часа стрелки поравняются во второй раз, еще через 12/11 часа — в третий, и еще через 12/11 часа — в четвертый.
Значит, если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки поравняются через 8/11 + 3 * 12/11 =4 часа.

Задача: Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за 1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно 1/20, а время, затраченное на полет, равно 1/480. Общее время равно 24/480 + 1/480 = 25/480 = 5/96.
Средняя скорость равна 2 : 5/96 = 38,4 км/ч.

Ответ: 38,4.

Задача: Андрей и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Андрей — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Пусть x — производительность Андрея, y — производительность Паши, а z — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

Андрей и Паша покрасили забор за 9 часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Можно искать x, y и z по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за 8 часов.

Ответ: 8.

Задача от Екатерины: из А в В одновременно выехали два автомобиля. первый проехал с постоянной скоростью весь путь. второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 96км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше60км/ч.

Решение: Сначала рисунок.

Первый, со скоростью х, весь путь пройдёт за S/x часов. А второй половину пути со скоростью (х-16) км/ч, а вторую половину пути со скоростью 96, =

Задача от Екатерины: Расстояние между городами А и В равно 385.из города в город со скоростью 90км/ч выехал первый автомобиль,а через 30 минут после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 80км/ч второй автомобиль.на каком расстоянии от города они встретятся?

Екатерина оставляла задачи в комментариях в уроке по В13: http://probno.ru/v13-lyubaya-tekstovaya-zadacha/

А Анюта, написала мне на почту:

Задача от Анюты: Весной катер идёт против течения реки в 5/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 3/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Решение:

1. Пусть х – скорость катера, v – скорость реки весной.

Тогда скорость катера против течения = х-v, а летом = x+v.

А летом, против течения = x – (v-1) = x-v+1, а по течению = x + (v-1) = x+v-1.

2. Весной катер идёт против течения реки в 5/3 раза медленнее, чем по течению: (x-v)*5/3 = x+v

3. А летом катер идёт против течения в 3/2 раза медленнее, чем по течению: (x-v+1)*3/2 = x+v-1

4. Составляем систему из двух уравнений с двумя неизвестными и решаем САМОСТОЯТЕЛЬНО))

Ответ должен получиться v = 5.

Следующую задачу прислала Валентина в комментариях здесь.

Задача от Валентины: Байдарка в 10:00 вышла из А в пункт В,расположенный в 15км от А.Пробыв в пункте В 1ч20мин,байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня.Определите собственную скорость байдарки,если известно,что скорость течения реки=3км/ч

Решение:

Обратите ВНИМАНИЕ: если не говорится, в какую сторону идёт течение реки (т.е. от А к В или наоборот от В к А), то выбираем любое направление. А когда получим ответ – станет ясно. Если скорость получилась положительной, значит правильно выбрали направление. А если скорость получилась отрицательной – значит река бежит в другую сторону. И всё))

Итак, рисуем рисунок:

Вычисляем время, которое он потратил и туда и обратно:

,

т.е. туда он потратил 15/(х-3), остановился на 1ч. 20мин. = 4/3 часа, и обратно плыл 15/(ч+3) ч. На весь путь, туда и обратно, он потратил 8 часов.