Решения задач рубрики "Задача от мудрой совы" (6 класс, Мерзляк А.Г. и др.)

Решения задач рубрики «Задача от мудрой совы»

39. Сложите из шести спичек четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине одной спички.

О твет: Нужная конструкция образуется, если спички будут служить рёбрами треугольной пирамиды.

72. В клетках таблицы размером 3 х 3 стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером 2 х 2 клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображенную на рисунке?

Ответ: Нельзя. После каждой операции число, стоящее в центре таблицы, увеличивается на 1. При этом также на 1 увеличивается одно из четырёх чисел, записанных в углах. Значит, после каждой операции «центральное» число равно сумме четырёх «угловых» чисел, а в приведённой таблице это не выполняется.

103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

О твет: Нельзя. Рассмотрим, например, две команды, которые свои нечётные по порядку матчи проводят дома, а чётные на выезде. Тогда в том матче, который они будут играть между собой, одной из команд придётся нарушить этот принцип.

137. Шахматный конь начинает свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает его в правом верхнем углу. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски по одному разу?

Ответ: Не может. После каждого хода изменяется цвет клеточки, на которой стоит конь. Следовательно, после 63-го хода конь должен оказаться на белой клеточке, а правый верхний угол — чёрный (рис. 11).

162. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что он разрезал арбуз на четыре части, а после того, как его съели, осталось пять корок. Может ли такое быть, если корки не ломать?

Ответ: Может. Считая, что арбуз имеет форму шара, разрежем его на 4 части: 3 шаровые сегмента и «призму», основания которой — сферические треугольники. На рисунке 12 изображён вид сверху этого арбуза.

186. На чудо-дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных – то банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

О твет: Банан. Следует заметить, что количество бананов на дереве всегда нечётное. Значит, если на дереве остался только один плод, то это — банан.

209. На поле размером 10 х 10 клеток для игры в «Морской бой» поставили корабль в прямоугольник размером 1 х 3 клетки. Можно ли, сделав 33 выстрела, наверняка в него попасть?

Ответ: Можно. Для этого надо сделать выстрелы в 33 клеточки, закрашенные на рисунке 13.

2 35. Из старинной книги выпала часть страниц, идущих подряд. Первая выпавшая страница имеет номер 251, а номер последней записан теми же цифрами в другом порядке. Какой номер последней выпавшей страницы?

Ответ: 512. Номер последней страницы — число чётное и большее, чем 251.

267. Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе и тщательно размешивают. После этого одну ложку смеси переливают в чашку с молоком. Чего теперь больше: кофе в чашке с молоком или молока в чашке с кофе?

Ответ: Поровну. Очевидно, что после переливания в чашках будет такой же объём напитков, как до переливания. Пусть в чашке молока находится некоторое количество кофе. Тогда то количество молока, которое заместил этот кофе, окажется во второй чашке.

332. Серёжа и Саша играют в такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, в которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмёт последний камешек, если игру начинает Серёжа?

Ответ: Независимо от стратегии игроков последний камешек возьмёт Саша. Надо заметить, что после каждого хода Сергея остается нечётное количество камешков, а после хода Саши — чётное. Значит, именно после хода Саши останется 0 камешков.

388. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них – 5, второго – 6, а третьего – 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий – разные трёхзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?

О твет: 51, 69 и 78. Поскольку первый учащийся в сумме получил 147, то он сложил второе и третье числа. Второе из записанных чисел не может быть меньше, чем 68. Иначе сумма второго и третьего чисел не превышала бы 146 = 67 + 79. Теперь можно рассмотреть два случая. 1) Второе число равно 68. Тогда третье — 79 (147 − 68 = 79). С одной стороны, первое число не меньше, чем 52 (52 + 68 = 120), а с другой — не больше, чем 50 (79 + 51 = 130). Получили противоречие. 2) Второе число — 69, третье — 78. Тут легко установить, что в роли первого из записанных чисел подходит только 51.

433. Черепаха ползёт по плоскости с постоянной скоростью, изменяя направление движения на 90 через каждые 15 мин. Докажите, что вернуться в точку «старта» она сможет только через целое количество часов после начала движения.

Ответ: Понятно, что черепаха может вернуться в точку старта только в том случае, когда количество её поворотов кратно 4.

445. Вася и Саша играют в такую игру: они по очереди (Вася первым) ломают шоколадку, имеющую 6 х 8 квадратных долек. За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого куска вдоль углубления между дольками шоколадки. Проигрывает тот, кто в очередной раз не сможет этого сделать. Кто из них выиграет.

Ответ: Выиграет тот, кто ломает шоколадку первым. При этом результат игры никак не зависит от стратегии игроков. Игра заканчивается в тот момент, когда количество кусочков будет равным 48. После каждого хода первого игрока количество кусочков становится чётным, а после хода второго — нечётным. Значит, последний ход сделает первый игрок.

496. В один ряд расположены 1000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке?

Ответ: Нельзя. Такие перестановки не изменяют чётность номера фишки. Значит, например, фишка с номером 1 никогда не станет тысячной.

539. После того как кусок мыла, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, использовали для стирки семь раз, его длина, ширина и высота уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска мыла?

О твет: На одну стирку. За 7 стирок использовали куска, а значит, за одну стирку используют такого куска.

549. Каждая грань куба окрашена в белый или чёрный цвет. Докажите, что найдутся две грани с общим ребром, окрашенные в один цвет.

Ответ: Рассмотрим какие-либо три грани, имеющие общую вершину, например вершину D (рис. 14). Каждые две из выбранных граней имеют общее ребро. Кроме того, из трёх граней найдутся по крайней мере две одинаково окрашенные.

560. На доске написаны числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, достичь того, чтобы все записанные числа оказались равными?

Ответ: Нельзя. После каждого хода сумма всех записанных чисел — число нечётное. Если же предположить, что все 8 чисел равны a, то их сумма будет равной 8a.

575. Из натурального числа, которое не больше 100, вычли сумму его цифр. Из полученного числа снова вычли сумму его цифр, и так делали несколько раз. После 11 таких вычитаний впервые получили 0. Найдите исходное число.

Ответ: 99. Эту задачу удобно решать «с конца». Так как разность любого натурального числа и суммы его цифр кратна 9, то все полученные числа (кроме, возможно, начального) кратны 9. Значит, перед 11-м ходом было записано число 9, перед 10-м — 18 и т. д.

601. Витя купил тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все страницы по порядку от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 35 листов и сложил все 70 чисел, которые на них были написаны. Могла ли полученная сумма быть равной 3500?

Ответ: Не могла. Два последовательных натуральных числа, записанных на сторонах одной страницы, имеют разную чётность, а значит, их сумма — число нечётное. Тогда понятно, что сумма 35 нечётных чисел не может быть равной числу 3 500.

6 32. На столе лежат четыре чёрные палочки разной длины, причём сумма их длин равна 40 см, и пять белых палочек, сумма длин которых также равна 40 см. можно ли разрезать те и другие палочки так, чтобы потом расположить их парами, в каждой из которых длины палочек будут одинаковыми, а цвета разными?

Ответ: Можно. Надо расположить ряды белых и чёрных палочек друг под другом (рис. 15) и распиливать «чёрный» ряд напротив стыков белых палочек и наоборот.

660. Из пункта А в 6 ч утра вышел турист. Вечером он дошёл до пункта В и, переночевав, снова в 6 утра отправился в пункт А. докажите, что на маршруте есть такой пункт С, в котором турист оказался в одно и то же время как в первый, так и во второй день (скорость туриста на маршруте могла меняться).

Ответ: Утверждение станет очевидным, если представить себе, что движение происходит не в разные дни, а «раздвоившийся» турист в один и тот же день шёл навстречу «сам себе».

679. Андрей задумал натуральное число и умножил его на 19. Серёжа зачеркнул последнюю цифру числа, полученного Андреем, и в результате получил 32. Какое число задумал Андрей?

Ответ: 17. Серёжа зачёркивал последнюю цифру в числе вида . Так как это число должно быть кратным 19, то b = 3. Тогда Андрей задумал число 17 = 323 : 19.

698. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают и записывают на этом месте новое число, равное произведению цифр старого числа, увеличенному на 12. Какое число будет написано на доске через час?

Ответ: 16. В первые шесть минут будут записаны соответственно числа , 20, 12, 14, 16, . Теперь понятно, что полученная последовательность является периодической с периодом, равным 5, и её шестидесятый член равен пятому.

730. Дети собирали в лесу грибы. Выйдя из леса, они построились парами – мальчик с девочкой, причём у мальчика грибов или вдвое больше, или вдвое меньше, чем у девочки. Возможно ли, что все дети вместе собрали 500 грибов?

Ответ: Не могло. Из условия следует, что количество грибов, собранных каждой парой, кратно 3. Значит, числу 3 кратно и общее количество всех собранных детьми грибов.

7 66. В каждую клетку таблицы размером 3 х 3 клетки записывают некоторое число. Таблицу, в которой все записанные числа различны, а суммы чисел во всех строках, столбцах и по диагоналям одинаковые, называют магическим квадратом. Например, таблица, изображенная на рисунке 53, является магическим квадратом. Существует ли магический квадрат, заполненный числами, обратными натуральным?

Ответ: Существует. Такой магический квадрат можно получить, поделив все числа данного магического квадрата на их наименьшее общее кратное.

783. Используя только цифры 1, 2, 3, 4, записали два неравных четырёхзначных числа, у каждого из которых все цифры различны. Может ли одно из этих чисел делиться нацело на другое?

Ответ: Не может. Предположим, что такие числа существуют. Обозначим их a и b, где
a b. Тогда существует натуральное число n 1 такое, что b = na. Заметим, что при n 3 имеем na ≥ 4 ⋅ 1 234, которое больше b. Если n = 3, то получаем, что число b кратно 3, а это не так. Остаётся заметить, что при n = 2 запись числа 2а содержит цифры 6 и 8.

801. В США дату обычно записывают так: месяц, число и год. Например, дату рождения А.С. Пушкина американец записал бы так: 5.26.1799. В Европе же сначала записывают число, потом месяц и год. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она записана?

Ответ: 132 дня. Для того чтобы любое из пары данных чисел могло означать как номер месяца, так и номер дня, каждое из них должно быть натуральным и не превышать 12. Таких пар 144. Кроме того, если пара состоит из равных чисел, то записанная дата определяется однозначно. Пар с равными компонентами — 12. Таким образом, определить дату невозможно только в 144 − 12 = 132 случаях.

829. Футбольный мяч плотно обтянут сеткой. Из каждого узла сетки выходит три верёвки. Может ли в этой сетке быть 999 узлов?

Ответ: Не может. Если предположить, что в сетке 999 узлов, то количество отрезков верёвки, соединяющих соседние узлы, должно быть равным ⋅ .

845. Двое мальчиков находились в лодке у берега реки. К ним обратилась группа туристов с просьбой помочь переправиться на противоположный берег. В лодке помещаются или два мальчика, или один турист. Смогут ли мальчики помочь туристам?

Ответ: Могут. Мальчики должны поплыть на другой берег. Один из них остаётся там, а второй возвращается. Один турист переправляется, а мальчик, остававшийся на другом берегу, возвращает лодку, и все повторяется.

870. На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход разрешается перевернуть любые четыре стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Ответ: Нельзя. Следует заметить, что количество стаканов, стоящих вверх дном, изменяется на чётное число (на 2, 4 или 0), а поскольку первоначальное количество таких стаканов 7, то их количество будет оставаться нечётным числом.

893. Для заболевшего Димы врач оставил шесть внешне одинаковых таблеток – по две каждого из трёх видов лекарств. Диме нужно принять три таблетки утром (по одной каждого вида) и три вечером. Однако Дима перепутал все таблетки. Сможет ли он выполнить назначение врача?

Ответ: Сможет. Одну дозу нужных лекарств можно получить, если взять по одной половинке каждой из шести имеющихся таблеток.

918. В некотором весеннем месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был 7-го числа этого месяца? Какой это месяц?

Ответ: Суббота. Апрель. Из условия следует, что в этом месяце 30 дней, а воскресенье и понедельник — два последних дня этого месяца.

951. У нескольких брёвен длиной 4 м и 5 м общая длина равна 45 м. Какое наибольшее количество распилов необходимо сделать, чтобы распилить все брёвна на чурбаки длиной 1 м? (Каждым распилом разрезают только одно бревно.)

Ответ: 35 распилов. Заметим, что количество четырёхметровых брёвен кратно 5. Тогда возможны два случая: 1) количество четырёхметровых брёвен равно 10, а пятиметровых — 1; 2) количество тех и других брёвен равно 5. Теперь можно подсчитать, что в первом случае понадобится 34 распила, а во втором — 35.

975. Каждый участник шахматного турнира, играя белыми фигурами, выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя чёрными. Докажите, что все участники одержали одинаковое количество побед.

Ответ: Пусть Б_i и Ч_i — количество партий, которые выиграл i-й участник, играя белыми и чёрными фигурами соответственно, S_ч — количество партий турнира, в которых победу одержали чёрные фигуры. Тогда из условия следует, что Б_i = S_ч – Ч_i или Б_i + Ч_i = S_ч. Теперь видим, что в левой части полученного равенства записано общее количество побед, завоёванных i-м участником, а справа — константа для этого турнира.

992. У электромонтёра есть два куска провода, общая длина которых 25 м. От них он планирует отрезать необходимые для работы куски в 1 м, 2 м, 3 м, 6 м, 12 м. Сможет ли электромонтёр отрезать необходимые для работы куски провода?

Ответ: Сможет. Длина по крайней мере одного из двух получившихся кусков больше 12 м. От этого куска можно отрезать нужный кусок длиной в 12 м. После этого останутся два куска, суммарная длина которых равна 13 м. Следовательно, длина по крайней мере одного из них больше 6 м. Отрезав нужный кусок длиной 6 м, вновь получим два куска. Далее, рассуждая аналогично, приходим к выводу, что можно последовательно получить куски, длины которых соответственно равны 3 м, 2 м, 1 м.

1 023. Докажите, что в любой компании из шести человек найдётся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых.

Ответ: Пусть A — один из шести человек. Тогда среди остальных пяти найдутся по крайней мере либо трое с ним знакомых, либо трое с ним незнакомых. Пусть B, C, D знакомы с A (рис. 16). Если среди них найдутся знакомые друг с другом (например, B и C), то вместе с A они образуют тройку попарно знакомых. Если же B, C и D между собой незнакомы, то они сами образуют нужную тройку. Аналогично можно рассмотреть случай, когда B, C и D незнакомы с A.

1054. В Российской футбольной премьер-лиге принимают участие 16 команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. (Команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей.)

Ответ: Сначала рассмотрим случай, когда каждая из команд сыграла хотя бы один матч. Тогда количество матчей, сыгранных любой из команд, принадлежит множеству {1, 2, ..., 15}. Так как команд 16, то по принципу Дирихле найдутся две команды, сыгравшие поровну матчей. Если среди участников есть команда, не сыгравшая ни одного матча, то нет команды, которая сыграла бы все 15 матчей. В этом случае количество матчей, сыгранных любой командой, — элемент множества {0, 1, 2, ..., 14}. Теперь снова можно использовать принцип Дирихле.

1074. Четыре мальчика соревновались в нескольких (более одного) видах спорта. В каждом из видов спорта за одно и то же место начислялось одинаковое количество баллов (выраженных натуральным числом), причём каждое из мест (1-е, 2-е, 3-е, 4-е) мог занять только один из участников. В конце этих соревнований выяснилось, что мальчики получили 16, 14, 13 и 12 баллов соответственно. Выясните, в скольких видах спорта они соревновались.

Ответ: В пяти видах. Пусть n — количество видов спорта, а m — общее количество баллов, которые присуждаются в розыгрыше одного вида (m ≥ 1 + 2 + 3 + 4 = 10). Тогда
m ⋅ n = 16 + 14 + 13 + 12 = 55 = 11 ⋅ 5.

1114. В вершинах куба записаны восемь различных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).

Ответ: Таким свойством обладает наименьшее из данных восьми чисел.

1142. В стране Севентаун сеть городов, каждый из которых соединён дорогами более чем с двумя городами. Докажите, что из любого города можно доехать до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

Ответ: Предположим, что из A нельзя проехать в B. Пусть A₁, A₂, A₃ — города, соединённые дорогой с A, а B₁, B₂, B₃ — города, соединённые дорогой с B, причём все указанные города разные. Но тогда в стране не менее 8 городов.

1172. В шахматной доске размером 8 х 8 клеток вырезали крайнюю левую верхнюю и крайнюю правую нижнюю клетки. Можно ли оставшуюся часть доски замостить косточками домино, покрывая одной косточкой ровно две клетки доски?

Ответ: Нельзя. Каждая косточка домино покрывает одну белую и одну чёрную клеточку. Значит, фигура, которую можно покрыть косточками, должна содержать равное количество чёрных и белых клеточек.

1218. Существуют ли 1005 натуральных чисел (не обязательно разных), сумма которых равно их произведению?

Ответ: Существуют. Например, a₁ = a₂ = … = a₁₀₀₃ = 1, a₁₀₀₄ = 2, a₁₀₀₅ = 1005.

1243. На шахматную доску пролили краску. Может ли количество залитых краской клеток быть на 17 меньше количества клеток, оставшихся чистыми?

Ответ: Не может. Общее число чистых и запачканных клеток — число чётное. Следовательно, и разность этих чисел должна быть чётным числом.

1279. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так поступили несколько раз. Докажите, что после каждой операции общее количество точек на прямой будет нечётным.

Ответ: Если в некоторый момент отмечено n точек, то после очередного выполнения описанной операции будет отмечено 2n − 1 точка.

1295. Все жители города А всегда говорят правду, а все жители города В всегда лгут. Известно, что жители города А бывают в городе В и наоборот. Путешественник попал в один из этих городов, но не знает, в какой. Какой один вопрос он должен задать первому встречному, чтобы выяснить, в каком городе он находится?

Ответ: Достаточно задать такой вопрос: «Вы житель этого города?». Тогда отрицательный ответ будет означать, что путешественник находится в городе лжецов, утвердительный — что он в городе правдивых людей.

1334. В одной кучке лежит 171 камешек, а в другой – 172 камешка. Игроку за один ход разрешается взять любое количество камешков, но только из одной кучки. Проиграет тот, кому будет нечего брать. Кто из двух игроков выиграет при правильной стратегии – тот, кто начинает, или второй игрок?

Ответ: Выиграет первый игрок. Для этого ему достаточно первым своим ходом «выровнять» кучки, взяв из большей один камешек, а потом придерживаться симметричной стратегии, то есть если второй игрок возьмёт некоторое количество камешков из одной кучки, то первому следует взять такое же количество из другой.

1346. В каждую клетку квадрата размером 6 х 6 клеток вписали одно из чисел −1, 0, 1. Могут ли суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными?

Ответ: Не могут. Каждая из указанных сумм может принимать одно из 13 значений: −6, −5, −4, ..., 5, 6. Всего же сумм есть 14. Тогда по принципу Дирихле найдутся две равные суммы.