Решение неравенств вида f1(x)f2(x)…fn(x)((

Решение неравенств вида f₁(x)f₂(x)…f_n(x) 0 и неравенств вида (f₁(x)…f_n(x))/(g₁(x)…g_k(x)) 0

можно решать разными способами. На примере решения простого неравенства ( x – 3)( x + 5) 0 напомню некоторые из них.

I способ. ( x – 3)( x + 5) 0. Решим неравенство методом интервалов; f(x) = ( x – 3)( x + 5); D(f) = R; f(x) = 0, x₁ = - 5, x₂ = 3;

+ - +

- 5 3 x

f(x) 0 („+“) при x Є (- ∞; -5)U( 3; + ∞). Ответ:(-∞; -5) U ( 3; ∞).

II способ. ( x – 3)( x + 5) 0. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

x – 3 0, x 3,

x + 5 0; x - 5; x 3;

x – 3 x x - 5. Ответ:(-∞; -5) U ( 3; ∞).

x + 5 x - 5;

III способ. ( x – 3)( x + 5) 0. Раскроем скобки: x² + 2x – 15 0. Решаем квадратное неравенство; y = x² + 2x – 15 – парабола, ветви – вверх;

y = 0, x² + 2x – 15 = 0, x₁ = - 5, x₂ = 3;

+ +

- 5 ^- 3 x y 0 при x Є (- ∞; -5)U( 3; + ∞). Ответ:(-∞; -5) U ( 3; ∞).

IV способ. ( x – 3)( x + 5) 0. Введём функции: f₁(x) = x – 3, график – прямая, f₂(x) = x + 5, график – прямая. Найдём нули функций:

f₁(x) = 0, x = 3; f₂(x) = 0, x = - 5.

f₁(x) - - +

-5 3 x

f₂(x) - + +

-5 3 x

f₁(x)f₂(x) + - +

-5 3 x

С помощью графиков определяем знаки функций (множителей) на промежутках ( -∞; -5), ( -5; 3) и ( 3; +∞), а в результате – знаки произведения f₁(x) f₂(x) на данных промежутках. Согласно условию (f₁(x) f₂(x) 0) решением неравенства являются промежутки со знаком „ + “. Ответ: (-∞; -5) U ( 3; ∞).

Далее более подробно остановлюсь на IV способе решения неравенств указанного вида. Из опыта работы я сделала вывод, что он доступен и понятен учащимся с разными способностями, большинство учеников отдаёт предпочтение данному способу,

который, в свою очередь, требует знаний по теме «Функции и их графики».

Приведу (примерный) алгоритм решения неравенств вида

f₁(x)f₂(x)…f_n(x) 0,(f₁(x)…f_n(x))/(g₁(x)…g_k(x)) 0. ( IV способ)

1. Найти область определения выражения левой части.

2. Ввести функции ( графики ), найти их нули.

3. Сделать рисунок ( графики изобразить схематично ).

4. Не забыть: выколоть нули функций знаменателя дроби; закрасить нули функций, обращающие выражение левой части в нуль, если решаем нестрогое неравенство; с помощью графиков определить знаки выражения на его области определения.

5. Записать ответ.

Примеры. Решим неравенство 1) ^{(4 – x)(2x + 5)}/ _{x² - 1} ≤ 0; x ≠ ±1;

f₁(x) = - x + 4 – прямая ( k = - 1, k ₁(x) = 0, х = 4; f₂(x) = 2x + 5 – прямая ( k = 2, k 0, угол наклона с осью х – острый); f₂(x) = 0, x = - 2,5;

g(x) = x² - 1 – парабола; ветви – вверх; g(x) = 0, x = ±1;

- + - + -

-2,5 - 1 1 4 x

„ - знак „-“. Ответ: (-∞; -2,5] U (-1; 1) U [4; +∞).

2) ( x + 2)³( x – 3)²( x + 6) 0;

f₁(x) = ( x + 2)³ – кубическая парабола; f₁(x) = 0, x = - 2; f₂(x) = ( x – 3)² - парабола; f₂(x) = 0, x = 3;

f₃(x) = x + 6 – прямая ( k 0); f₃(x) = 0, x = - 6;

+ - + +

- 6 - 2 3 x

„ 0 “- знак „+“. Ответ: ( -∞; -6) U ( -2; 3) U ( 3; +∞).

3) ^{16 - x²} / _{| x |} ≥ 0; x ≠ 0;

f(x) = 16 - x² - парабола, ветви – вниз; f(x) = 0, x = ± 4;

g(x) = | x | ;

- + + -

-4 0 4 x

„ 0 “- знак „+“. Ответ: [-4; 0) U ( 0; 4].

4) ( x + 8)√ x² - 9 ≤ 0; D: x² - 9 ≥ 0;

f₁(x) = x + 8 - прямая ( k 0); f(x) = 0, x = -8;

f₂(x) = √ x² - 9, f₂(x) = 0, x = ± 3;

- + +

-8 -3 3 x

„ - знак „-“, f₁(x) f₂(x) = 0, x = -8; -3; 3.

Ответ: ( - ∞; -8] U -3; 3 .

5) ^{x² + 5x – 14}/ _{- x² + x + 12}

f(x) = x² + 5x – 14 – парабола, ветви – вверх; f(x) = 0, x₁ = -7, x₂ = 2;

g(x) = - x² + x + 12 – парабола, ветви – вниз; g(x) = 0, x₁ = -3, x₂ = 4;

- + - + -

-7 -3 2 4 x

„ - знак „-“. Ответ: ( -∞; -7) U (-3; 2) U ( 4; + ∞).

6)( 5 – x )( 8 ^{x – 5} – 64) 0; („ 0 “- знак „+“)

- + -

5 7 x

Ответ: ( 5; 7).

7) ( 2x – 3)²( x + 5) ≥ 8( 2x – 3)²;

приведём данное неравенство к виду f₁(x) f₂(x) ≥ 0;

( 2x – 3)²( x – 3) ≥ 0;

- - +

1,5 3 x

Ответ: 1,5 U [3; + ∞).

8) | 4x – 8 | ( 5x + 7) ≤ 0; („-“)

- + +

-1,4 2 x

Ответ: ( -∞; -1,4] U 2 .

9) | 2x – 1| ( 2x – 1)²;

| 2x – 1|(| 2x – 1| - 1)

f₁(x) = | 2x – 1|, f₁(x) = 0, x = ½ ;

f₂(x) = 1- | 2x – 1|, f₂(x) = 0, | 2x – 1| = 1, x₁ = 0, x₂ = 1;

+ - - +

0 ½ 1 x

Ответ: ( 0; ½ ) U ( ½ ; 1).

1. ( 5x + 1)( 4 – x )( 1 – 2x ) 0; 10) ^{√ x² - 1} / _x ≤ 0;

2. ^{3x – 9} / _{x + 5} ≤ 0; 11) ^{x² ( x – 6)} / _{√ x + 5} ≥ 0;

3. ( x + 11)( x – 7)²( x – 3) ³ 0; 12) ^{(x – 1)( 3 – x)²}/_{(x + 4)} ≤ 0;

4. ^{x² - 36} / _{x + 9} ≥ 0; 13) ( x – 7)⁴ (x + 8)⁵ / _{3x – 1} ≤ 0;

5. -x³ + 10x² – 21x x )| x + 2 | 0;

6. ^{x² + 15x + 56} / _{x² - 12x + 20} ≥ 0; 15) ^{| 5 + x |} / _{3x - x²} ≥ 0;

7. x³ ( 25 - x²)( 9x² - 4) ≤ 0; 16) ( 3^x – 27)( 5^x – 25)

8. ( x + 3) √ x² - 4 0; 17) ( 5x – 2)( 5^{x + 4}-125) 0;

9. x² ( 2 – x ) √ 9 - x² ≤ 0; 18) ( 3x – 4) ² ≤ | 3x – 4|.

Ответы: 1) (-0,2; 0,5) U ( 4; ∞), 2) (-5; 3], 3) (-∞; -11) U ( 3; 7) U ( 7; ∞), 4) ( -9; -6] U [ 6; ∞), 5) ( 0; 3) U ( 7; ∞), 6) (-∞; -8] U [-7; 2)

U ( 10; ∞), 7) [-5; -²/₃] U [ 0; ²/₃] U [5; ∞), 8) (-3; -2) U ( 2; ∞),

9) -3; 0 U [2; 3], 10) (-∞; -1] U 1 , 11) 0 U [ 6; ∞),

12) (-4; 1] U 3 , 13) [-8; 1/3) U 7 , 14) (-∞; -2) U (-2; ¼ ),

15) -5 U ( 0; 3), 16) ( 2; 3), 17) (-∞; -1) U ( 0,4; ∞), 18) [1; 1²/₃].