Решение "Старинных задач по математике"

Старинные задачи по математике

Выполнила

Учитель математики

Кронштатова Ирина Юрьевна

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

Гипотеза

старинные

задачи нельзя решать современными методами

Цель работы

• Изучить различные виды старинных задач
• сравнить методы решения задач из первых учебников математики с современными

методами

• Сделать выводы

Задачи

• познакомиться со способами решения старинных задач авторов первых учебников математики;
• решить старинные задачи более привычным для нас способом - путем составления и решения уравнений;
• развивать логическое мышление, умение анализировать, сопоставлять факты, отстаивать свою точку зрения, делать выводы

Актуальность

На сегодняшний день старинные задачи необычны для современного ученика и поэтому позволяют проверить сообразительность и умение решать неординарные задания, мотивируют учащегося на изучение математики

из истории

Еще в древние века математика занимала основное место в умах ученых и благодаря сохранившимся рукописям у нас есть возможность проследить за развитием математической мысли

и возможность порешать

старинные задачи и

сравнить их решение с

современным решением

из истории

Наиболее древние письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н. э.

Математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии

Первый печатный учебник математики на русском языке появился в 1703 году. Это была «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого. 50 лет это был единственный русский учебник математики. М.В.Ломоносов назвал его «вратами всей учености».

Задача из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 г. до н. э.).

"Количество и его четвертая часть дают вместе 15". Найди количество.

В папирусе Ахмеса задача решается "методом ложного положения". Решение начинается так: "Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5". Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4. Так и получается неизвестное 12.

Решение с помощью уравнения

• Пусть х это само число
• Тогда его четвёртая часть это 1/4х или 0,25х
• Составляем уравнение

х +0,25х =15

1,25х = 15

х = 15 : 1,25

х = 12

Ответ: 12

Задача Пифагора (около 580-501 г. до н.э.)

"Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: "Половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого, есть три женщины". Сколько учеников посещало школу Пифагора?"

Решение пифагорейцев

1-1/2 -1/4 -1/7 =1-25/28 =3/28. Три женщины составляют 3/28 всех учеников школы, значит 3:3/28 =3х28/3 =28. Ответ: 28 учеников .

Решение с помощью уравнения

Обозначим количество всех учеников школы буквой у, тогда 1/2 у+1/4 у+1/7 у +3=у

25/28у +3=у

у-25/28 у=3

3/28 у=3

у=3:3/28

у=28

Ответ: в школе Пифагора 28 учеников.

Как разделить орехи? Из книги Магницкого Л. Ф. 1703 год

  Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?

Решение из книги

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях. Значит, большая часть должна содержать в 3 x 4 = 12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей части. Поэтому меньшая часть должна содержать 130 : 13 = 10 орехов, а большая 130 — 10 = 120 орехов.

Решение с помощью уравнения

• Пусть меньшая часть это х
• Тогда большая часть это 130 – х
• Составим уравнение

(130 – х): 3 = 4х

130 – х = 4х *3

130 –х = 12х

13х =130

Х= 10, 10 орехов меньшая часть, тогда 130-10 = 120 орехов большая часть

Старинная китайская задача

В клетке находится неизвестное

число фазанов и кроликов. Известно,

вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги

Узнать число фазанов

и число

кроликов .

Логическое китайское решение

Представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? — 70 (35·2 = 70). — Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? — Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов. — Сколько их? — 24 (94 – 70 = 24). — Сколько же кроликов? — 12 (24:2 = 12). — А фазанов? — 23 (35 – 12 = 23).

Решение с помощью уравнения

• Пусть х – это кролики, тогда

(35-х) – это фазаны.

• Посчитаем ноги: 4х +2(35 – х) =94

4х +70 – 2х = 94

2х + 70 = 94

2х = 94 – 70

2х =24

Х = 12 т. е. кроликов 12,

а фазанов 35 – 12 = 23

Воз сена из книги Магницкого Л. Ф.

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца за три месяца.

За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена.

Решение из книги

Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съедает 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съедает 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съедает 4 воза сена. Вместе же они за год съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22=6/11 (шесть одиннадцатых) месяца .

Решение с помощью уравнения

Пусть стог сена – это 1.

Тогда скорость, с которой лошадь поедает сено 1 стог в месяц

У козы скорость1 стог за 2 месяца, т. е. – 1/2

У овцы скорость 1 стог за 3 месяца, т. е. – 1/3

(1 +1/2 + 1/3) *T = 1

T =1 : (1 +1/2 + 1/3)

T =1 : 11/6

T =6/11 месяца

Ответ : 6/11 месяца

Занимательные задачи

• Задумайте число
• Прибавьте 2
• Результат умножьте на 3
• Вычтите 5
• Вычтите задуманное число
• Умножьте на 2
• Вычтите 1
• Назовите мне результат

« Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном

«Всеобщая арифметика»

Метод уравнения

Результаты

• Изучили историю возникновения старинных задач;
• Изучили различные виды старинных задач;
• Сравнили решение старинных задач с современными методами;
• Ознакомились с нетрадиционными методами решения задач.

Вывод

Гипотеза о том, что старинные задачи нельзя решать современными методами не подтвердилась .

Да, надо математику любить

И не считать ученье за мучение!

Всё в жизни пригодится, ты учись,

Учись и не жалей на то мгновения!

Источники информации

• Олехник С.Н. Старинные занимательные задачи. Москва. 1988г.
• Петраков И.С. Математика для любознательных. Москва. 1990г.
• Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение, 1989.
• Нагибин Ф.Ф., Капин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся 4-8 кл. сред шк. – М.: Просвещение, 1988.
• Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М. 1980.
• http://matematika.gym075.edusite.ru/zadachki/denegnir-racheti-1.html
• http://www.pavelbers.com/Arifmetika%20Magnizkogo.htm
• http ://kopilkaurokov.ru /
• http:// igraemsdetmy.ru
• http://uslide.ru /

Благодарю за

внимание