Решение задания 19 по математике

ЕГЭ

Базовый уровень

Задание 19:

Числа и их свойства. 

• Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9.

1) 20 = 9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3.

При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9.

Разложение способом (6) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

№ 2.  Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

600 делится на 3, 4 и 5.

Число 601 дает в остатке 1 при делении на эти числа, но цифры в 601 не убывают.

НОК=3*4*5=60 - делится на 3, 4 и 5.

Проверяем число 600+60 =660.

Оно делится на 3, 4 и 5, число с остатком 1 это 661, но цифры не убывают.

Проверяем следующее 660+60= 720, оно делится на 3, 4 и 5. Число 721 дает в остатке 1 и цифры убывают.

Ответ: 721.

№ 3. Приведите пример пятизначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число. 

Разложим 40 на 5 множителей: 40=5*2*2*2*1.

Например, 51222.  

Т.к. число должно быть кратно 12, то оно должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр равна 12, значит, оно делится на 3.

Чтобы число делилось на 4, надо чтобы две последние цифры составили число, которое делится на 4.

22 не делится на 4, а 12 делится. Значит, в конце стоят цифры 1, 2.

Варианты ответа:  52212,  25212,  22512.

№ 4.  Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число

5 3 1 6 4 0 1 8 - цифры числа.

Чтобы число делилось на 15, надо, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Чтобы число делилось на 5, надо, чтобы оно  оканчивалось на 0 или на 5. Вычеркнем 2 последние цифры.

5+3+1+6+4+0 = 19,

значит надо вычеркнуть цифру 1 (сумма цифр будет 18), или 4 (сумма цифр будет 15).

Варианты ответа: 53640  или 53160.

№ 5. Найдите трехзначное число большее 500 которое при делении на 4 на 5 и на 6 дает в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число которое делится на 4, 5 и 6  равно 60.

Число больше 500 и кратное 60 это 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960.

Чтобы при делении на 60  в  остатке получить 2, надо к любому из этих чисел прибавить 2.

Это может быть  662 или 722.

№ 6. Цифры четырехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458.

В ответе укажите исходное одно число.

Так как разность этих чисел - число положительное, то первое число больше второго.

Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

На 0 не может, так как второе число не может начинаться с этой цифры, значит число оканчивается на 5.

Начинаться число должно с цифры 7, так как 15-7 =8

Например: 7395, так как

7395 – 5937 = 1458

№ 7. Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число начинается с цифры 4 (больше 400), значит оно должно делиться на 4.

Число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. 

Первое число - 412. Оно делится и на 4 и на 2 (четное число)

Второе число - 416. Оно делится и на 4. но не делиться на 6.

Еще число - 432. Оно делится и на 4, и на 3, и на 2.

Варианты ответа: 412  или 432.