Самостоятельные работы по алгебре и геометрии

ВАРИАНТ № 1

1) Вычислить;

13π

6

a) sin (– 495⁰) б) ctg

в) tg 150⁰ – cos 780⁰ + sin 330⁰

5

13

г) Если cos α = , α  IV чет.

Найти: sin ( 3π + α )

2) Упростить выражения:

3π

2

π

2

а) sin ( – β) ctg( π – β) sin ( – β )

+

cos (π – β ) sin ( π + β )

б) 1 + 2 cos(– х ) sin ( 5π – х )

7π

2

sin ( + х ) – sin ( 8π + х )

3) Найти значение выражения

3π

2

9π

2

sin ( + у ) – cos ( – у )

cos( 6π – у ) + sin( 9π + у ) , если ctg у = – 4.

ВАРИАНТ № 2

1) Вычислить:

25π

4

а) cos (– ) б) tg 840⁰

в) ctg 210⁰ – sin 120⁰ – cos 240⁰

8

17

г) Если sin х = – , х  III чет.

3π

2

Найти: sin ( + х )

2) Упростить выражения:

π

2

3π

2

а) tg(π + α ) sin( – α ) _ cos( – α )

π

2

cos( π – α ) sin( + α )

11π

2

б) 1 + cos(– у) sin( + у )

7π

2

cos( + у ) – sin( 9π + у)

3) Найти значение выражения

7π

2

cos( – β ) + cos( 6π + β )

5π

2

sin( – β ) – sin( 11π + β ) , если tg β = 3.

ВАРИАНТ № 3

1) Вычислить:

31π

3

а) sin 510⁰ б) ctg(– )

в) cos 150⁰ – sin 300⁰ + tg 240⁰

24

25

г) Если cos β = – , β  II чет.

π

2

Найти: cos( – β )

2) Упростить выражения:

3π

2

π

2

а) sin( – у ) ctg(π – у ) cos( – у )

+

cos( + у) sin(π – у )

9π

2

π

2

б) cos(– α) – cos( + α )

7π

2

1 + 2 sin( – α ) sin(– α)

3) Найти значение выражения

cos(7π + х ) + sin( 8π – х )

sin( + х ) – cos( – х ) , если ctg х = 5 .

7π

2

13π

2

ВАРИАНТ № 4

1) Вычислить:

31π

6

а) cos 960⁰ б) tg (– )

в) sin 210⁰ – cos 120⁰ + ctg 225⁰

г) Если sin у = 0,8 , у  I чет.

Найти: cos(π + у )

2) упростить выражения:

π

2

π

2

а) sin( + α ) tg(π + α ) _ cos( + α )

cos(π + α ) cos(π – α )

б) 1 .

– tg² ( 9π + β )

11π

2

sin² ( – β )

3) Найти значение выражения

sin( 7,5π – х ) – sin( 8π + х )

cos( + х ) + cos( 7π – х ) , если tg х = – 6.

9π

2

1) Упростить выражения:

а) 1 + cos6х ( sin2х sin4х – cos2х cos4х )

б) 1 .

– ctg ² х

( sin5х cos4х – cos5х sin4х ) sinх

в) tg7х tg5х – 1 1 .

·ctg12х +

tg7х + tg5х sin3х cos9х+sin9х cos3х

1

6

7

24

2) Дано: tg у = , ctg х = – 1

Найти: ctg (х – у)

3π

2

15

17

5

13

3) Дано: sin х = – , cos у = , π ,

3π

2

π x cos (х – у)

1

3

4) Дано tg х = 0,5 tg у = , х  I чет., у  I чет.

Найдите: х + у

3 .

√11

1 .

3√11

1

3

5) Дано : sin α = , sin β = , sin γ =

α, β, γ  I чет. Найдите α + β + γ .

1) Упростить выражения:

а) 1 + cos6х ( sin2х sin4х – cos2х cos4х )

б) 1 .

– ctg ² х

( sin5х cos4х – cos5х sin4х ) sinх

в) tg7х tg5х – 1 1 .

·ctg12х +

tg7х + tg5х sin3х cos9х+sin9х cos3х

1

6

7

24

2) Дано: tg у = , ctg х = – 1

Найти: ctg (х – у)

3π

2

15

17

5

13

3) Дано: sin х = – , cos у = , π ,

3π

2

π x cos (х – у)

1

3

4) Дано tg х = 0,5 tg у = , х  I чет., у  I чет.

Найдите: х + у

3 .

√11

1 .

3√11

1

3

5) Дано : sin α = , sin β = , sin γ =

α, β, γ  I чет. Найдите α + β + γ .

1) Упростить выражения:

а) 1 + cos6х ( sin2х sin4х – cos2х cos4х )

б) 1 .

– ctg ² х

( sin5х cos4х – cos5х sin4х ) sinх

в) tg7х tg5х – 1 1 .

·ctg12х +

tg7х + tg5х sin3х cos9х+sin9х cos3х

1

6

7

24

2) Дано: tg у = , ctg х = – 1

Найти: ctg (х – у)

3π

2

15

17

5

13

3) Дано: sin х = – , cos у = , π ,

3π

2

π x cos (х – у)

1

3

4) Дано tg х = 0,5 tg у = , х  I чет., у  I чет.

Найдите: х + у

3 .

√11

1 .

3√11

1

3

5) Дано : sin α = , sin β = , sin γ =

α, β, γ  I чет. Найдите α + β + γ .

1) Упростить выражения:

а) 1 + cos6х ( sin2х sin4х – cos2х cos4х )

б) 1 .

– ctg ² х

( sin5х cos4х – cos5х sin4х ) sinх

в) tg7х tg5х – 1 1 .

·ctg12х +

tg7х + tg5х sin3х cos9х+sin9х cos3х

1

6

7

24

2) Дано: tg у = , ctg х = – 1

Найти: ctg (х – у)

3π

2

15

17

5

13

3) Дано: sin х = – , cos у = , π ,

3π

2

π x cos (х – у)

1

3

4) Дано tg х = 0,5 tg у = , х  I чет., у  I чет.

Найдите: х + у

3 .

√11

1 .

3√11

1

3

5) Дано : sin α = , sin β = , sin γ =

α, β, γ  I чет. Найдите α + β + γ .

1) Упростить выражения:

а) 1 + cos6х ( sin2х sin4х – cos2х cos4х )

б) 1 .

– ctg ² х

( sin5х cos4х – cos5х sin4х ) sinх

в) tg7х tg5х – 1 1 .

·ctg12х +

tg7х + tg5х sin3х cos9х+sin9х cos3х

1

6

7

24

2) Дано: tg у = , ctg х = – 1

Найти: ctg (х – у)

3π

2

15

17

5

13

3) Дано: sin х = – , cos у = , π ,

3π

2

π x cos (х – у)

1

3

4) Дано tg х = 0,5 tg у = , х  I чет., у  I чет.

Найдите: х + у

3 .

√11

1 .

3√11

1

3

5) Дано : sin α = , sin β = , sin γ =

α, β, γ  I чет. Найдите α + β + γ .

1) Упростить выражения:

а) 1 + cos6х ( sin2х sin4х – cos2х cos4х )

б) 1 .

– ctg ² х

( sin5х cos4х – cos5х sin4х ) sinх

в) tg7х tg5х – 1 1 .

·ctg12х +

tg7х + tg5х sin3х cos9х+sin9х cos3х

1

6

7

24

2) Дано: tg у = , ctg х = – 1

Найти: ctg (х – у)

3π

2

15

17

5

13

3) Дано: sin х = – , cos у = , π ,

3π

2

π x cos (х – у)

1

3

4) Дано tg х = 0,5 tg у = , х  I чет., у  I чет.

Найдите: х + у

3 .

√11

1 .

3√11

1

3

5) Дано : sin α = , sin β = , sin γ =

α, β, γ  I чет. Найдите α + β + γ .

ВАРИАНТ № 1

Назовите все плоскости. Каким плоскостям принадлежат выделенные точки.

Т₁ С₁

•

•

E

М₁ О₁

Т С

•

V

М О

L

•

Назовите все плоскости. Каким плоскостям принадлежат выделенные точки.

•

P

А

N

Е

•

К

•

S

V

•

Н

ВАРИАНТ № 2

Назовите все плоскости. Каким плоскостям принадлежат выделенные точки.

R

•

A₁ N₁

Z

•

F₁ T K₁

A N

V

•

F K

P

•

W

Назовите все плоскости. Каким плоскостям принадлежат выделенные точки.

C

X

•

L

G F

B

•

•

M

O

•

R

ВАРИАНТ № 5

Назовите все плоскости. Каким плоскостям принадлежат выделенные точки.

E₁ S₁

•

B

G₁ О₁ H

E S

R

•

•

G О

•

M

ВАРИАНТ № 6

Назовите все плоскости. Каким плоскостям принадлежат выделенные точки.

•

C

T

•

Q

Y

К

•

E W

U

•

Н

ВАРИАНТ № 1

1) Вычислить значение выражения:

cos 153⁰ cos 87⁰ – sin 153⁰ sin 87⁰

2) Упростить выражение:

tg 3х + tg 5х 1 .

· tg 8х –

1 – tg 3х tg 5х cos² 8х

3

5

3) Найти sin (а + у) , если sin а = – , а  III чет,

3π

2

8

17

cos у = , y π .

4) Найти наименьшее значение выражения:

√3 cos х + sin х .

ВАРИАНТ № 2

1) Вычислить значение выражения:

sin 276⁰ cos 141⁰ – cos 276⁰ sin 141⁰

2) Упростить выражение:

(cos 7х cos 6х – sin 7х sin 6х) cos 13х – 1

12

13

3) Найти ctg ( a – b ) , cos а = – , а  II чет,

π

2

24

25

sin b = , 0 b

4) Найти наибольшее значение выражения:

√2 cos х – √2 sin х .

ВАРИАНТ № 3

1) Вычислить значение выражения:

1 – tg 182⁰ tg 148⁰

tg 182⁰ + tg 148⁰

2) Упростить выражение:

(sin 9х cos 6х – cos 9х sin 6х) tg 3х

4

5

3) Найти cos ( х + у ) , если sin х = , х  I чет,

3π

2

5

13

cos у = – , π y

4) Найти наименьшее значение выражения:

√3

4

1

4

sin х – cos х .

ВАРИАНТ № 4

1) Вычислить значение выражения:

cos 317⁰ cos 92⁰ + sin 317⁰ sin 92⁰

2) Упростить выражение:

1 + tg 11х tg 5х

· tg 6х

1 +

tg 11х – tg 5х

20

29

3) Найти sin ( n + m ), если cos n = – , n Î II ч,

15

17

3π

2

sin m = – , m π .

4) Найти наибольшее значение выражения:

√3

3

1

3

sin х + cos х

ВАРИАНТ № 5

1) Вычислить значение выражения:

sin 169⁰ cos 131⁰ + cos 169⁰ sin 131⁰

2) Упростить выражение:

2

cos 9х cos 2х + sin 9х sin 2х

+ 1

sin 3х cos 4х + cos 3х sin 4х

3) Найти tg ( х + у ), если sin х = – 0,6 х Î IV ч,

π

2

7

25

cos у = , 0 y

4) Найти наименьшее значение выражения:

3 cos х + 3 sin х .

ВАРИАНТ № 6

1) Вычислить значение выражения:

tg 283⁰ – tg 133⁰

1 + tg 283⁰ tg 133⁰

2) Упростить выражение:

sin² 9х + (cos2х cos 7х – sin 2х sin 7х) cos 9х

12

13

3) Найти cos ( a – b ), если cos а = – , а Î II ч,

3π

2

15

17

sin b = – , π b

4) Найти наибольшее значение выражения:

4√3 sin х – 4 cos х .

Вычислить:

2sin75⁰cos75⁰ ; 2cos²15⁰ – 1

1 – 2sin²165⁰ ; 2sin135⁰cos135⁰

3π

8

π

12

2cos² – 1 ; 2sin cos

3π

8

5π

12

2π

3

1 – 2sin² ; 2tg .

5π

12

1 – tg²

Дано: sinβ = – ³/₅, ^3π/₂

Найти: sin2β

Дано: cos α = – ⁶/₇ Найти: cos2α

Дано: sin λ = ⁴/₉ . Найти: cos2α

Дано: cos5x = ⁸/₁₇ . Найти: sin10x

Дано: sin7y = – ⁷/₂₅ . Найти: cos14y

Дано:cos15β = ²¹⁹/₁₆₉ . Найти: cos^{15 β}/₂

π ^{15 β}/₂ ^3π/₂

Дано: cos 7x = – ¹⁶¹/₂₈₉ . Найти:sin 3,5x

^π/₂

Дано: cos 13α = – ⁷/₂₅ . Найти: cos ^{13 α}/₂

π ^{13 α}/₂ ^3π/₂

Упростить выражение:

1 – cos2x + sin2x

·tgx

1 + cos2x + sin2x

( 1 – 2cos^{2 α}/₂ )( 2sin^{2 α}/₂ – 1 )

4sin^{2 α}/₂ cos^{2 α}/₂

8cos( ^π/₄ + β )cos( ^π/₄ – β )

12sin( ^π/₄ – β )sin( ^π/₄ + β )

sin³4x cos4x – cos³4x sin4x

cos + sin2 .

1 + sin – cos2

Вычислить:

2sin75⁰cos75⁰ ; 2cos²15⁰ – 1

1 – 2sin²165⁰ ; 2sin135⁰cos135⁰

3π

8

π

12

2cos² – 1 ; 2sin cos

3π

8

5π

12

2π

3

1 – 2sin² ; 2tg .

5π

12

1 – tg²

Дано: sinβ = – ³/₅, ^3π/₂

Найти: sin2β

Дано: cos α = – ⁶/₇ Найти: cos2α

Дано: sin λ = ⁴/₉ . Найти: cos2α

Дано: cos5x = ⁸/₁₇ . Найти: sin10x

Дано: sin7y = – ⁷/₂₅ . Найти: cos14y

Дано:cos15β = ²¹⁹/₁₆₉ . Найти: cos^{15 β}/₂

π ^{15 β}/₂ ^3π/₂

Дано: cos 7x = – ¹⁶¹/₂₈₉ . Найти:sin 3,5x

^π/₂

Дано: cos 13α = – ⁷/₂₅ . Найти: cos ^{13 α}/₂

π ^{13 α}/₂ ^3π/₂

Упростить выражение:

1 – cos2x + sin2x

·tgx

1 + cos2x + sin2x

( 1 – 2cos^{2 α}/₂ )( 2sin^{2 α}/₂ – 1 )

4sin^{2 α}/₂ cos^{2 α}/₂

8cos( ^π/₄ + β )cos( ^π/₄ – β )

12sin( ^π/₄ – β )sin( ^π/₄ + β )

sin³4x cos4x – cos³4x sin4x

cos + sin2 .

1 + sin – cos2

Вычислить:

2sin75⁰cos75⁰ ; 2cos²15⁰ – 1

1 – 2sin²165⁰ ; 2sin135⁰cos135⁰

3π

8

π

12

2cos² – 1 ; 2sin cos

3π

8

5π

12

2π

3

1 – 2sin² ; 2tg .

5π

12

1 – tg²

Дано: sinβ = – ³/₅, ^3π/₂

Найти: sin2β

Дано: cos α = – ⁶/₇ Найти: cos2α

Дано: sin λ = ⁴/₉ . Найти: cos2α

Дано: cos5x = ⁸/₁₇ . Найти: sin10x

Дано: sin7y = – ⁷/₂₅ . Найти: cos14y

Дано:cos15β = ²¹⁹/₁₆₉ . Найти: cos^{15 β}/₂

π ^{15 β}/₂ ^3π/₂

Дано: cos 7x = – ¹⁶¹/₂₈₉ . Найти:sin 3,5x

^π/₂

Дано: cos 13α = – ⁷/₂₅ . Найти: cos ^{13 α}/₂

π ^{13 α}/₂ ^3π/₂

Упростить выражение:

1 – cos2x + sin2x

·tgx

1 + cos2x + sin2x

( 1 – 2cos^{2 α}/₂ )( 2sin^{2 α}/₂ – 1 )

4sin^{2 α}/₂ cos^{2 α}/₂

8cos( ^π/₄ + β )cos( ^π/₄ – β )

12sin( ^π/₄ – β )sin( ^π/₄ + β )

sin³4x cos4x – cos³4x sin4x

cos + sin2 .

1 + sin – cos2

Вычислить:

2sin75⁰cos75⁰ ; 2cos²15⁰ – 1

1 – 2sin²165⁰ ; 2sin135⁰cos135⁰

3π

8

π

12

2cos² – 1 ; 2sin cos

3π

8

5π

12

2π

3

1 – 2sin² ; 2tg .

5π

12

1 – tg²

Дано: sinβ = – ³/₅, ^3π/₂

Найти: sin2β

Дано: cos α = – ⁶/₇ Найти: cos2α

Дано: sin λ = ⁴/₉ . Найти: cos2α

Дано: cos5x = ⁸/₁₇ . Найти: sin10x

Дано: sin7y = – ⁷/₂₅ . Найти: cos14y

Дано:cos15β = ²¹⁹/₁₆₉ . Найти: cos^{15 β}/₂

π ^{15 β}/₂ ^3π/₂

Дано: cos 7x = – ¹⁶¹/₂₈₉ . Найти:sin 3,5x

^π/₂

Дано: cos 13α = – ⁷/₂₅ . Найти: cos ^{13 α}/₂

π ^{13 α}/₂ ^3π/₂

Упростить выражение:

1 – cos2x + sin2x

·tgx

1 + cos2x + sin2x

( 1 – 2cos^{2 α}/₂ )( 2sin^{2 α}/₂ – 1 )

4sin^{2 α}/₂ cos^{2 α}/₂

8cos( ^π/₄ + β )cos( ^π/₄ – β )

12sin( ^π/₄ – β )sin( ^π/₄ + β )

sin³4x cos4x – cos³4x sin4x

cos + sin2 .

1 + sin – cos2

Вычислить:

2sin75⁰cos75⁰ ; 2cos²15⁰ – 1

1 – 2sin²165⁰ ; 2sin135⁰cos135⁰

3π

8

π

12

2cos² – 1 ; 2sin cos

3π

8

5π

12

2π

3

1 – 2sin² ; 2tg .

5π

12

1 – tg²

Дано: sinβ = – ³/₅, ^3π/₂

Найти: sin2β

Дано: cos α = – ⁶/₇ Найти: cos2α

Дано: sin λ = ⁴/₉ . Найти: cos2α

Дано: cos5x = ⁸/₁₇ . Найти: sin10x

Дано: sin7y = – ⁷/₂₅ . Найти: cos14y

Дано:cos15β = ²¹⁹/₁₆₉ . Найти: cos^{15 β}/₂

π ^{15 β}/₂ ^3π/₂

Дано: cos 7x = – ¹⁶¹/₂₈₉ . Найти:sin 3,5x

^π/₂

Дано: cos 13α = – ⁷/₂₅ . Найти: cos ^{13 α}/₂

π ^{13 α}/₂ ^3π/₂

Упростить выражение:

1 – cos2x + sin2x

·tgx

1 + cos2x + sin2x

( 1 – 2cos^{2 α}/₂ )( 2sin^{2 α}/₂ – 1 )

4sin^{2 α}/₂ cos^{2 α}/₂

8cos( ^π/₄ + β )cos( ^π/₄ – β )

12sin( ^π/₄ – β )sin( ^π/₄ + β )

sin³4x cos4x – cos³4x sin4x

cos + sin2 .

1 + sin – cos2

Вычислить:

2sin75⁰cos75⁰ ; 2cos²15⁰ – 1

1 – 2sin²165⁰ ; 2sin135⁰cos135⁰

3π

8

π

12

2cos² – 1 ; 2sin cos

3π

8

5π

12

2π

3

1 – 2sin² ; 2tg .

5π

12

1 – tg²

Дано: sinβ = – ³/₅, ^3π/₂

Найти: sin2β

Дано: cos α = – ⁶/₇ Найти: cos2α

Дано: sin λ = ⁴/₉ . Найти: cos2α

Дано: cos5x = ⁸/₁₇ . Найти: sin10x

Дано: sin7y = – ⁷/₂₅ . Найти: cos14y

Дано:cos15β = ²¹⁹/₁₆₉ . Найти: cos^{15 β}/₂

π ^{15 β}/₂ ^3π/₂

Дано: cos 7x = – ¹⁶¹/₂₈₉ . Найти:sin 3,5x

^π/₂

Дано: cos 13α = – ⁷/₂₅ . Найти: cos ^{13 α}/₂

π ^{13 α}/₂ ^3π/₂

Упростить выражение:

1 – cos2x + sin2x

·tgx

1 + cos2x + sin2x

( 1 – 2cos^{2 α}/₂ )( 2sin^{2 α}/₂ – 1 )

4sin^{2 α}/₂ cos^{2 α}/₂

8cos( ^π/₄ + β )cos( ^π/₄ – β )

12sin( ^π/₄ – β )sin( ^π/₄ + β )

sin³4x cos4x – cos³4x sin4x

cos + sin2 .

1 + sin – cos2

ВАРИАНТ № 1

1) Вычислить :

2 sin 105⁰ cos105⁰

2) Упростить :

cos 6х + 1

4 cos² 3х

3) Вычислить ctg 5у , если tg 2,5у = – 3

4) Упростить выражения:

а) cos³х sin х – sin³х cos х

б) sin 4х · cos 2х .

( 1 + cos 4х )(1 + cos 2х )

ВАРИАНТ № 2

1) Вычислить :

1 - 2 sin² 75⁰

2) Упростить

2 tg 5х .

1 + tg 10х ·

1 – tg² 5х

5

13

3) Вычислить sin 3х , если cos 1,5х = – ,

1,5х  II ч.

4) Упростить выражения :

а) cos 4х – sin 4х ctg 2х

б) sin 6х cos 6х

+

sin 2х cos 2х

ВАРИАНТ № 3

1) Вычислить : 2 tg165⁰ .

1 – tg² 165⁰

2) Упростить :

1 + cos у + cos 2у

sin у + sin 2у

7

32

3) Вычислить sin 7х , если cos 14х = , 7х  IV

4)Упростить выражения :

а) 64 sin² 3х cos² 3х cos² 6х cos² 12х

б) 4 sin² х – sin² 2х .

cos² 2х + 4 sin² х – 4

ВАРИАНТ № 4

1) Вычислить :

2 sin 150⁰ cos 150⁰

2) Упростить :

1 – cos 10у

6 sin 5у

3) Вычислить tg 9х , если tg 4,5х = 4

4) Упростить выражения :

а) 3 + 4 cos 2х + cos 4х

π

2

π

2

б) cos( – 4х) sin( + 2х )

( 1 + cos 2х )( 1 + cos 4х )

ВАРИАНТ № 5

1) Вычислить :

2 cos² 120⁰ – 1

2) Упростить :

1 – tg² 2а

· sin 4а

2 tg 2а

3

5

3) Вычислить sin 6х , если sin 3х = – , 3х III

4) Упростить выражения :

а) sin 6х ctg 3х – cos 6х

б) 3 – 4 cos 2х + cos 4х

3 + 4 cos 2х + cos 4х

ВАРИАНТ № 6

1) Вычислить : 1 – tg² 75⁰

2tg 75⁰

2) Упростить :

cos х + sin 2х

1 + sin х – cos 2х

31

50

3) Вычислить cos 5х , если cos10х = , 5х  II

4) Упростить выражения :

а) tg 5х ( 1 + cos 10х )

б) 4 sin² х + cos² 2х – 4

4 sin² х – sin² 2х

ВАРИАНТ № 1

1) Вычислить выражения:

а) cos163⁰ – cos197⁰

б) 2 cos147⁰ cos183⁰ – cos36⁰

в) ( tg 615⁰ – tg 555⁰ ):( tg 795 + tg 735⁰ )

г) sin 24⁰ cos 6⁰ – sin 6⁰ sin 66⁰

sin 21⁰ cos 39⁰ – sin39⁰ cos 21⁰

2) Преобразовать в произведение:

а) sin9x – sin5x

б) cos 7х – cos 8х – cos 9х + cos 10х

в) sin 2х + sin 4х – sin 6х

г) 2 cos² 2х cos х – cos 5х cos 4х – cos 4х cos 3х

3) Доказать тождество:

а)

cosх + cos2х + cos6х + cos7х = 4cos ^х/₂cos ^5х/₂ cos4х

б) tg 3х . 1 – ctg² 3х

= 1

·

tg² 3х – 1 ctg 3х

в) tg 6х – tg 4х – tg 2х = tg 6х tg 4х tg 2х

ВАРИАНТ № 2

1) Вычислить выражения:

а) sin 257⁰ + sin 77⁰

б) tg 255⁰ – tg 195⁰

в) 2 sin 121⁰ cos 104⁰ + 2 cos 83,5⁰ cos 23,5⁰

г) sin 20⁰ cos 10⁰ + cos 160⁰ cos 100⁰

sin 21⁰ cos 9⁰ + cos 159⁰ cos 99⁰

2) Преобразовать в произведение:

а) cos 8x – cos 2x

б) sin 7х – sin 8х – sin 9х + sin 10х

в) cos 4х + cos 5х + cos 6х

г) 3 + 4 cos 4х + cos 8х

3) Доказать тождество:

а)

sin9х +sin10х +sin11х +sin12х = 4 cos ^х/₂ cos х sin ^21х/₂

б) 1 + cos 4х 1 + cos 2х

= tg ( 1,5 – х )

·

sin 4х cos 2х

в) ctg х – tg х – 2 tg 2х = 4 ctg 4х

ВАРИАНТ № 3

1) Вычислить выражения:

а) cos 328⁰ + cos 212⁰

б) 2sin 339⁰ cos 204⁰ – sin 183⁰

в) ( tg 255⁰ – tg 555⁰ )( tg 795⁰ + tg 195⁰ )

г) cos 86⁰ cos 26⁰ – cos 64⁰ cos 4⁰

cos 49⁰ cos 19⁰ – cos 71⁰ cos 41⁰

2) Преобразовать в произведение:

а) tg 5x – tg 3x

б) sin 13х + sin 14х + sin 15х + sin 16х

в) cos 2х – sin 4х – cos 6х

г) sin 10х sin 8х + sin 8х sin 6х – sin 4х sin 2х

3) Доказать тождество:

а)

cos2х –cos3х –cos4х +cos5х = – 4 sin ^х/₂ sin х cos ^7х/₂

б) 1 – 2sin² х 1 – tg х

=

1 + sin 2х 1 + tg х

в) 3 – 4 cos(3π – 4х) – cos(5π + 8х) = 8 cos⁴ 2х

ВАРИАНТ № 4

1) Вычислить выражения:

а) sin 156⁰ – sin 24⁰

б) tg 435⁰ + tg 375⁰

в) sin 83⁰ sin 127⁰ – cos 112⁰ cos 68⁰

г) cos 66⁰ cos 6⁰ + cos 84⁰ cos 24⁰

cos 65⁰ cos 5⁰ + cos 85⁰ cos 25⁰

2) Преобразовать в произведение:

а) cos 4x + cos 12x

б) cos 3х – cos 4х – cos 5х + cos 6х

в) sin 2х + sin 4х + sin 6х

г) 3 – 4 cos 4х + cos 8х

3) Доказать тождество:

а)

sin4х – sin5х – sin6х + sin7х = – 4sin ^х/₂ sin х sin ^11х/₂

б) cos² х – cos² у

= сtg² х – ctg² у

sin² х sin² у

в) tg( ^π/₄ + х )( 1 – sin 2х ) = cos 2х

ВАРИАНТ № 1

1) Плоскость β пересекает стороны КР и КД прямоугольника КРОД. Докажите, что прямая РО пересекает плоскость β .

2) Плоскость α проходит через основание СВ трапеции ЕСВМ. Прямая а параллельна прямой ЕМ. Докажите, что прямая а параллельна плоскости α .

3) Плоскость γ , параллельная гипотенузе прямоугольного треугольника, проходит через середину одного из катетов. Найти общий отрезок плоскости и треугольника, если катеты равны 8 и 15см.

4) Плоскость λ проходит через сторону АS = 18см треугольника АSД. Через точку В, которая делит отрезок ДА на отрезки 4 и 11см, считая от точки Д, проходит прямая параллельная плоскости λ и пересекает другую сторону в точке N . Найдите ВN.

ВАРИАНТ № 2

1) Плоскость λ проходит через основание ТН трапеции ТВСН. Докажите, что прямая ВС параллельна плоскости λ .

2) Прямая b параллельна диагонали АТ ромба АСТК. Сторона ромба ТК принадлежит плоскости β . Докажите, что прямая b пересекает плоскость β .

3) Плоскость φ , параллельная меньшему катету прямоугольного треугольника, проходит через середину гипотенузы. Найти общий отрезок плоскости и треугольника, если его больший катет 12см, а гипотенуза 15см.

4) Плоскость γ проходит через сторону КР = 15см треугольника КМР. Через точку Д, которая делит отрезок КМ на отрезки 5 и 7см, считая от точки М, проходит прямая параллельная плоскости γ и пересекает другую сторону в точке S. Найдите ДS.

ВАРИАНТ № 3

1) Плоскость φ проходит через вершину Т и параллельна стороне ЕС ромба ВТЕС. Докажи-те, что прямая ВТ принадлежит плоскости φ .

2) Только вершина О прямоугольника НМОЕ принадлежит плоскости γ . Прямая с параллель-на стороне прямоугольника НМ. Докажите, что прямая с пересекает плоскость γ .

3) Плоскость β, параллельна гипотенузе прямоугольного треугольника, проходит через середину одного из катетов. Найти общий отрезок плоскости и треугольника, если его катеты 20 и 15см.

4) Плоскость α проходит через сторону АС = 24см треугольника АFC. Через точку В, которая делит отрезок АF на отрезки 7 и 11см, считая от точки F, проходит прямая параллельная плоскости α и пересекает другую сторону в точке Е. Найти ВЕ.

ВАРИАНТ № 4

1) Плоскость γ проходит через среднюю линию АВ трапеции СКНТ с основанием СТ. Докажи-те, что прамая КН параллельна плоскости γ .

2) Прямая t параллельна плоскости λ . Прямая t параллельна основанию СР трапеции АСРВ. Плоскость λ проходит через точку В. Докажите, что прямая АВ принадлежит плоскости λ .

3) Плоскость φ, параллельная большему катету прямоугольного треугольника, проходит через середину гипотенузы. Найти отрезок отсекаемый плоскостью у треугольника, если его меньший катет 5см, а гипотенуза 13см.

4) Плоскость β проходит через сторону КТ = 21см треугольника КРТ. Через точку О, которая делит отрезок КР на отрезки 5 и 9см, считая от точки Р, проходит прямая параллельная плоскости β и пересекает другую сторону в точке А. Найти ОА.

ВАРИАНТ № 1

Построить графики функций:

1) y = 2 tg x – 1

x

2

π

3

2) y = cos( + )

Показать решения уравнения графически :

5π

6

3) sin( х – ) = 2х – 1
Показать решение неравенства графически:

1

2

4) ctg х + 0,5 – 1

ВАРИАНТ № 2

Построить графики функций:

1) y = sin 2x + 0,5

π

6

2) y = ctg ( x – ) – 1,5

Показать решения уравнения графически :

x

2

3) cos = – 0,5

Показать решение неравенства графически:

π

3

4) tg ( 2x + )

ВАРИАНТ № 3

Построить графики функций:

1) y = 3 cos 2x

2π

3

1

2

2) y = tg ( x + )

Показать решения уравнения графически :

1

3

3) ctg х + 1 = – х + 1

Показать решение неравенства графически:

π

6

1

2

4) sin ( x – )

ВАРИАНТ № 4

Построить графики функций:

5π

6

1) y = ctg ( 2x – )

2) y = 2sin x + 1

Показать решения уравнения графически :

π

3

3) tg ( х + ) = 1,5

Показать решение неравенства графически:

1

2

4) 3 cos x – 1,5 – x – 1

ВАРИАНТ № 5

Построить графики функций:

π

3

1) y = tg ( x + ) – 0,5

π

2

1

2

2) y = cos ( x + )

Показать решения уравнения графически :

1

4

3) 2 sin х = х – 0,5

Показать решение неравенства графически:

π

6

4) ctg ( x – ) + 1 2

ВАРИАНТ № 6

Построить графики функций:

x

3

1) y = sin + 1,5

π

6

2) y = 2 tg ( x – )

Показать решения уравнения графически :

2π

3

3) cos ( х + ) = – 1

Показать решение неравенства графически:

4) 2 sin 3x x

ВАРИАНТ № 1

Определить чётность функции:

1) 4х² – 5х⁴ 2) 7х³ + 2

f(х) =

у(х) =

3х³ х⁴ – 6х

3) 5 sin x – x⁵

g (х) =

3 tg x + 8x

f (–х)·g(x) – 5g(–x)

g(x) + f(–x)

4) Вычислить у(х) = , если

f(x) – нечётная, g(x) – чётная и f(x) = –2,

g(x) = 3.

5) Достройте график функции изображённый на рисунке, если функция нечётная .

у

х

ВАРИАНТ № 2

Определить чётность функции:

1) 8х³ + 9х 2) х⁶ – 7х²

f(х) =

g (х) =

5х⁵ 4х⁵ + х

3) 4cos х + 8х

у (х) =

3 sin x · tg x

3g(–x) + 5f(–x)

g(x) ·f(–x) – 7

4) Вычислить у(х) = , если

f(x) – чётная, g(x) – нечётная и f(x) = 5 ,

g(x) = – 4 .

5) Достройте график функции изображённый на рисунке, если функция чётная .

х

у

ВАРИАНТ № 3

Определить чётность функции:

1) 4х³ – 5х² 2) 7х³ + 3х⁷

у (х) =

f(х) =

6х⁴ + 7 5х⁵

3) 2х · sin x + 8

g (х) =

9 х – 4 tg x

4) Вычислить у(х) = 3 f²(–x) – 2 g(–x) · f(–x) ,

если f(x) – нечётная, g(x) – чётная, f(x) = 2 ,

g(x) = – 6 .

5) Достройте график функции изображённый на рисунке, если функция нечётная .

х

у

ВАРИАНТ № 4

Определить чётность функции:

1) 7х² – 2х⁴ 2) 3х³ + 9х

f(х) =

у (х) =

8х³ х⁵( х² – 1 )

3) 4 cos х – 5 tg x

g (х) =

2х³ + sin x

4) Вычислить у(х) = g³(–x)·f(–x) + 3f(x)· g²(–x) ,

если f(x) – чётная, g(x) – нечётная, f(x) = – 7,

g(x) = 2 .

5) Достройте график функции изображённый на рисунке, если функция нечётная .

у

х

ВАРИАНТ № 1

1) Определите по графику монотонность функции и точки экстремума:

х

у

2) Изобразить график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 4; 3];

б) значения функции составляют промежуток [– 3; 5];

в) при х  [– 4; 0]функция возрастает,

при х Î [0; 3] функция убывает ;

г) нули функции: х = – 1, х = 2 .

3) Определить монотонность функций и точки экстремума:

а) у = 4х – х² б) 5 .

– 7

у =

х + 1

ВАРИАНТ № 2

1) Определите по графику монотонность функции и точки экстремума:

х

у

2) Изобразить график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 3; 4];

б) значения функции составляют промежуток [– 5; 2];

в) функция убывает на промежутке [–1; 2]и возрастает на промежутках [–3; – 1]и [2; 4]

г) нули функции: х = 3 .

3) Определить монотонность функций и точки экстремума:

а) у = ( х + 4 )³ + 1 б) 2 .

у =

( х – 2)²

ВАРИАНТ № 3

1) Определите по графику монотонность функции и точки экстремума:

х

у

2) Изобразить график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 6; 2];

б) значения функции составляют промежуток [– 5; 3];

в) точки экстремума: х_min = – 2, x_max = 1 ;

г) нули функции: х = – 4 .

3) Определить монотонность функций и точки экстремума:

а) у = ( х + 5 )² + 4 б) 8 .

у =

х + 3

ВАРИАНТ № 4

1) Определите по графику монотонность функции и точки экстремума:

х

у

2) Изобразить график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 4 3];

б) значения функции составляют промежуток [–3;3]

в) функция возрастает на промежутках [– 4;–3]и [–1;3 ]и убывает на промежутке [– 3; –1 ];

г) значения функции положительны в точках

промежутка [– 4; – 2 )

3) Определить монотонность функций и точки экстремума:

а) у = –2х + 5 б) 3 .

– 2

у =

( х – 1 )³

ВАРИАНТ № 1

1) Определить имеет ли смысл выражение:

1 + 4√3

9

а) arccos б) arcsin

3 – 5√2

4

2) Вычислить выражения:

1

2

√3

2

а) arctg 1 – arccos б) arcsin(– 1) + arccos(– )

7π

6

в) 5 arccos(sin ) – 7 arctg(cos 6π )

г) sin(2arccos ) + 3tg(5arcsin(– ))

√2

2

3

√17

√3

2

д) cos(arcsin ) е) √8,5 sin(arccos )

12

13

ВАРИАНТ № 2

1) Определить имеет ли смысл выражение:

2 + 5√7

13

1 – 2√5

5

а) arcsin б) arcсos

2) Вычислить выражения:

1

2

√3

3

√2

2

а) arccos + arcsin(– 1) б) arctg – arcsin

11π

6

в) 3arctg(cos π ) + 2arcsin(cos )

1

2

√2

2

г) 4sin( arctg(–√3)) – 3cos(2arcsin )

5

√ 41

8

17

д) sin(arccos(– ) е) 3√41cos(arcsin )

ВАРИАНТ № 3

1) Определить имеет ли смысл выражение:

9 – 3√2

6

7 + 3√13

17

а) arcсos б) arcsin

3) Вычислить выражения:

1

2

а) arcsin – arccos 0 б) arctg(–1) + arccos(– )

1

2

5π

3

√3

2

в) 7arcsin( tg ) – 5arctg( 2cos(– ))

5π

6

√3

2

г) cos(3arctg 1 ) + 7sin(5arccos )

2

√29

24

25

д) cos(arcsin ) е) 2√29sin(arccos(– )

ВАРИАНТ № 4

1) Определить имеет ли смысл выражение:

6 – 4√11

7

1 + 7√3

14

а) arcsin б) arccos

3) Вычислить выражения:

1

2

а) arccos(– ) + arctg √3 б) arcsin 1 – arccos

√3

2

8π

3

7π

6

в) 4arccos( 1,5tg ) + arcsin(cos )

√2

2

г) 2tg(5arcsin ) – 3sin( 4arccos 0 )

7

√67

3

5

д) tg(arccos ) е) 2√33,5 cos(arcsin(– )

1) Определение параллельности плоскостей .

Сформулируйте и докажите теоремы

2) Теорема о пучке прямых пересекающем параллельные плоскости .

3) Теорема о двух параллельных плоскостях , которые пересекает третья плоскость.

1) Теорема о двух параллельных плоскостях, одна из которых параллельна третьей плоскости ( формулировка )

Сформулируйте и докажите теоремы

2) Признак параллельности плоскостей .

3) Теорема об отрезках параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями.

Решите уравнения:

3π

4

1) ( 4sin(3х – ) + 2√3 )(3tg 5х – 8 ) = 0

3π

7

5х

3

х

6

2) (5сtg + 10 )( 6sin( + ) + 6 ) = 0

π

3

х

5

3) 4cos² 7х – 3 = 0 4) 1 – 2 sin² ( + ) = 0

5π

6

5) 7cos (2х + ) – 3 = √13

π

9

6) 5sin ( – 6х ) + √89 = 4

х

4

7) ( 5 – 8 sin 9х )( 5cos + 7 )(2√3 tg 2х + 6) = 0

8) (сtg² 5х – 1 )( 3sin 2х + 1,5√3 ) = 0

5π

7

х

2

9) ( 6 cos² – 7 )( 9sin(х + ) + 5 ) = 0

10) ( 4sin² 3х + 1 )( 2√3cos 6х + 3 ) = 0

6π

11

11) (3 tg( 4х – ) + √3 )(2cos 6х – 1 ) = 0

х

3

12) 4cos( – )· (tg² 4х – 3 ) = 0

4π

9

Решите уравнения:

3π

4

1) ( 4sin(3х – ) + 2√3 )(3tg 5х – 8 ) = 0

3π

7

5х

3

х

6

2) (5сtg + 10 )( 6sin( + ) + 6 ) = 0

π

3

х

5

3) 4cos² 7х – 3 = 0 4) 1 – 2 sin² ( + ) = 0

5π

6

5) 7cos (2х + ) – 3 = √13

π

9

6) 5sin ( – 6х ) + √89 = 4

х

4

7) ( 5 – 8 sin 9х )( 5cos + 7 )(2√3 tg 2х + 6) = 0

8) (сtg² 5х – 1 )( 3sin 2х + 1,5√3 ) = 0

5π

7

х

2

9) ( 6 cos² – 7 )( 9sin(х + ) + 5 ) = 0

10) ( 4sin² 3х + 1 )( 2√3cos 6х + 3 ) = 0

6π

11

11) (3 tg( 4х – ) + √3 )(2cos 6х – 1 ) = 0

х

3

12) 4cos( – )· (tg² 4х – 3 ) = 0

4π

9

ВАРИАНТ № 1

Решить уравнения:

1) cos3x = – ^√3/₂

2) 4 tgx – 4√3 = 0

3π

7

3) 7sin(5x – ) + 7 = 0

4) ( 2 sin5x – 1)( tg3x + 1) = 0

5) ( 3cos4x – 5)(8sinx + 4√2) = 0

ВАРИАНТ № 2

Решить уравнения:

1) sin4x = ^√2/₂

2) 2cosx + 1 = 0

2π

5

3) 4√3 tg (7x + ) – 4= 0

4) (tg2x + √3)(2sin3x – √3) = 0

5) (6cosx - 3√3)(7sin5x + 10) = 0

ВАРИАНТ № 3

Решить уравнения:

1) tg7x = – 1

2) 6sinx – 3 = 0

7π

12

x

3

3) cos( + ) = 0

4) (cos9x + 1)(3tg2x – √3) = 0

5) (3tgx + 9)(5sin7x – 5) = 0

ВАРИАНТ № 4

Решить уравнения:

1) cos5x = ¹/₂

2) 5tgx + 5 = 0

4π

5

3) 3sin(4x – ) – 3 = 0

4) (4sin6x + 2√3)(tg3x – ¹/_√3) = 0

5) (5cosx – 2 )(6sin4x + 3) = 0

ВАРИАНТ № 5

Решить уравнения:

1) tg6x = –√3

2) 8sinx – 4 = 0

9π

16

3) cos( 7х + ) – 1 = 0

4) (2tg3x – 2)(10cos2x + 5√3) =0

5) (2sin5x – 7)(4tg6x + 8) = 0

ВАРИАНТ № 6

Решить уравнения:

1) sin3x = ^√3/₂

2) 6cosx + 3√2 = 0

3π

8

3) 2√3 tg (7x – ) + 2 = 0

4) (5sin4x + 5)( 6tg5x – 2√3) = 0

5) (7tg2x + 7)(4cosx + 3) = 0

ВАРИАНТ № 1

1) 2sin² х – 3sin х + 1 = 0

2) cos 2х = 1 + 4cos х

3) 3sin² х + 5sin х cos х – 2cos² х = 0

4) sin 2х – sin х = 2cos х – 1

5) Найдите все решения уравнения

cos 2х + sin² х = cos х

3π

2

принадлежащие отрезку [– π ; ]

6) Найдите все решения уравнения

2cos 6х = 1 + 4cos 3х

принадлежащие отрезку [– 2π ; 2 π]

ВАРИАНТ № 2

1) 2cos² х – cos х – 1 = 0

2) cos 2х + 8sin х = 3

3) 5sin² х – 8sin х cos х – 4 = 0

4) sin 2х – cos х = 2sin х – 1

5) Найдите все решения уравнения

cos 2х + sin х = cos² х

3π

2

принадлежащие отрезку [– ; π]

6) Найдите все решения уравнения

2sin² 2х + 5cos 2х = 4

принадлежащие отрезку [– 2π ; 2 π]

ВАРИАНТ № 3

1) 3sin² х – sin х – 2 = 0

2) 5 – 4sin² х = 4cos х

3) 3sin² х + 8sin х cos х – 3 = 0

4) sin 2х + 2sin х = cos х + 1

5) Найдите все решения уравнения

cos 2х – cos ² х – √2 sin х = 0

3π

2

принадлежащие отрезку [– π ; ]

6) Найдите все решения уравнения

cos 4х – 7cos 2х + 4 = 0

принадлежащие отрезку [– 2π ; 2π]

ВАРИАНТ № 4

1) cos³ х – 3cos х + 2 = 0

2) 2cos 2х = 8sin х + 5

3) 2sin² х – 9sin х cos х + 4 = 0

4) sin 2х + 2cos х = sin х + 1

5) Найдите все решения уравнения

cos 2х + sin² х + √3 cos х = 0

3π

2

принадлежащие отрезку [– ; π ]

6) Найдите все решения уравнения

cos² 4х + 6sin 4х = 6

принадлежащие отрезку [– 2π ; 2π]

ВАРИАНТ № 1

Решить уравнения :

1) cos 9х – cos 7х + cos 3х – cos х = 0

2) sin² 3х + sin² 4х = sin² 5х + sin² 6х

3) 3 tg² х – 8 cos² х + 1 = 0

4) sin 2х = cos⁴ (0,5х) – sin⁴ (0,5х)

5) Найдите все решения уравнения

sin 4х + 2 cos² х = 1 , удовлетворяющие условию | x | 3 .

ВАРИАНТ № 2

Решить уравнения :

1) cos 7х + sin 8х = cos 3х – sin 2х

2) cos² 3х + cos² 4х + cos² 5х = 1,5

3) сtg² х – 8 sin² х = 1

4) cos 2х – cos 4х = sin 6х

5) Найдите все решения уравнения

sin х + sin 3х = 4cos² x , удовлетворяющие условию | x |

ВАРИАНТ № 3

Решить уравнения :

1) sin х – sin 2х + sin 5х + sin 8х = 0

2) cos² х + cos² 2х = cos² 3х + cos² 4х

3) 2 tg² х + 4 cos² х = 7

4) sin 2х + sin 6х = 3 cos 2х

5) Найдите все решения уравнения

2 sin² х + cos 4х = 1 , удовлетворяющие условию | x | 3 .

ВАРИАНТ № 4

Решить уравнения :

1) sin х + sin 3х – sin 5х – sin 7х = 0

2) sin² х + sin² 2х + sin² 3х + sin² 4х = 2

3) 9 сtg² х + 4 cos² х = 7

4) cos х – cos 3х = sin 2х

5) Найдите все решения уравнения

cos х = cos 3х + 2sin 2х , удовлетворяющие условию | x | 2 .

ВАРИАНТ № 1

1) Упростить выражение:

sin 2х + sin 5х – sin 3х

cos х + 1 – 2 sin² 2х

2) Если tg х = 0,2 , то вычислить

5 .

6 + 7sin 2х

Определить чётность функции :

3) 2х · sin x + 8 4) 7х³ + 3х⁷

у(х) =

у(х) =

9 х – 4 tg x 5х⁵

Определить монотонность функции :

5) 7 6) у = х² – 2х

у(х) =

2х + 4

7) Изобразить график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 3; 4];

б) значения функции составляют промежуток [– 5; 2];

в) функция убывает на промежутке (–1; 2) и возрастает на промежутках (–3; – 1) и (2; 4);

г) нули функции: х = 3 .

Вычислить выражения :

11π

6

8) 3arctg(cos π ) + 2arcsin(cos )

√3

2

√2

2

9) sin(2arccos ) + 3tg(5arcsin(– ))

Решить уравнения :

10) 3sin² х + 5sin х cos х – 2cos² х = 0

11) cos 2х – cos 4х = sin 6х

ВАРИАНТ № 2

1) Упростить выражение:

4 sin²(5π – х) – sin²(π + 2х)

cos²( – 2х) – 4 + 4sin² х

3π

2

2) Если sin х – cos х = 0,4 , то вычислить

sin 2х .

Определить чётность функции :

3) 4cos х + 8х 4) х⁶ – 7х

у(х) =

у(х) =

3 sin x · tg x 4х⁵ + х

Определить монотонность функции :

5) 4 6) у = 5х + 3

у(х) =

х² – 8

7) Изобразить график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 6; 3];

б) значения функции составляют промежуток [– 4; 2];

в) функция возрастает на промежутках (– 6; – 2) и ( 1; 3 ) и убывает на промежутке (– 2; 1 ) ;

г) значения функции отрицательны только в точках промежутка [– 6; 2 ) .

Вычислить выражения :

3π

4

1

2

8) 7arcsin( tg ) – 5arctg(√2 cos(– ))

5π

3

√2

2

9) 4sin(7arctg(–√3)) – 3cos(2arcsin )

Решить уравнения :

10) 2cos 2х = 8sin х + 5

11) sin х + sin 3х – sin 5х – sin 7х = 0

1) 3sin 2x + 5( sin x + cos x ) + 1 = 0

2) 4sin 2x – 7( cos x – sin x ) – 7 = 0

3) 3 sin 4x + 8( cos 2x + sin 2x ) = 0

4) 11( sin 5x – cos 5x ) = 7 – 5 sin 10x

5) 6sin 2x + 7 = 5( sin x + cos x )

6) 2sin 2x – 1 = sin x – cos x

7) 5sin 6x + 4( cos 3x – sin 3x ) – 4 = 0

8) 2 sin 4x = 5( sin 2x + cos 2x ) + 1

1) 3sin 2x + 5( sin x + cos x ) + 1 = 0

2) 4sin 2x – 7( cos x – sin x ) – 7 = 0

3) 3 sin 4x + 8( cos 2x + sin 2x ) = 0

4) 11( sin 5x – cos 5x ) = 7 – 5 sin 10x

5) 6sin 2x + 7 = 5( sin x + cos x )

6) 2sin 2x – 1 = sin x – cos x

7) 5sin 6x + 4( cos 3x – sin 3x ) – 4 = 0

8) 2 sin 4x = 5( sin 2x + cos 2x ) + 1

1) 8 10 .

+ 5 = 0

– 5 sin x –

2 sin² x +

sin² x sin x

2) 27 12 .

– 22 = 0

– 4 cos x +

3 cos² x +

cos² x cos x

3) 36 5 .

+ 62 = 0

+

5 tg² x – 36 tg x –

tg x tg² x

4) 24 36 .

– 17 = 0

+

sin² x + 4 sin x –

sin x sin² x

5) 9 2 .

+ 14 = 0

+

2 cos² x – 9 cos x –

cos x cos² x

6) 42 8 .

+

+ 29 = 0

8 tg² x + 42 tg x –

tg x tg² x

1) 8 10 .

+ 5 = 0

– 5 sin x –

2 sin² x +

sin² x sin x

2) 27 12 .

– 22 = 0

– 4 cos x +

3 cos² x +

cos² x cos x

3) 36 5 .

+ 62 = 0

+

5 tg² x – 36 tg x –

tg x tg² x

4) 24 36 .

– 17 = 0

+

sin² x + 4 sin x –

sin x sin² x

5) 9 2 .

+ 14 = 0

+ 14 = 0

+

2 cos² x – 9 cos x –

cos x cos² x

6) 42 8 .

+

+ 29 = 0

8 tg² x + 42 tg x –

tg x tg² x

ВАРИАНТ № 1

Решить уравнения :

1) sin х sin 5х = cos 4х

2) 2 sin 4x = 5( sin 2x + cos 2x ) + 1

3) 42 8 .

+ 29 = 0

+

8 tg² x + 42 tg x –

tg х tg² х

4) 2 cos х = | ctg x |

ВАРИАНТ № 2

Решить уравнения :

1) 3cos х + 2 tg х = 0

2) 5sin 6x + 4( cos 3x – sin 3x ) – 4 = 0

3) 9 2 .

+ 14 = 0

+

2 cos² x – 9 cos x –

cos х cos² х

4) cos 5х + cos 3х = |√3 cos х |

ВАРИАНТ № 3

Решить уравнения :

1) cos х cos 3х = cos 2х

2) 2sin 2x – 1 = sin x – cos x

3) 24 36 .

+

– 17 = 0

sin² x + 4 sin x –

sin х sin² х

4) 2 sin x = | √3 tg x |

ВАРИАНТ № 4

Решить уравнения :

1) 5sin х – 4сtg х = 0

2) 6sin 2x + 7 = 5( sin x + cos x )

3) 36 5 .

+ 62 = 0

+

5 tg² x – 36 tg x –

tg х tg² х

4) sin 6х – sin 4х = | sin х |

ВАРИАНТ № 1

Записать формулировки :

1) Определение наклонной к плоскости.

2) Теорема о двух параллельных прямых одна из которых перпендикулярна третьей прямой .

3) Обратная теорема теореме о двух перпендикулярах .

Сформулировать и доказать теоремы :

4) Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда .

5) Теорема о двух прямых перпендикулярных к плоскости .

ВАРИАНТ № 2

Записать формулировки :

1) Определение перпендикуляра к плоскости.

2) Теорема о трёх перпендикулярах .

3) Теорема о двух прямых перпендикулярных к плоскости .

Сформулировать и доказать теоремы :

4) Теорема о двух параллельных прямых одна из которых перпендикулярна третьей прямой .

5) Признак перпендикулярности прямой и плоскости .

ВАРИАНТ № 3

Записать формулировки :

1) Определение проекции наклонной .

2) Теорема о двух параллельных прямых одна из которых перпендикулярна к плоскости .

3) Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Сформулировать и доказать теоремы :

4) Теорема о двух прямых перпендикулярных к плоскости .

5) Обратная теорема теореме о двух перпендикулярах .

ВАРИАНТ № 4

Записать формулировки :

1) Определение угла между наклонной и плоскостью .

2) Признак перпендикулярности прямой и плоскости .

3) Следствие о диагонали куба .

Сформулировать и доказать теоремы :

4) Теорема о трёх перпендикулярах .

5) Теорема о двух параллельных прямых одна из которых перпендикулярна к плоскости .

1) Выразите приращение функции Δf в точке х₀ через х₀ и Δх , если :

4 .

3х – 5

а) у(х) = 5х – 3 б) f(х) = – 2х² + 7х в) g(х) =

2) Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента :

5 .

2 – х²

а) f(х) = 7 – 3х б) у(х) = 4х² – х + 2 в) g(х) =

3) Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀ :

а) g(х) = 6 + 3х – 5х² , если х₀ = – 1 , х = – 1,2

б) у(х) = х³ – 2х , если х₀ = 2 , х = 2,1

1 .

2х – 3

в) f(х) = , если х₀ = 1,3 , х = 1

π

2

π

3

г) у(х) = 2sin х , если х₀ = , х =

4) Постройте прямые проходящие через точку Р и имеющие коэффициент :

3

5

а) Р(–2; 4) k₁ = – 3 , k₂ =

_ 7

4

б) Р( 1; – 3) k₁ = 4 , k₂ =

5) Найдите угловой коэффициент секущей к функ-ции проходящей через точки с абсциссами х₁ и х₂ :

а) у(х) = х² – 3х + 1 , х₁ = 1 , х₂ = 2

б) f(х) = 5 – х² – 2х³ , х₁ = – 2 , х₂ = – 1

6) Составьте уравнение секущей к функции прохо-дящей через точки с абсциссами х₁ = 2 и х₂ = 5 :

6 .

х + 1

а) g(х) = – х² + 2х +8 б) у(х) =

1) Выразите приращение функции Δf в точке х₀ через х₀ и Δх , если :

4 .

3х – 5

а) у(х) = 5х – 3 б) f(х) = – 2х² + 7х в) g(х) =

2) Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента :

5 .

2 – х²

а) f(х) = 7 – 3х б) у(х) = 4х² – х + 2 в) g(х) =

3) Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀ :

а) g(х) = 6 + 3х – 5х² , если х₀ = – 1 , х = – 1,2

б) у(х) = х³ – 2х , если х₀ = 2 , х = 2,1

1 .

2х – 3

в) f(х) = , если х₀ = 1,3 , х = 1

π

2

π

3

г) у(х) = 2sin х , если х₀ = , х =

4) Постройте прямые проходящие через точку Р и имеющие коэффициент :

3

5

а) Р(–2; 4) k₁ = – 3 , k₂ =

_ 7

4

б) Р( 1; – 3) k₁ = 4 , k₂ =

5) Найдите угловой коэффициент секущей к функ-ции проходящей через точки с абсциссами х₁ и х₂ :

а) у(х) = х² – 3х + 1 , х₁ = 1 , х₂ = 2

б) f(х) = 5 – х² – 2х³ , х₁ = – 2 , х₂ = – 1

6) Составьте уравнение секущей к функции прохо-дящей через точки с абсциссами х₁ = 2 и х₂ = 5 :

6 .

х + 1

а) g(х) = – х² + 2х +8 б) у(х) =

7 .

3 – 2х

1) f(х) = х³ – 2х + 3 2) у(х) =

3) g(х) = 4 + 3х – х² , если х₀ = – 1,8 , х = – 2

5

3

4) Р (– 1; – 3) , k₁ = – 2 , k₂ =

5) у(х) = 3х – 2х² , х₁ = 2 , х₂ = 3

6) f(х) = х³ + 2х – 5 , х = 0 , х = 2

1) f(х) = х³ – 2х + 3 2) у(х) =

3) g(х) = 4 + 3х – х² , если х₀ = – 1,8 , х = – 2

5

3

4) Р (– 1; – 3) , k₁ = – 2 , k₂ =

5) у(х) = 3х – 2х² , х₁ = 2 , х₂ = 3

6) f(х) = х³ + 2х – 5 , х = 0 , х = 2

ВАРИАНТ № 1

1) Постройте прямые проходящие через точку А и имеющие коэффициент : А(–3; 2) k₁ = – 3 , k₂ =

4

5

2) Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента и выразите через х₀ и Δх:

7 .

2 –5 х

g(х) =

3) Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀ :

у(х) = 5х³ + 3х – 7 , если х₀ = – 1 , х = 2

4) Составьте уравнение секущей к функции прохо-дящей через точки с абсциссами х₀ = 1 и х₁ = 4 :

f(х) = 3 – 5х + 2х²

ВАРИАНТ № 2

1) Постройте прямые проходящие через точку В и имеющие коэффициент : В(2; –5) k₁ = 4 , k₂ =

_ 3

8

2) Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента и выразите через х₀ и Δх:

у(х) = 3х – 7х²

3) Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀ :

5 .

3х² – 8

f(х) = , если х₀ = 1 , х = 3

4) Составьте уравнение секущей к функции прохо-дящей через точки с абсциссами х₀ = – 1 и х₁ = 2 :

g(х) = 4х³ – 7х + 2

ВАРИАНТ № 3

1) Постройте прямые проходящие через точку С и имеющие коэффициент : С(– 4; –2) k₁ = – 5 , k₂ =

7

3

2) Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента и выразите через х₀ и Δх:

3 .

2х² + х

f(х) =

3) Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀ :

у(х) = 4 – 7х + 3х² , если х₀ = – 2 , х = 1

4) Составьте уравнение секущей к функции прохо-дящей через точки с абсциссами х₀ = – 2 и х₁ = 1 :

g(х) = 5 – 2х³ + 3х²

ВАРИАНТ № 4

1) Постройте прямые проходящие через точку М и имеющие коэффициент : М(4; 3) k₁ = 6 , k₂ =

_ 5

2

2) Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента и выразите через х₀ и Δх:

у(х) = 3х³ + 2х

3) Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀ :

4 .

6 – 5х

g(х) = , если х₀ = 2 , х = 4

4) Составьте уравнение секущей к функции прохо-дящей через точки с абсциссами х₀ = –3 и х₁ = 1 :

f(х) = 5х – 3х² – 6

Найдите производную функции:

1) g(х) = 4х⁵ – 2х³ + 7х² – 8

2) у(х) = 6х – 5х⁶ + 1,5х⁴ + 3

3) f(х) = х⁷ + 0,8х⁴ – 3х⁵ – 9х

3

х ⁷

5

х

8

х ³

3

х²

7

х

4) у(х) = + – 5) f(х) = – +

4

х ⁵

3

8

6) g(х) = √ х – 6 √ х⁵ + 9 √ х⁴

1,8

⁷√х ⁸

5 .

³√х²

5

7) f(х) = √ х³ – +

8) у(х)= (3х² + 5)(4х⁴ – 7х) 9) g(х)= (8х – 2х³)(х² + 4х)

7х + 4 .

5х – 2х²

х² + 3х

2 –5 х

10) f(х) = 11) у(х) =

12) у = 5 cos х + 7 tg 13) у = 9 ctg х – 4sin х

14) у = 8arcsin х + 4arctg х

15) у = 4х³ – 7х + 2arctg х – 5arccos

16) у = 11cos х – 6х⁷ + 5arcsin х + 7

Найдите производную функции:

1) g(х) = 4х⁵ – 2х³ + 7х² – 8

2) у(х) = 6х – 5х⁶ + 1,5х⁴ + 3

3) f(х) = х⁷ + 0,8х⁴ – 3х⁵ – 9х

3

х ⁷

5

х

8

х ³

3

х²

7

х

4) у(х) = + – 5) f(х) = – +

4

х ⁵

3

8

6) g(х) = √ х – 6 √ х⁵ + 9 √ х⁴

1,8

⁷√х ⁸

5 .

³√х²

5

7) f(х) = √ х³ – +

8) у(х)= (3х² + 5)(4х⁴ – 7х) 9) g(х)= (8х – 2х³)(х² + 4х)

7х + 4 .

5х – 2х²

х² + 3х

2 –5 х

10) f(х) = 11) у(х) =

12) у = 5 cos х + 7 tg 13) у = 9 ctg х – 4sin х

14) у = 8arcsin х + 4arctg х

15) у = 4х³ – 7х + 2arctg х – 5arccos

16) у = 11cos х – 6х⁷ + 5arcsin х + 7

ВАРИАНТ № 1

Найти производную функций :

1) g(х) = 3х⁵ – 2х⁴ + 5х² – 9

2

х ³

7

х

4

х ⁵

2) у(х) = – +

8 .

⁴√х³

5

3) f(х) = √х⁷ + 3 √ х –

4) у(х) = 5sin x – 8 ctg x

5) y(x) = 3 arctg x + 4 arccos x

6) Найти значение производной в х₀ = – 2

2х – 3 .

g(х) =

3х² + 4х

7) Решите уравнение у ^/(х) = 4 , если

у(х) = 0,5х⁴ – х³ – 2,5х² + 4х – 3

ВАРИАНТ № 2

Найти производную функций :

1) f(х) = 2х⁷ + 6х⁴ – 5х³ – 8х

5

х ⁴

1

х ⁷

3

х

2) g(х) = + –

7 .

⁵√х⁴

6

3

3) у(х) = 6 √ х⁵ – √ х¹¹ +

4) y(x) = 2 tg x + 7 cos x

5) y(x) = 8arcsin x + 5 arcctg x

6) Найти значение производной в х₀ = – 1

3х² – 4х

f(х) =

5х + 2

7) Решите неравенство g ^/ (х) = – 5 , если

g(х) = 0,5х⁴ – 3х³ + 2х² – 5х

ВАРИАНТ № 3

Найти производную функций :

1) у(х) = 6х⁴ – 7х⁶ – х³ + 13

4

х ⁶

13

х

9

х ²

2) f(х) = – +

8 .

⁵√х³

4

7

3) g(х) = √ х⁹ + 8 √ х –

4) y(x) = 4 ctg x – 6 cos x

5) y(x) = 6 arccos x + 11 arctg x

6) Найти значение производной в х₀ = 2

7х + 4

у(х) =

2х² – 5

7) Решите уравнение f ^/ (х) = – 8 , если

1

3

f(х) = – 1,5х⁴ + х³ + 0,5х² – 8х

ВАРИАНТ № 4

Найти производную функций :

1) g(х) = 4х – 5х⁴ – 3х⁸ + 9х⁵

6

х

1

х ⁹

7

х ⁴

2) у(х) = + –

5 .

√х

9

3) f(х) = 8 √ х⁵ – √ х⁴ +

4) y(x) = 3 sin x + 15 tg x

5) y(x) = – 8 arcctg x + 5 arcsin x

6) Найти значение производной в х₀ = 1

5х² – 4

g(х) =

4х + 1

7) Решите неравенство у ^/ (х) = 7 , если

у(х) = – 2,25х⁴ + 2х³ – 0,5х² + 7х

ВАРИАНТ № 5

Найти производную функций :

1) f(х) = 8х³ + 3х⁷ – 2х⁴ – 11

2

х ⁴

3

х ⁸

5

х

2) g(х) = – –

10 .

⁶√х⁵

3

3) у(х) = 9 √ х⁷ + √ х³ –

4) y(x) = 17 ctg x – 6 cos x

5) y(x) = 9 arctg x + 14 arccos x

6) Найти значение производной в х₀ = – 4

3х – 5

f(х) =

х² + 3х

7) Решите уравнение g ^/ (х) = – 9 , если

4

3

g(х) = х⁴ + х³ + 0,5х² – 9х

ВАРИАНТ № 6

Найти производную функций :

1) у(х) = 5х⁶ – 9х² – 4х³ + 14х

8

х ²

15

х

2

х ⁶

2) f(х) = – + –

5 .

√х³

7

4

3) g(х) = 8 √ х⁹ – √ х⁴ +

4) y(x) = 7 cos x + 4 tg x

5) y(x) = 12 arccos x – 2 arcctg x

4) Найти значение производной в х₀ = 3

2х² + х

у(х) =

5х – 11

5) Решите неравенство f ^/ (х) = 6 , если

f(х) = – 0,5х⁴ – х³ + х² + 6х – 7

ВАРИАНТ № 1

Сформулируйте определения :

1) Определение двугранного угла .

2) Определение перпендикулярных плоскостей.

Сформулируйте и докажите теоремы:

3) Признак перпендикулярности плоскостей.

4) Теорема о прямой, которая образует равные углы с двумя пересекающимися прямыми.

ВАРИАНТ № 2

Сформулируйте определения :

1) Определение линейного угла.

2) Обязательно ли две плоскости перпендику-лярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируйте и докажите теоремы:

3) Теорема о плоскости перпендикулярной, линии пересечения двух плоскостей.

4) Теорема о двух пересекающихся плоскостях, которые образуют равные двугранные углы с третьей плоскостью.

ВАРИАНТ № 3

Сформулируйте определения :

1) Определение двугранного угла .

2) Определение перпендикулярных плоскостей.

Сформулируйте и докажите теоремы:

3) Признак перпендикулярности плоскостей.

4) Теорема о прямой, которая образует равные углы с двумя пересекающимися прямыми.

ВАРИАНТ № 4

Сформулируйте определения :

1) Определение линейного угла.

2) Обязательно ли две плоскости перпендику-лярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируйте и докажите теоремы:

3) Теорема о плоскости перпендикулярной, линии пересечения двух плоскостей.

4) Теорема о двух пересекающихся плоскостях, которые образуют равные двугранные углы с третьей плоскостью.

ВАРИАНТ № 1

1) Найти область определения функции :

√

– 5х² + 8х + 4

f(х) =

9х² – 6х + 1

2) Вычислить значение функции у(g(– 2)) , если

2х + 1 , х – 5

g(х) =

у(х) =

4 – 3х 4х + 1

3) Найти значение производной в точке х₀ = 3

f(х) = ( 2х² – 9х – 7 )⁴

4) Найти производные функций :

2

√

а) у(х) = √ 5х³ – 2х⁷ + 4 б) х² + 3х

f(х) =

5

2х – 1

ВАРИАНТ № 2

1) Найти область определения функции :

√ 6х² + х – 1

у(х) =

х² – 2х – 15

2) Вычислить значение функции g(f(3)) , если

3х – 5 , 5х + 2

f(х) =

g(х) =

х + 3 1 – 2х

3) Найти значение производной в точке х₀ = – 2

у(х) = ( 1 – 5х – 2х² )³

4) Найти производные функций :

4

а) g(х) = √ (4х⁵ + 3х² – 1)³ б) 1 – 3х

f(х) =

√

х² + 5х

ВАРИАНТ № 3

1) Найти область определения функции :

– х² + 7х + 8

g(х) =

√

– 5х² – 3х + 2

2) Вычислить значение функции f(у(– 3)), если

4х – 3 , 1 – 3х

у(х) =

f(х) =

3 + 2х х + 4

3) Найти значение производной в точке х₀ = 2

g(х) = ( х² – 5х + 3 )⁴

4) Найти производные функций :

4

9

√

а) f(х) = √ 9 + 2х⁶ – 5х⁴ б) 4 – х²

у(х) =

5х + 3

ВАРИАНТ № 4

1) Найти область определения функции :

√ – 3х² – 7х + 6

у(х) =

2х² + 3х – 5

2) Вычислить значение функции g(f(2)), если

3х + 5 , х – 4

g(х) =

f(х) =

1 – 2х 5х + 1

3) Найти значение производной в точке х₀ = – 3

у(х) = (– х² – 3х + 2 )⁵

4) Найти производные функций :

8

а) g(х) = √(3х⁵ + х⁹ – 4)⁵ б) 4 – 3х

f(х) =

√

х² + 5

Найти производную функций :

1) у = 4sin(5х – 7) 2) у = 3 cos(4 – 9х)

3) у = 6 ctg(8х + 1) 4) у = 7 tg(8 + 3х)

7 – 3х

4

5х – 6

9

5) у = 6 cos( ) 6) у = 8 ctg( )

7) у = 5arcsin(2х²) 8) у = 9 arccos (х – х²)

4х² – 7х

5

9) у = 3arctg( 4х + 3х²) 10) у = 2arctg ( )

11) у = cos 7х cos 3х + sin 7х sin 3х

12) у = 2sin 5х cos 2х 13) у = 3 tg 7х cos х

х

3

13) у = 6 sin arccos 2х

14) у = arctg(2х + х²) tg(5х)

Решить уравнение у ^/ = 0 если

1) у = 6√2 х – 4sin 3х + 7

2) у = 12√3 х + 3cos 8х – 9

3) у = arcsin( х – 3х²) 4) у= arctg(х³ + 6х² – 15х)

2

3

5) у = 12arccos х + √ (1 – х² )³

6) у = 2,5 arctg 2х + х² – 3х

Решить неравенство у ^/ 0

1) у = sin х – √3 cos х 2) у = 2х – cos² 2х

Решить неравенство у ^/

1) у = cos3х + sin 3х 2) у = 3√2 х – sin² 3х

Найти производную функций :

1) у = 4sin(5х – 7) 2) у = 3 cos(4 – 9х)

3) у = 6 ctg(8х + 1) 4) у = 7 tg(8 + 3х)

7 – 3х

4

5х – 6

9

5) у = 6 cos( ) 6) у = 8 ctg( )

7) у = 5arcsin(2х²) 8) у = 9 arccos (х – х²)

4х² – 7х

5

9) у = 3arctg( 4х + 3х²) 10) у = 2arctg ( )

11) у = cos 7х cos 3х + sin 7х sin 3х

12) у = 2sin 5х cos 2х 13) у = 3 tg 7х cos х

х

3

13) у = 6 sin arccos 2х

14) у = arctg(2х + х²) tg(5х)

Решить уравнение у ^/ = 0 если

1) у = 6√2 х – 4sin 3х + 7

2) у = 12√3 х + 3cos 8х – 9

3) у = arcsin( х – 3х²) 4) у= arctg(х³ + 6х² – 15х)

2

3

5) у = 12arccos х + √ (1 – х² )³

6) у = 2,5 arctg 2х + х² – 3х

Решить неравенство у ^/ 0

1) у = sin х – √3 cos х 2) у = 2х – cos² 2х

Решить неравенство у ^/

1) у = cos3х + sin 3х 2) у = 3√2 х – sin² 3х

ВАРИАНТ № 1

Найти производную функций :

1) у = 6 sin х – 8 cos х

2) у = 3 tg ( 5х + 2) + 8 ctg (4х² – 6х )

3) у = 5 arcsin 9х – 2 arctg 3х

4) Решить уравнение у ^/ = 0 , если

у = arcsin 2х + 2 √1 – 4х²

5) Решить неравенство у ^/

у = 4,5√3 х + cos 9х

ВАРИАНТ № 2

Найти производную функций :

1) у = 5 ctg х + 3 sin х

2) у = 7 cos (4 – 8х) – 6 tg ( 4х² + х )

3) у = 9 arctg 6х + 4 arccos 11х

4) Решить уравнение у ^/ = 0 , если

у = 4 arctg 3х – 2х

5) Решить неравенство у ^/ 0 , если

у = sin 16х + 8√2 х

ВАРИАНТ № 3

Найти производную функций :

1) у = 3 cos х – 13 sin х

2) у = 11 ctg (5х + 7) + 2 tg (3х – 8х²)

3) у = 5 arcsin 7х – 4 arctg 6х

4) Решить уравнение у ^/ = 0 , если

у = 5 arccos 3х – √1 – 9х²

5) Решить неравенство у ^/ ≤ 0 , если

у = cos 12х – 6х

ВАРИАНТ № 4

Найти производную функций :

1) у = 7 tg х + 4 cos х

2) у = 3 sin (5 – 7х) – 2 ctg ( 5х² + 4х)

3) у = 9 arctg 5х + 6 arccos 3х

4) Решить уравнение у ^/ = 0 , если

у = 3arctg 2х – х

5) Решить неравенство у ^/ ≥ 0 , если

у = 6х – 4 sin 3х

Под каким углом касательная к графику пересекается пересекает ось ОХ :

1) у = – 3х³ + 12х² + 11х – 7 , х₀ = 2

2) у = 3х³ + 4х² – 2х + 5 , х₀ = – 3

3) у = √ 6х – 15 , х₀ = 3

4) у = √ 1 – 2х , х₀ = – 1

3х + 7

9 – 5 х

4х – 3

2х + 5

5) у = х₀ = – 4 6) у = х_о = 2

Написать уравнение касательная .

7) у = х³ – 5х² + 4х – 3 , х₀ = 2

8) у = – х³ + 3х² + 5 – 6 х₀ = – 1

9) у = ln(8х – 13) ,х₀ = 2 10) у = ln(х² – 4х) , х₀ = 3

х² + 4х

2х² – 4х

11) у = е , х₀ = 2 12) у = е , х₀ = – 4

13) В каких точках графика у = 2х³ – 5х² – √3х + 8

касательная образует с осью ОХ угол 120⁰.

14) В каких точках графика у = х³ + 0,5х² + 5х – 3

касательные параллельны прямой у = 7х + 4 .

15) В каких точках графика у = ⅓х³ – 4х² + 4х – 6

касательная перпендикулярна прямой у = ⅓х + 5

Под каким углом касательная к графику пересекается пересекает ось ОХ :

1) у = – 3х³ + 12х² + 11х – 7 , х₀ = 2

2) у = 3х³ + 4х² – 2х + 5 , х₀ = – 3

3) у = √ 6х – 15 , х₀ = 3

4) у = √ 1 – 2х , х₀ = – 1

3х + 7

9 – 5 х

4х – 3

2х + 5

5) у = х₀ = – 4 6) у = х_о = 2

Написать уравнение касательная .

7) у = х³ – 5х² + 4х – 3 , х₀ = 2

8) у = – х³ + 3х² + 5 – 6 х₀ = – 1

9) у = ln(8х – 13) ,х₀ = 2 10) у = ln(х² – 4х) , х₀ = 3

х² + 4х

2х² – 4х

11) у = е , х₀ = 2 12) у = е , х₀ = – 4

13) В каких точках графика у = 2х³ – 5х² – √3х + 8

касательная образует с осью ОХ угол 120⁰.

14) В каких точках графика у = х³ + 0,5х² + 5х – 3

касательные параллельны прямой у = 7х + 4 .

15) В каких точках графика у = ⅓х³ – 4х² + 4х – 6

касательная перпендикулярна прямой у = ⅓х + 5

ВАРИАНТ № 1

Под каким углом касательная к графику функции пересекает ось ОХ :

1) у = х³ + х² – 2х + 3 , х₀ = – 1

2) у = √ 4х – 4 , х₀ = 4

3) 4 – 5х ,

х₀ = – 2

у =

2х + 3

Написать уравнение касательной :

4) у = – х³ + 4х² – 3х + 2 , х₀ = 1

π

4

5) у = 1,5 – sin 2х , х₀ =

6) В каких точках графика у = х³ – 4х² – 4х + 5 касательная образует с осью ОХ угол 135⁰ .

7) Найдите координаты точек в которых касательные к графику функции у =

2х – 2

х + 1

имеют угловой коэффициент 16. имеют

ВАРИАНТ № 2

Под каким углом касательная к графику функции пересекает ось ОХ :

1) у = х³ – 3х² + 2х + 5 , х₀ = 1

2) у = √ 6х – 9 , х₀ = 2

3) 5х – 3 ,

х₀ = – 1

у =

3х + 4

Написать уравнение касательной :

4) у = – х³ + 5х² – 3х – 6 , х₀ = – 2

π

9

5) у = 2 + tg 3х , х₀ =

6) В каких точках графика у = х⁴ – 2х² + 5х касательные параллельных прямой у = 5х – 3 .

7) Найти координаты точек в которых касательные к графику функции у = угловой коэффициент 9 .

2х – 3

х + 3

ВАРИАНТ № 3

Под каким углом касательная к графику функции пересекает ось ОХ :

1) у = 2х³ – 5х² – 3х + 4 , х₀ = 2

2) у = √ 5 – 2х , х₀ = 1

3) 4х + 1 ,

х₀ = – 2

у =

7 + 3х

Написать уравнение касательной :

4) у = х³ + 3х² – 7х – 2 , х₀ = – 1

π

12

5) у = cos 4х + 1 , х₀ =

1

3

6) В каких точках графика у = х³ + 3х² – 7х – 2

касательные образуют с осью ОХ угол 45⁰ .

7) Найдите координаты точек в которых касательные к графику функции у =

х + 4 х – 5

имеют угловой коэффициент (– 1 )

ВАРИАНТ № 4

Под каким углом касательная к графику функции пересекает ось ОХ :

1) у = – 2х³ + 3х² + 13х – 6 , х₀ = 2

2) у = √ 9 – 6х , х₀ = 1

3) 3х – 2 ,

х₀ = – 1

у =

4х + 3

Написать уравнение касательной :

4) у = х³ – 4х² + 5х – 3 , х₀ = 2

π

18

5) у = 3 – ctg 6х , х₀ =

6) В каких точках графика у = х³ – 5х² – х + 3 касательные перпендикулярны прямой у = –0,25х + 7 .

7) Найдите координаты точек в которых касательные к графику функции у =

3х – 5

х – 3

имеют угловой коэффициент (– 36 ) .

1) Закон движения тела S = ⅓ t³ – 3t² – 4t . Какой путь прошло с начала движения до того, как скорость стала 3 ^м/_с.

2) Какое ускорение было у тела в момент, когда скорость тела стала 8^м/_с , если тело двигалось по закону S = t³ – 5t² + 6t

3) Какой путь прошло тело за время, пока его скорость была отрицательной, если закон его движения S = ⅓ t³ – 3t² + 8t .

4) Сколько времени двигалось тело с отрицательным ускорением, если закон его движения S = 2t³ – 18t² + 3t + 2 .

5) Какой путь прошло тело до того, как скорость стала 3 ^м/_с , если оно двигалось по закону S = 2t³ – 11t² – 8t .

6) Какой путь прошло тело за время, пока его скорость была положительной, если оно двигалось по закону

S = – ⅓ t³ + 4,5t² – 4 .

7) Тело двигается по закону S = t³ – 2t² + t – 4 . Найдите кинетическую энергию тела и силу действующую на него через 3с после начала движения, если масса тела 2,5кг.

8) Тело двигается по закону S = 2t⁴ + 3t² – 7 . Найдите импульс тела и силу действующую на тело через 5с после начала движения, если его масса 1,2кг .

9) Тело движется по закону S = t³ – 3t² – 11t + 2 . Найдите ускорение тела в момент когда скорость тела 13 ^м/_с .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1) Тело движется так, что расстояние от начальной точки меняется по закону S = 5t – 3t² + 2t³ – 7 . Найдите скорость и ускорение через 2с после начала движения.

2) Тело движется по закону S = 5t² – 8t + 3 . Найдите силу действующую на тело и кинетическую энергию через 2с после начала движения, если его масса 3кг.

3) Какой путь прошло тело за то время, пока его скорость была отрицательной, если двигалось по закону

S = ⅓ t³ – 3,5t² + 10t .

1) Закон движения тела S = ⅓ t³ – 3t² – 4t . Какой путь прошло с начала движения до того, как скорость стала 3 ^м/_с.

2) Какое ускорение было у тела в момент, когда скорость тела стала 8^м/_с , если тело двигалось по закону S = t³ – 5t² + 6t

3) Какой путь прошло тело за время, пока его скорость была отрицательной, если закон его движения S = ⅓ t³ – 3t² + 8t .

4) Сколько времени двигалось тело с отрицательным ускорением, если закон его движения S = 2t³ – 18t² + 3t + 2 .

5) Какой путь прошло тело до того, как скорость стала 3 ^м/_с , если оно двигалось по закону S = 2t³ – 11t² – 8t .

6) Какой путь прошло тело за время, пока его скорость была положительной, если оно двигалось по закону

S = – ⅓ t³ + 4,5t² – 4 .

7) Тело двигается по закону S = t³ – 2t² + t – 4 . Найдите кинетическую энергию тела и силу действующую на него через 3с после начала движения, если масса тела 2,5кг.

8) Тело двигается по закону S = 2t⁴ + 3t² – 7 . Найдите импульс тела и силу действующую на тело через 5с после начала движения, если его масса 1,2кг .

9) Тело движется по закону S = t³ – 3t² – 11t + 2 . Найдите ускорение тела в момент когда скорость тела 13 ^м/_с .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1) Тело движется так, что расстояние от начальной точки меняется по закону S = 5t – 3t² + 2t³ – 7 . Найдите скорость и ускорение через 2с после начала движения.

2) Тело движется по закону S = 5t² – 8t + 3 . Найдите силу действующую на тело и кинетическую энергию через 2с после начала движения, если его масса 3кг.

3) Какой путь прошло тело за то время, пока его скорость была отрицательной, если двигалось по закону

S = ⅓ t³ – 3,5t² + 10t .

1) Тело движется по закону S = 2t⁴ – 5t² + 7t – 8 . Найдите скорость и ускорение тела через 2с после начала движения.

2) Тело движется по закону S = t² – 2t³ – 7t + 3 . Найти кинетическую энергию тела через 4с после начала движения, если масса тела 0,3кг.

3) Тело движется по закону S = t³ – 2t² + 9t – 5 . Найти силу действующую на тело через 3с после начала движения, если масса тела 0,25кг .

4) Тело движется по закону S = 0,5t⁴ – 6t² + 4t – 5 . Найти импульс тела через 5с после начала движения, если масса тела 0,2кг.

5) Найти ускорение тела в момент, когда скорость тела стала 9 ^м/_с , если тело двигалось по закону

S = t³ – 2,5t² + 7t + 3 .

6) Какой путь прошло тело за время пока его скорость была положительной , если тело двигалось по закону S = – ¹/₃ t³ + 2t² – 3t .

7) Какой путь прошло тело до того, как скорость стала 6 ^м/_с , если оно двигалось по закону S = t³ – 1,5 t² + 4 .

) Тело движется по закону S = 2t⁴ – 5t² + 7t – 8 . Найдите скорость и ускорение тела через 2с после начала движения.

2) Тело движется по закону S = t² – 2t³ – 7t + 3 . Найти кинетическую энергию тела через 4с после начала движения, если масса тела 0,3кг.

3) Тело движется по закону S = t³ – 2t² + 9t – 5 . Найти силу действующую на тело через 3с после начала движения, если масса тела 0,25кг .

4) Тело движется по закону S = 0,5t⁴ – 6t² + 4t – 5 . Найти импульс тела через 5с после начала движения, если масса тела 0,2кг.

5) Найти ускорение тела в момент, когда скорость тела стала 9 ^м/_с , если тело двигалось по закону

S = t³ – 2,5t² + 7t + 3 .

6) Какой путь прошло тело за время пока его скорость была положительной , если тело двигалось по закону S = – ¹/₃ t³ + 2t² – 3t .

7) Какой путь прошло тело до того, как скорость стала 6 ^м/_с , если оно двигалось по закону S = t³ – 1,5 t² + 4 .

ВАРИАНТ № 1

1) Сторона ОР квадрата ОРКД лежит в плоскости β. Найти диагональ квадрата, если угол между плоскостью квадрата и плоскостью β равен 30⁰ , а расстояние от точки К до плоскости β равно 6см.

2) В тетраэдре АВСД ребро АВ перпендикулярно плоскости правильного треугольника ВДС. Найти двугранные углы АВСД и АСДВ, если АВ = 15см АС = 17см.

3) В треугольнике АВС ,  А = 90⁰, АВ = 8см , АС = 6см через вершину С проведён отрезок СР так, что точка Р проектируется на сторону АВ и  РСА =  РСВ . Расстояние от точки Р до плоскости треугольника равно √19 см . Найти отрезок СР.

ВАРИАНТ № 2

1) Равнобедренный треугольник КВР, с основанием КР = 10см, и квадрат КРСЕ лежат в разных плоскостях. Найти сторону КВ, если  ВКРС = 60⁰, а точка В проектируется в середину стороны СЕ .

2) В тетраэдре АВСД основание _Δ ВДС с прямым углом Д и ВД = 8см, ДС = 6см. Найти двугранные углы  АВСД и АВДС , если АС = 13см, а точка А проектируется в центр описанной окружности около основания.

3) В прямоугольнике АВСД диагональ АС = 17см, АД = 15см . Через вершину А проведён отрезок АН так, что точка Н проектируется на сторону ВС и двугранные углы  НАВС и  НАДВ равны . Найти расстояние от точки Н до плоскости прямоугольника, если АН = 12см .

ВАРИАНТ № 3

1) Треугольник ОМД, с прямым углом М, и прямоуголь-ник МДКТ, лежат в разных плоскостях, двугранный угол между которыми 30⁰. Тоска О проектируется в точку Т. Найти сторону МТ, если МД = 8см , ОД = 17см.

2) В тетраэдре ВСАД ребро ВС перпендикулярно плоскости треугольника СДА, в котором АС = СД = 13см АД = 10см. Найти двугранные углы  ВСАД и  ВАДС, если ВД = 15см.

3) В треугольнике АВС АВ = ВС = 6см АС = 4см . Через вершину А проведён отрезок АТ так, что точка Т проектируется на сторону ВС и двугранные углы ТАВС и ТАСВ равны . Расстояние от точки Т до плоскости треугольника равно 1,5см . Найти расстояние между точками Т и В .

ВАРИАНТ № 4

1) Основание КТ равнобедренного треугольника КРТ лежит в плоскости γ , а вершина Р удалена от плоскости γ на 4см. Угол между плоскостью γ и плоскостью треугольника равен 60⁰ . Найти КТ , если КР = 5см .

2) Основанием тетраэдра САВД служит прямоугольный треугольник АВД с прямым углом В и катетами 12см и 16см. Точка С проектируется в центр описанной окружности около основания. Найдите двугранные углы  САВД и САДВ , если ВС = 26см.

3) В квадрате АВСД со стороной равной 6√2 см , проведён отрезок АМ = 13см так, что образует равные углы со сторонами АВ и АД . Расстояние от точки М до плоскости квадрата равно 5см . Найти точку в которую проектируется точка М .

ВАРИАНТ № 1

Определить монотонность

функций:

1) у = 5х² + х – 8

2) у = – 2х³ + 9х² + 15

3) у = х⁴ – 18х² + 7

3

4) у = √(х² – 3х)²

5) 2х² – 3х

у =

х – 4

6) Определить промежутки убывания функции :

у = 2√3 х + cos 4x

ВАРИАНТ № 2

Определить монотонность

функций:

1) у = – 4х² + 3х – 2

2) у = х⁵ – 15х³ + 7

3) у = 3х³ + 4х² – х + 1

4) у = √ – х² – 3х + 4

5) х² + 2х

у =

х + 2

6) Определить промежутки возрастания функции :

у = 2sin 3x – 3√3 x

ВАРИАНТ № 3

Определить монотонность

функций:

1) у = 3х² – 7х + 5

2) у = 12х – х³ + 8

3) у = х³ + 3х⁴ – 8

3

4) у = √ 3х² – 5х + 2

5) х – 5

у =

х² + х

6) Определить промежутки убывания функции :

у = 1,5х – cos 3x

ВАРИАНТ № 4

Определить монотонность

функций:

1) у = – 2х² – 5х + 3

2) у = х⁴ + 4х³ – 8х² – 1

3) у = 7 – х⁵ + 15х³

4) у = √ х³ – 6х²

5) 4х – 3

у =

х² – 1

6) Определить промежутки возрастания функции :

у = sin 2х – √2 х

ВАРИАНТ № 5

Определить монотонность

функций:

1) у = – 7х² + 10х – 5

2) у = 3х⁴ – 1,5х² – 9

3) у = 5х – х⁵ + 3

3

4) у = √ (4х² – 9)²

5) 2х² + 3

у =

х – 5

6) Определить промежутки убывания функции :

у = cos 4x + 2√2 х

ВАРИАНТ № 6

Определить монотонность

функций:

1) у = х² + 9х – 1

2) у = 4х² – х³ – 3х + 5

3) у = 3х⁵ + 2х⁴ – 1

4) у = √ 4х² – х³

5) х² + 3

у =

х² + 2х

6) Определить промежутки возрастания функции :

у = 2х + sin 4х

ВАРИАНТ № 1

Найти точки экстремума:

1) у = – х² + 2х – 2

2) y = x³ + 6x – 3

1

x²

3) y = x +

3

4) y = √ х³ + 5х² + 3х

ВАРИАНТ № 2

Найти точки экстремума:

1) y = 2x² – 8x – 3

2) y = 3x⁴ + 4x³ + 1

3) y = √9 – x²

1

x²

4) y = x² +

ВАРИАНТ № 3

Найти точки экстремума:

1) y = – x² – 6x – 1

2) y = x³ – 12x + 7 ,

16

x²

3) y = x² +

4) y = √ х³ – х² – 5х

ВАРИАНТ № 4

Найти точки экстремума:

1) y = x² + 4x – 5

2) y = – x⁴ + 8x² + 1

3

3) y = √ (х³ – 6х )²

3х – х²

2 + х

4) y =

ВАРИАНТ № 5

Найти точки экстремума:

1) y = – x² + 6x + 4

2) y = x³ + 3x² – 7

3) y = √6x – x²

18

x