Сборник практических заданий по дисциплине «Математика» Для специальностей, реализующихся на базе основного общего образования. Гуманитарный профиль

Министерство образования и науки Челябинской области

государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение

«Южно-Уральский многопрофильный колледж»

Методическая разработка

Сборник практических заданий

по дисциплине «Математика»

Для специальностей, реализующихся на базе

основного общего образования.

Гуманитарный профиль

г. Челябинск, 2017

ОДОБРЕНО

Цикловой методической комиссией

ЕН дисциплин (ЮК).

Протокол № 1

« 13 » сентября 2017 г.

Председатель ЦМК

____________ О.Н.Суханова

Составитель: М.А. Вуйлова, преподаватель математических дисциплин ГБПОУ

«Южно-Уральский многопрофильный колледж»

Рецензент: Н.А. Полоскова, преподаватель математики ГБПОУ «Южно-

Уральский многопрофильный колледж»

Пособие предназначено для студентов 1 курса, обучающихся по указанной специальности.

В пособии рассматриваются базовые темы школьной программы, знание которых необходимо для дальнейшего успешного усвоения программного материала.

По каждой теме проводится актуализация опорных знаний, приводятся задания для практических работ, предлагаются индивидуальные задания для самостоятельной работы.

Пособие может быть использовано для проведения занятий на подготовительных курсах и в группах выравнивания.

Введение

I. Общие положения

Методические указания к практическим занятиям по математике составлены для подготовки специалистов по специальности 40.02.03 Право и судебное администрирование в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика», разработанной в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта   среднего общего образования, утвержденного приказом Минобрнауки России от 17 мая 2012г. № 413), приказом Минобрнауки России от 29.06.2017 N 613"О внесении изменений в федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 г. N 413"

Данный комплект предназначен для организации и проведения 20 практических занятий по математике в группах 1 курса специальности 40.02.03 Право и судебное администрирование. Перечень практических занятий соответствует рабочей программе и календарно-тематическому плану учебной дисциплины «Математика».

В результате выполнения практических работ у студентов должны сформироваться следующие умения:

• выполнять арифметические действие над числами, находить приближенные значения величины и погрешности вычислений, сравнивать числовые выражения;

• выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

• строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

• применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера;

• составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах;

• вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

• использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

II. Организация практического занятия:

В основу организации практического занятия положен принцип КМД (коллективной мыслительной деятельности):

• группа делится на 6 микрогрупп (по 4 человека);

• в каждой микрогруппе определяется лидер, который координирует деятельность всей группы, осуществляет контроль за ходом работы, оценивает деятельность членов своей группы на занятии;

• студенты отвечают на теоретические вопросы лидеру группы, работают над выполнением практического задания (при этом имеют возможность пользоваться учебной и справочной литературой, конспектами учебных занятий; могут консультироваться друг с другом);

• по мере выполнения работы лидер каждой микрогруппы отчитывается о своей деятельности перед преподавателем, а затем проверяет и оценивает работу каждого члена своей группы.

На протяжении всего практического занятия преподаватель осуществляет контроль за ее ходом, при необходимости, оказывает помощь.

III. Оформление работы:

Практическая часть работы оформляется в тетрадях

IV. Оценка деятельности студентов:

По результатам выполнения теоретических и практических заданий лидер группы заполняет ведомость, в которой ставится отметка по каждому виду задания.

При условии правильного выполнения 2/3 задания работа считается зачтенной.

Перечень практических работ по математике

	Наименования темы	Кол-во часов
№1	«Действия с приближенными данными. Погрешность приближения»	2
№2	«Вычисление логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений»	2
№3	«Тождественные преобразования тригонометрических выражений»	2
№4	«Тождественные преобразования обратных тригонометрических выражений»	2
№5	«Решение тригонометрических уравнений»	2
№6	«Исследование функций»	2
№7	«Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств»	2
№8	«Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности»
№9	«Дифференцирование функций»	2
№10	«Исследование функций с помощью производной»	2
№11	«Решение физических и геометрических задач с помощью производной»	2
№12	«Вычисление неопределенного интеграла»	2
№13	«Вычисление определенного интеграла»	2
№14	«Решение иррациональных уравнений»	2
№15	«Решение задач с применением вероятностных методов»	2
№16	«Решение задач на двугранный угол»
№17	«Решение задач на перпендикуляр и наклонную к плоскости, теорему о трех перпендикулярах, угол прямой с плоскостью»	2
№18	«Вычисление элементов, площади поверхности и объема призмы и пирамиды»	2
№19	«Вычисление элементов, площади поверхности и объемов цилиндра, конуса и шара»	2
№20	«Действия над векторами»	2

Практическая работа № 1

Тема: «Действия с приближенными данными. Погрешность приближения»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

действительное число, абсолютная и относительная погрешности, верные и сомнительные числа.

• выработка практических навыков:

в нахождении приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной);

в выполнении с заданной точностью арифметических действий на микрокалькуляторе.

Актуализация опорных знаний

1. В чем заключается метод границ?

2. Как определить границы величин KX, –KX, , X+Y, X-Y, если известны границы величин X и Y?

3. Что называется абсолютной погрешностью приближения? Как она обозначается?

4. Что показывает абсолютная погрешность?

5. Как записывается приближенная величина с учетом погрешности?

6. Как по записи величины с учетом погрешности определить ее верхнюю и нижнюю границы?

7. Что называется относительной погрешностью приближения? Как она обозначается?

8. Что показывает относительная погрешность?

9. Как, зная относительную погрешность, определить абсолютную?

10. Сформулировать правило сложения (вычитания) приближенных чисел с учетом погрешности

11. Сформулировать правило умножения (деления) приближенных чисел с учетом погрешности

Задания для практической работы

1.Пусть 4,7 xy

Определите границы величин ; Х+5У

2.Число 0,0123 округлите до двух значащих цифр и определите абсолютную погрешность.

3. Определите границы чисел 32,18±0,03 129±0,5

4. Определите относительную погрешность числа 8,71±0,005

5. Найдите верхнюю и нижнюю границы приближенного числа 13,25, если оно вычислено с относительной погрешностью 7%

6. Пусть X=54,07±0,002 Y=1,8±0,07

Вычислите сумму, разность, произведение и частное

Практическая работа № 2

Тема: «Вычисление логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений»

Цели:

• закрепление ключевых понятий: логарифм, основное логарифмическое тождество, логарифмирование, потенцирование;

• выработка практических навыков: в вычислении логарифма числа по заданному основанию; в применении основного тригонометрического тождества; в логарифмировании и потенцировании выражений.

Актуализация опорных знаний

1. Что называется логарифмом числа В по основанию а?

2. Перечислите основные свойства логарифмов

3. Какие логарифмы называются:

а) натуральными?

б) десятичными?

1. Записать основное логарифмическое тождество

2. Какое действие называется логарифмированием?

3. Как называется действие обратное логарифмированию?

Задания для практической работы

1 Вычислить:

а) log₄16; log₂0,5; log₂25; lg100; lg0,0001; log₇7; lg1

б) 3 log₅ lg1000; 0,3 log₅ 125 – 0,1 log₆

2 Найти число С, если:

log₃С=2; log_0,1 С= -2; log₄ С = 1; log_0,8 С=0; lgС= - 4

3.Найти число а, если:

log_а49=2; log_а 125= -3; log_а 3= 0,5;

4.Вычислить:; 3 ; 6; 10

5. Прологарифмируйте выражение по заданному основанию:

а) (осн. 2); б) (осн. 10)

6. Найдите Х, если

а) ;

б)

Практическая работа № 3

Тема: «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента;

знаки функций в четвертях; основные свойства каждой функции (четность/нечетность, периодичность);

• выработка практических навыков:

в преобразовании тригонометрических выражений с применением теорем сложения и следствий из них;

Актуализация опорных знаний

В чем заключается основное тригонометрическое тождество? Что оно выражает?

Как найти sin α, если известен cosα? ctgα? tgα?

В чем заключаются теоремы сложения?

Почему их можно назвать основными формулами тригонометрии?

Записать формулы двойного угла.

В чем суть формул приведения?

Записать формулы преобразования суммы (разности) одноименных тригонометрических функций в произведение.

Задания для практической работы

1. Вычислите: , если четверти.

2.Вычислите: а) б)

3.Определите , если четверти

4.Пользуясь формулами приведения, найдите: ; ; ;

5.Упростите выражения:

6.Докажите тождество:

7.Преобразуйте в произведение:

Практическая работа № 4

Тема: «Тождественные преобразования обратных тригонометрических функций»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числового аргумента;

• выработка практических навыков:

в вычислении обратных тригонометрических функций;

в решении простейших тригонометрических уравнений;

Актуализация опорных знаний

1. Что называется arcsin a? arсcos a? arctg a? arcctg a?

2. Какие значения могут принимать x и y для функций:

1. Как вычислить arcsin и arctg от отрицательного аргумента?

2. Как вычислить arсcos и arcctg от отрицательного аргумента?

Задания для практической работы

1.Вычислите:

а) arcsin , если ; 1;0; ; -1 в) arсcos , если ; 1;0; ; -1

б) arctg , если ; -1 г) arcctg , если

2.Найдите значение каждого выражения:

а)

б)

в)

г)

д)

е) ж)

Практическая работа № 5

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

уравнения, решение уравнений, основные типы тригонометрических уравнений;

• выработка практических навыков:

в решении типовых уравнений:

однородных 1 и 2 степени, сводящихся к квадратным, решаемых методом разложения на множители и с применением теорем сложения.

Актуализация опорных знаний

• Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими?

• Какие значения может принимать число a в уравнениях sin x=a и cosx = a?

• Какие значения может принимать число a в уравнениях tgx=a и ctgx=a?

• Какие случаи в тригонометрических уравнениях называются частными?

Сколько решений имеет тригонометрическое уравнение?

• Основные типы тригонометрических уравнений.

• Алгоритм решения уравнений, сводящихся к квадратным.

• Какие уравнения называются однородными? Алгоритм решения однородных уравнений.

Задания для практической работы

1.Решите простейшие уравнения:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е)

2.Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функций»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

функция, значения функции в точке, D и E функции, основные свойства функции (четность, монотонность);

• выработка практических навыков:

в определении значения функции и значения аргумента при графическом способе задания функции; в построении графиков элементарных функций.

Актуализация опорных знаний

1.Что называется функцией?

2.Как вычислить значение функции в данной точке?

3.Как вычислить значение аргумента по известному значению функции?

4.Что называется областью определения функции? Как она обозначается?

5.Что называется областью значения функции? Как она обозначается?

6.Что называется четностью функции, нечетностью функции?

8.Что называется монотонностью функции?

Задания для практической работы

1. Найдите значения функций в точках: х₁=1; х₂= -1; х₃=

а) f(х)= ; б) ; в) f(х) = 2- 3sin x

2.Найдите D(f(x)) и Е(f(x)) функций:

а) в) f(х)=

б) г) f(х)=1+ sin (х+ )

3.Определите нули функций:

а) б)

в) г)

4. Какая из предложенных функций четная, а какая нечетная:

а) y = х² – 5 б) y = х² – 5х в) y = х² + cos х

г) y = х³ – 2х – 4

5.По графику определить промежутки возрастания и промежутки убывания функции:

Практическая работа № 7

Тема: «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

уравнение, решение уравнения, ОДЗ, неравенства, свойства неравенств;

область определения логарифмических функции, монотонность показательной и логарифмической функций;

• выработка практических навыков:

в решении простейших уравнений и неравенств;

в решении типовых уравнений.

Актуализация опорных знаний

• Какие уравнения называются показательными?

• Какие неравенства называются простейшими показательными?

• На каком свойстве показательной функции основано решение показательных неравенств?

• Какие уравнения называются логарифмическими?

• Уравнения какого вида называются простейшими логарифмическими?

Зачем при решении логарифмических уравнений необходимо находить О.Д.З. или проводить проверку?

• Какие неравенства называются простейшими логарифмическими?

На каком свойстве логарифмической функции основано решение логарифмических неравенств?

Задания для практической работы

1.Решите простейшие показательные уравнения:

а) ; б) ; в)5^х = 125;

2. Решите показательные неравенства:

а) 1 в)

3.Решите простейшее уравнение:

4.Решите уравнения:

а)

б)

5.Решите неравенства:

а)

б)

в)

Практическая работа № 8

Тема: «Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

предел функции в точке, предел функции на бесконечности, бесконечно малая функция, бесконечно большая функция

• выработка практических навыков:

в вычислении пределов функции в точке и на бесконечности;

в раскрытии неопределенностей вида ; .

Актуализация опорных знаний	Задание для практической работы
1. Предел функции в точке
Что называется пределом функции в точке ? Сколько пределов может иметь функция в данной точке? Сформулировать теоремы о пределах. В каком случае теорему о пределе частного применять нельзя? Как избавиться от неопределенности вида?	Вычислить пределы следующих функций: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
2. Предел функции на бесконечности
Какая функция называется бесконечно малой? Как она обозначается? Какая функция называется бесконечно большой? Как она обозначается? Сформулировать теоремы о б/м и б/б. Как избавиться от неопределенности вида?	Вычислить пределы следующих функций: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Практическая работа № 9

Тема: «Дифференцирование функций»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

производная функции, дифференциал, сложная функция, производная сложной функции;

• выработка практических навыков:

в применении формул дифференцирования; в вычислении производной сложной функции,

в вычислении дифференциала функции.

Актуализация опорных знаний

• Что означает термин «приращение»? Как найти приращение аргумента? Как найти приращение функции?

• Что называется производной функции в точке? Как называется действие нахождения производной?

• Как обозначается производная функции?

• Чему равна производная алгебраической суммы нескольких функций?

• Как вычислить производную произведения? Как вычислить производную частного?

• Какая функция называется сложной? Как найти производную сложной функции?

• Что называется дифференциалом функции? Как обозначается дифференциал функции?

Задания для практической работы

1. Вычислите производную функции:

а) б) в)

2. Найдите производную функции y=f(x) и вычислить ее значение в точке х₀:

а) , х₀=2 б) , х₀= -1

3. Найдите производную сложной функции:

а) б) в)

4. Найдите дифференциалы следующих функций:

5. Вычислить значение дифференциала следующих функций:

, если х=2,

, если

Практическая работа № 10

Тема: «Исследование функций с помощью производной»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

функция, график функции, монотонность, экстремум, алгоритм

• выработка практических навыков:

в исследовании функций и построении их графиков;

в определении характера монотонности функций в зависимости от знака производной.

Актуализация опорных знаний

Задания для практической работы

Какая функция называется возрастающей (убывающей) на заданном промежутке? Какие углы образует касательная к графику возрастающей (убывающей) функции? Какой знак имеет угловой коэффициент касательной к графику возрастающей (убывающей) функции? Сформулировать признак возрастания (убывания) функции. Сформулировать признак максимума (минимума) функции. Какие точки графика функции называются критическими? Как найти критические точки? Что означает термин «экстремум функции»? Записать алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум.

Исследовать функцию и построить ее график:

1. Определить характер монотонности функции на каждом интервале:

х
f	+	-	+	+	-	-	+
f(x)

1. Используя данные таблицы, определить знак производной на каждом интервале:

х
f
f(x)

1. Используя функции, определить знак производной на каждом интервале:

Практическая работа № 11

Тема: «Решение физических и геометрических задач с помощью производной»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

физический смысл производной – скорость изменения функции;

геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной

• выработка практических навыков:

в определении скорости и ускорения материальной точки в заданный момент времени с помощью производной;

в определении углового коэффициента касательной, в составлении уравнения касательной к графику функции в заданной точке.

Актуализация опорных знаний

• В чем заключается физический смысл производной?

• Как найти мгновенную скорость прямолинейного движения, если задан закон движения?

Как найти ускорение в данный момент времени?

• В чем заключается геометрический смысл производной?

• Какую прямую называют касательной к графику функции?

• Как определить угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в заданной точке (x_o;y_o)?

• Как вычислить координаты точки, в которой касательная к графику функции составляет с осью ОХ заданный угол?

• Записать уравнение касательной в общем виде.

Какие значения следует вычислить, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке?

Задания для практической работы

1. Вычислите скорость и ускорение материальной точки в момент времени t₁=3 сек. и t₂=5 сек., если задан закон движения:

S=2t³-5t²+3(м)

2. Закон движения материальной точки выражается уравнением S=3t²-12t+27(м).

Вычислите:

а) скорость точки в момент времени t₁=3 сек.

б) момент времени t_о, когда точка остановится.

3. Определите угол наклона касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_o

f(x) ; f(x) ;

4. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_o

f(x) ;

f(x) ;

5. Определите координаты точки, в которой касательная, проведенная к графику функции y=f(x)

а) параллельна оси ОХ;

б) составляет с осью ОХ угол α

f(x), α=45^о

Практическая работа № 12

Тема: «Вычисление неопределенного интеграла»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

первообразная, неопределенный интеграл, формулы интегрирования;

• выработка практических навыков:

в нахождении первообразной для данной функции, в вычислении неопределенного интегралов по формулам интегрирования.

Актуализация опорных знаний

• Какая функция называется первообразной?

• Как называется действие нахождения первообразной?

• Сколько первообразных может иметь функция?

• Что значит:

-«записать общий вид первообразных функций»

-«указать одну из первообразных функций»

- «указать первообразную, график которой проходит через заданную точку»?

• Что называется неопределенным интегралом?

• Свойства неопределенного интеграла.

Как проверить правильность интегрирования?

Задания для практической работы

1.Запишите общий вид первообразных для функции y=f(x):

а)

б)

в)

2. Укажите одну из первообразных функции y=f(x):

а) f(x)

б) f(x)

в) f(x)

3. Определите первообразную функции y=f(x), график которой проходит через точку М:

а) f(x) М(2;-4)

б) f(x) М(

4. Найдите неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

Практическая работа № 13

Тема: «Вычисление определенного интеграла»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

первообразная, неопределенный интеграл, определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница, криволинейная трапеция, площадь криволинейной трапеции.

• выработка практических навыков:

в вычислении определенных интегралов, в построении фигур, заданных уравнениями линий, в определении площадей плоских фигур;

в применении определенного интеграла для решения физических задач.

Актуализация опорных знаний

• Что называется определенным интегралом?

• Записать формулу Ньютона-Лейбница.

• Как вычислять интеграл по этой формуле?

• При каком условии определенный интеграл равен нулю?

Как изменится интеграл, если его пределы поменять местами?

• Какая фигура называется криволинейной трапецией?

• Записать формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Как вычислить площадь плоской фигуры, не являющейся криволинейной трапецией?

• В чем заключается физический смысл определенного интеграла?

Записать формулу для вычисления пути, пройденного телом за определенный промежуток времени.

Задания для практической работы

1. Вычислите определенные интегралы:

а) в)

б)

2.Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) и y=0

б) ; x=1; х=3; у=0 (Сделайте чертеж).

3. Найдите путь, пройденный телом от начала движения до остановки, если скорость движения изменяется по закону (м/с).

Практическая работа № 14

Тема: «Решение иррациональных уравнений»

Цели:

• закрепить ключевые понятия:

уравнения, решение уравнений, ОДЗ, основные типы иррациональных уравнений;

• выработать практические навыки:

в решении простейших иррациональных уравнений;

в решении типовых иррациональных уравнений.

Актуализация опорных знаний

• Какие уравнения называются иррациональными?

• Уравнения какого вида называются простейшими иррациональными?

• Зачем при решении иррациональных уравнений необходимо находить О.Д.З. или проводить проверку?

• Перечислите простейшие методы решения иррациональных уравнений.

Задания для практической работы

1. Решите иррациональные уравнения, используя метод возведения обеих частей уравнения в степень:

4)

5)

1. Решите иррациональное уравнение, используя метод введения нового переменного:

+= 4

1. Решите иррациональные уравнения, используя метод перехода к равносильной системе:

1) 2)

3)

4)

Практическая работа № 15

Тема: «Решение задач с применением вероятностных методов»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

случайные события; вероятность события; размещения; перестановки; сочетания;

• выработка практических навыков:

в непосредственном вычислении вероятностей.

Актуализация опорных знаний

Задания для практической работы

Какое событие называется невозможным, достоверным? Какие события называются несовместимыми, равновозможными? Какие события образуют полную систему событий? Что понимают под вероятностью события? Дайте классическое определение вероятности события. Основные понятия комбинаторики: размещения перестановки сочетания

Упростите выражение: а) б) 2. Сколькими способами коллектив, состоящий из 50 человек, может выбрать из присутствующих делегацию на конференцию в составе 5 человек? 3. Сколько сигналов можно дать с помощью 6 различных флагов? 4. Студенты изучают 9 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на день из 5 различных предметов? 5. В урне находится 7 белых и 6 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые ?

Практическая работа № 16

Тема: «Решение задач на двугранный угол»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

линейный угол, двугранный угол; параллельность и перпендикулярность плоскостей;

• выработка практических навыков:

в построении пересекающихся плоскостей в пространстве;

в вычислении величины двугранного угла

Актуализация опорных знаний

Задания для практической работы

Как в пространстве могут располагаться две плоскости? Какие плоскости называются параллельными? В чем заключается признак параллельности плоскостей? Какие плоскости называются пересекающимися? Какие плоскости называются перпендикулярными? В чем заключается признак перпендикулярности плоскостей? Как называется угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями?

1. Построить двугранный угол . Указать его элементы. Построить линейный угол этого двугранного угла. На грани этого угла отметить точку С. Построить СК и 2. Указать перпендикулярные плоскости. Построить и обозначить угол между гранью CSB и основанием АВС. 3. В двугранном угле PMNQ на грани Р взята точка А, расстояние от которой до ребра MN вдвое больше расстояния от нее до другого угла. Определить величину двугранного угла. 4. Двугранный угол PCDQ равен 45. На грани Р дана точка А, которая отстоит от ребра CD двугранного угла на 10 см. Найти расстояние от точки А до грани Q. 5. Можно ли две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью по двум непараллельным прямым? Ответ обосновать. 6. Будут ли параллельны между собой две плоскости, перпендикулярные к одной и той же третьей плоскости? Ответ обосновать. 7. Точка А принадлежит грани двугранного угла . Расстояние от данной точки до плоскости равно 6 см, а до ребра двугранного угла АС=8 см. Найти величину проекции АС на плоскость .

Практическая работа № 17

Тема: «Решение задач на перпендикуляр и наклонную к плоскости, теорему о трех перпендикулярах, угол прямой с плоскостью»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

перпендикуляр и наклонная к плоскости;

параллельность прямой к плоскости

• выработка практических навыков:

в построении и обозначении прямых и плоскостей в пространстве;

в вычислении длин перпендикуляра, наклонной и ее проекции на заданную плоскость; величины линейного угла.

Актуализация опорных знаний	Задания для практической работы
Взаимное расположение прямых в пространстве
1.Как в пространстве могут располагаться две прямые? 2.Какие прямые называются параллельными? пересекающимися? скрещивающимися? 3.Что общего и в чем различие между параллельными и скрещивающимися прямыми? 4.Сколько плоскостей можно провести через две прямые, если они: параллельные? пересекающиеся? скрещивающиеся?	Построить и обозначить: а) две параллельные прямые б) две пересекающиеся прямые Указать отрезки прямых: а) параллельных АВ б) пересекающихся В1В в) скрещивающихся с ВС

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

1.Как в пространстве могут располагаться прямая и плоскость? 2.Какая прямая называется параллельной плоскости? 3.В чем заключается признак параллельности прямой и плоскости? 4.Какая прямая называется перпендикулярной плоскости? В чем заключается признак перпендикулярности прямой и плоскости? 5.Какая призма называется: наклонной к плоскости? проекцией наклонной на данную плоскость? 6.Сравнительная длина перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки, не лежащей в плоскости. 7.Что называется углом между наклонной и плоскостью? 8.В чем заключается теорема о трех перпендикулярах?

Указать отрезки прямых: а) параллельных ABCD б) параллельных в) перпендикулярных г) перпендикулярных Построить угол между B1D и A1B1C1D1 AC1 и ABCD 2. Указать отрезки прямых: а) пересекающихся ABCD б) перпендикулярных ABCD Построить угол между а) SA и ABCD б) SD и ABCD 3. Из точки А, не лежащей в плоскости α, построить: а) б) наклонные АВ и АС такие, что АВАС в) проекции наклонных АВ и АС на плоскость α (сравнить их) г) указать углы между АВ, АС и плоскостью α 4. Используя чертеж к задаче №1 с условием, что ABCD – прямоугольник, определить: а) величину угла ВА1D1 б) длину диагонали BD1, если А1В= 3 см, АD= 4 см. 5. Из точки М1 взятой вне данной плоскости, проведены две наклонные длиной 10 см и 7,5 см. Проекция первой из них на плоскости равна 8 см. Найти проекцию второй наклонной на плоскости.

Практическая работа № 18

Тема: «Вычисление элементов площадей поверхности и объема призмы и пирамиды»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

призма, основные элементы призмы, виды призм, свойства граней и диагоналей призмы, диагональ прямоугольного параллелепипеда, пирамида, элементы пирамиды, виды пирамид, свойства параллельных сечений в пирамиде

• выработка практических навыков:

в вычислении основных элементов пирамиды и призмы; в определении площади поверхности и объема призмы и пирамиды.

Актуализация опорных знаний

• Какой многогранник называется призмой, пирамидой? Основные элементы призмы, пирамиды?

• Какая призма называется правильной? параллелепипедом?

• Какой параллелепипед называется прямоугольным?

• Как найти площадь боковой и полной поверхности призмы?

• Записать формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности призмы.

• Записать формулу для вычисления объема призмы.

• Какая пирамида называется правильной?

• Как найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды, объема пирамиды?

• Записать формулу для вычисления площади боковой поверхности пирамиды.

Задания для практической работы

1. Измерения прямоугольного параллелепипеда 3 см, 4 см, 5 см. Вычислить: длину его диагонали; площадь полной поверхности; объем.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда 5 см и 2 см, а угол между ними 45. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Вычислить: площадь меньшего диагонального сечения; объем параллелепипеда.

3. Найти объем наклонной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 7 и 10 см, а боковое ребро, равное 14 см составляет с основанием угол в 30.

4. Вычислить длины боковых ребер пирамиды, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна стороне основания.

5. Высота пирамиды 18 см, а площадь основания 81 см² . На каком расстоянии от основания проведено сечение, параллельное основанию, площадь которого 9 см²?

6. Вычислить площадь полной поверхности и объем треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 13 см, 14 см и 15 см, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60^о

Практическая работа № 19

Тема: «Вычисление элементов площадей поверхностей и объемов цилиндра, конуса и шара»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

тело вращения, цилиндр, конус, шар; элементы цилиндра, конуса, шара

• выработка практических навыков:

в вычислении основных элементов цилиндра, конуса, шара;

в определении площадей поверхностей и объемов цилиндра, конуса, шара.

Актуализация опорных знаний

• Что называется цилиндром?

• Какой цилиндр называется равносторонним?

• Сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси.

• Сечение цилиндра плоскостью перпендикулярной оси.

• Что представляет собой развертка боковой и полной поверхности цилиндра?

Записать формулы для вычисления площади поверхности и объема цилиндра.

• Что называется конусом?

• Какой конус называется равносторонним?

• Сечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси.

• Сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие.

• Что представляет собой развертка боковой и полной поверхности конуса?

Записать формулы для вычисления площади поверхности и объема конуса

• Что называется шаром? Что называется сферой?

• В чем заключается сходство и различие шара и сферы?

Записать формулы для вычисления площади поверхности сферы и объема шара.

Задания для практической работы

1. Постройте цилиндр и укажите в нем:

• основание

• диагональ

• угол наклона диагонали к основанию

• диагональное сечение

2.Вычислите длину диагонали осевого сечения цилиндра, если площадь боковой поверхности равна , а площадь полной поверхности

Вычислите площадь боковой поверхности и объем тела, полученного от вращения прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см вокруг большей стороны

3. Постройте конус и укажите в нем:

• основание

• высоту

• образующую

• угол наклона образующей к основанию

• диагональное сечение

4. Высота конуса 12 см, а радиус основания . Определите на каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию, площадь которого .

5.Прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 и катетом 8 см вращается вокруг большего катета. Вычислить объем тела вращения и площадь поверхности.

6. Радиус шара равен 13 см. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение, площадь которого ?

7. Площадь сферы равна . Вычислить объем шара того же радиуса.

Практическая работа № 20

Тема: «Действия над векторами»

Цели:

• закрепление ключевых понятий:

вектор, координаты вектора, вектор-сумма, вектор-разность, скалярное произведение векторов и его свойства

• выработка практических навыков:

в построении векторов, выполнении действий над векторами и их координатами

Актуализация опорных знаний

• Что называется вектором? Как он изображается? Как обозначается?

• Что означает термин «модуль вектора»?

• Как можно сложить (вычесть) два вектора?

• В чем суть правила треугольника?

• В чем суть правила параллелограмма?

• Как построить вектор-сумму по правилу треугольника? По правилу параллелограмма?

• Как умножить вектор на число?

• Что называется скалярным произведением векторов?

Как вычислить косинус угла между векторами?

• Записать координатную форму вектора ОМ и вектора АВ

• Что называется координатами вектора ОМ? Вектора АВ? Как вычислить координаты вектора АВ?

• Как выполнить сложение (вычитание) векторов, заданных своими координатами?

• Как умножить вектор на число?

• Чему равно скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?

• Как вычислить модуль вектора, заданного своими координатами?

Как вычислить косинус угла между векторами?

Задания для практической работы

1.Даны векторы а и в

Постройте по правилу треугольника и параллелограмма векторы:

с=2а+0,5в и р=3а-2в

2.Вычислите скалярное произведение векторов а и в, если

А) , , Б) , ,

3.Вычислите косинус угла между векторами а и в, если:

а) , , б) , ,

4.Даны векторы а(-3;5) и в(1;-3)

Найдите: а) длины векторов а, в

б) вектор c=3а+5в

в) вектор р=2а-в

г) скалярное произведение

векторов с и р;

5.Найдите длину вектора АВ, если А(-1;4), В(3;7)

6.Найдите координаты точки С, делящей отрезок МК пополам, если М(-4;7), К(2;-3)

Список использованной литературы

Основная:

1. Богомолов, Н.В. Математика для ССУЗов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 3-е изд., стереотипное. – М.: Дрофа, 2009. – 395 с.

2. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике для средних специальных учебных заведений-Н. В. Богомолов. – 5-е изд. стереотипное. – М.: Дрофа, 2008. – 495 с.

3. Пирумов, У.Г. Численные методы: учебное пособие для студентов ССУЗов/ У.Г.Пирумов.– 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2008. – 224с.

Дополнительная:

1. Баврин, И.И. / Высшая математика: учебник для студентов естественно-научных специальностей педагогических ВУЗов. [Текст] / И.И. Баврин, – 3-е изд. стереотипное. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 616с.

2. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для ВУЗов [Текст] / Н.Ш. Кремер, Б.А. Прутко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2009. – 439с.

3. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов ВУЗов, обучающихся по экономическим специальностям [Текст] / Н.Ш. Кремера и др.; под ред. Н.Ш.Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп.

– М.: ЮНИТИ – Дана, 2010. – 479с.

1. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: учебник [Текст]. Ч.1/ М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, А.Д. Кутасов, Г.Л. Луканкин, и др.; под ред. Г.Н. Яковлева. – 3-е изд. перераб. – М.: Наука, 2007. – 464с.

Интернет - ресурсы:

1. Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс] // Математика. – Режим доступа: http://window.edu.ru

2. Образовательные ресурсы Интернета школьникам и студентам [Электронный ресурс] // Математика. – Режим доступа: http://www.alleng.ru

3. Российский общеобразовательный портал [Электронный ресурс] // http://www.school.edu.ru/doc

4. Газета «Математика» издательского «Первое сентября» http://mat.1september.ru/

5. Математика в открытом Колледже: http://www.mathematics.ru/

6. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ http://school.msu.ru/

7. Материалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru/

8. Образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru/

9. Общероссийский математический портал http://www.mathnet.ru/

10. Портал «Вся математика в одном месте» http://www.allmath.ru/

11. Виртуальная школа юного математика http://www.math.md/school/indexr.html

12. Вся элементарная математика: Средняя математическая Интернет-школа http://www.bymath.net/

13. Геометрический портал http://neive.by.ru/

14. Графики функций http://graphfunk.narod.ru/

15. ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию http://uztest.ru/

16. Элементарная математика http://matematiku.narod.ru/

17. Вся математика в одном месте http://www.allmath.ru/