Сборник практико-ориентированных задач для 5-6 класса

Сборник практико-ориентированных задач для 5-6 классов по математике.

Оглавление

Пояснительная записка.

1 Простейшие геометрические задачи.

2 Задачи на конструирование.

3 Задачи на вычисление периметра, площади, объема. Вычисление площади фигуры на

клетчатой бумаге.

4 Задачи на интерпретацию информации, представленной в виде схем, графиков, таблиц.

5 Логические задачи.

6 Сюжетные задачи.

Список литературы.

§1.Задачисиспользованиемпростейшихгеометрическихпонятийисоотношений

Задача 1.

Вдоль дороги (по прямой) через каждые

2 метра высажено дерево, всего посадили 120 деревьев, найдите длину зеленого ограждения.

Комментарий. Большинство учащихся мгновенно дает ответ 240 метров. Однако, это неправильный ответ.

Решение. Построим простую геометрическую модель.

Обратим внимание: точек – три, а отрезков – два. Построим аналогичные геометрические модели из трех, четырех точек. Замечаем, что количество точек на одну больше, чем отрезков, соединяющих соседние точки. По условию деревьев – 120 шт, отрезковмежду соседними деревьями - 119. Длина зеленой изгороди 2*119=238 м.

Ответ: 238 м длина зеленой изгороди.

Задача 2.

Вдоль дороги (по прямой) через каждые 2 метра высажено дерево. Сколько деревьев высажено, если длина зеленого ограждения 138 м.

Решение: 138/2+1=120 (шт)

Ответ: 120 деревьев.

Задача 3. Вдоль дороги посадили 120 деревьев,расстояния между соседними одинаково.

Каково расстояние между соседними деревьями, если длина зеленого ограждения 138 м.

Решение: 138/(120-1)=2(м)

Ответ: расстояние между соседними деревьями 2 м.

Решисамостоятельно

Задача 1

Зайцыпилятбревно.Онисделали10распилов.Сколькополучилосьчурбачков?

Ответ:11чурбачков.

Задача 2

Бубликрежутнасектора.Сделали10разрезов.Сколькополучилоськусков?

Ответ:10кусков.

Задача 3

Набольшомкругломтортесделали10разрезовтак,чтокаждый разрез идёт от края до края и проходит через центрторта.Сколько получилось кусков?

Ответ:20кусков.

Задача 4

Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревназакреплены.Десятьсреднихчурбачков упали,адвакрайнихтаки остались закреплёнными. Сколько распилов сделализайцы?

Ответ:11распилов сделали.

Задача 5

Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у 4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?

Ответ: 44 секунды.

Задача 6

Кенгуру шьет одеяло из квадратных лоскутков. Длина одеяла 10 квадратиков, ширина 15 квадратиков. В каждой точке, где сходятся 4 квадратика, Кенгуру пришивает пуговку. Сколько потребуется пуговиц?

Ответ: 126 пуговок.

Задача 7

Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10 ×10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?

Ответ: 180 дверей, 40 окон.

§2. Задачи на конструирование.

Задача 1

Как расположить 6 монет так, чтобы получилось 3 ряда по 3 монеты и 6 рядов по 2 монеты?

Решение: Переведем эту задачу на геометрический язык. Пусть монеты у нас точки, а ряды прямые. Тогда нам надо расположить 6 точек так, чтобы на 3 прямых было по 3 точки, а на 6 прямых по 2 точки. Рассмотрим треугольник с тремя вариантами и на сторонах поставить по одной точке. Отметим 3 точки и соединим их попарно пересекающимися прямыми (рис. 1., а). У нас получились 3 прямые на каждой из которых по 2 точки.

Рис. 1.

Отметим середины на каждой из сторон получившегося треугольника. Если мы теперь их соединим с каждой вершиной треугольника, то унас появятся еще 3 прямые, на каждой из которых по 2 точки, а на прежних трех прямых будут по 3 точки (рис. 1, б).

Осталось провести еще 3 прямые, которые будут соединять середины сторон треугольника. Получим конфигурацию, изображенную на рис. 1., в, она является искомой.

Задача 2 (6 точек и 4 прямые)

Можно ли 6 деревьев посадить в 4 ряда так, чтобы в каждом ряду было по 3 дерева?

Решение:

Каждый ряд деревьев можно принять за прямую, а деревья за точки. На рис. е показано решение задачи.

Реши самостоятельно

Задача 1

Расположите на столе 9 пуговиц в форме квадрата по 3 пуговицы на каждой стороне и одну в центре (рис. 1). Заметьте, что если вдоль какой-нибудь

прямой линии рас- полагаются две пуговицы или более, то такое расположение мы

всегда будем называть «рядом». Так, АВ и CD — ряды, в каждом из которых по 3 пуговицы, a EF — ряд, содержащий две пу- говицы (рис. 1). Определите, сколько на рисунке 1 всего рядов по 2 пуговицы в каждом.

Ответ:

Задача 2

Расположите 12 монет по 5 монет в каждом ряду.

Указания: Поскольку мы должнырасположить 12 монет по 5 в каждом ряду, а

количество монет не делится на 5, значит, хотя бы два ряда должны пересекаться

Ответ: см. рис.2.

Задача 3

(7 точек и 6 прямых) Можно ли 7 тюльпанов посадить так, чтобы образовалось 6 рядов по 3 тюльпана в каждом?

Указания: Каждый ряд посаженных тюльпанов представляет из себя прямую, а каждый тюльпан точку. Рассмотрим всевозможные случаи взаимного расположения 6 прямых

Ответ: рис. 1.74, и

§3. Задачи на вычисление периметра, площади, объема

Прямоугольник

а

b

a – длина, b ширина

Периметр прямоугольника P = 2*(a+b)

Площадь S = a*b

Объем прямоугольного параллелепипеда V= a*b*c

Задача 1

Найдите массу 1 м3 сплава, если слиток этого сплава, имеющий форму

прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2,9 дм, 15 см и 0,8 м имеет

массу 281,88 кг.

Решение: Переведем единицы измерения 1м = 10дм, значит 2,9дм = 0,29м,

15см = 1,5дм = 0,15м

Находим объем слитка 0,29*0,15*0,8 = 0,0348м3

Находим массу 1м3- 281,88:0,0348=8100кг

Ответ: 8100 кг.

Задача 2

У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22× 15. Джузеппе хочет из него вырезать

как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5. Как это сделать?

Ответ: 22 куска.

Пояснение: Прежде всего, заметим, чтоДжузеппе не сможет получить заготовокбольше, чем (22 × 15)/(3 × 5) = 22 штуки. Теперь приступим к разрезанию. Разрежем наш лист на три поперек стороны 22: 5×15, 5×15 и 12×15. Теперь третий кусок разрежем вдоль стороны 12 на четыре равных куска 3×15. Всего получится 6 кусков — два 5×15 и четыре 3×15. Из первых двух кусков мы получим по 5 заготовок 5×3, а из оставшихся четырех — по 3 заготовки 3×5. Итого, получится 22 куска (см. рисунок).

Задача 3

Найдемплощадьфигурынарисунке.Искать её можно по-разному. Например,можноразрезатьмногоугольникнадостаточнопростыефигуры,найтиихплощадь и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот(попробуйте!). Давайте «схитрим»:вычислим площадь заштрихованнойфигуры, которая «дополняет» нашмногоугольник до прямоугольникаАВСD, и вычтем её из площадипрямоугольника. Заштрихованная фигуралегкоразбиваетсянапрямоугольникиипрямоугольныетреугольники,иеёплощадь вычисляетсябезусилий.

Ответ:17

Реши самостоятельно

Задача 1

Найдите площади многоугольников на клетчатой бумаге. Примите длину одной клетки – 1 см.

Ответ: 8

Ответ: 7,5

Задача 2

На окраску деревянного кубика затратили 4 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков меньшего размера. Сколько краски потребуется для того, чтобы закрасить образовавшиеся при этом неокрашенные поверхности?

Ответ: 4 грамма

Задача 3

Найдите массу 1 м3 бетонного блока для фундамента, если один блок с измерениями 1,5 м, 4 дм и 60 см имеет массу 900 кг.

Ответ: 2500 кг.

§4. Задачи на интерпретацию информации, представленной в виде схем, графиков, таблиц.

Задача 1

На рисунке изображена зависимость темпера- туры (в градусах Цельсия) от высоты (в мет- рах) над уровнем моря. Определите по графи- ку, на сколько градусов температура на высо- те 200 метров выше, чем на высоте 650 мет- ров.

Решение: 11-7=4 Ответ: на 4 градуса.

Задача 2

АндрейиИвансоревновалисьв50-метровомбассейне на дистанции 100 м. Графики их заплывовпоказанынарисунке.Погоризонтальной оси отложено время, а по вертикальной — расстояние пловца от старта. Кто выиграл соревнование? В ответе запишите, на сколько секунд он обогнал соперника.

Ответ: Андрей выиграл соревнование, обогнав Ивана на 30 с.

Задача 3

На диаграмме показано количество SMS, присланныхслушателямизакаждыйчасчетырёхчасовогоэфирапрограммыпозаявкамна радио. Определите, на сколько больше сообщенийбылоприсланозапоследниедвачасапрограммыпосравнениюспервымидвумяча-самиэтойпрограммы.

Решение: (40+25)-(30+20)=15

Ответ: на 15 больше сообщений было присла- но за последние два часа программы по срав- нению с первыми двумя часами этой програм-

мы.

Реши самостоятельно

Задача 1

Награфикепоказаноизменениетемпературывоздуханапротяжениитрех суток, начиная с 0 часов 11 июля. На оси абсцисс отмечаетсявремя суток, на оси ординат — значение температуры в градусах.Определитепографику,докакойнаибольшейтемпературыпрогрелсявоздух13июля.ОтветдайтевградусахЦельсия.

Ответ:9градусов.

Задача 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в

Минске за каждый месяц 2014 года. По горизонтали указываются

месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите

по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 2014

году.

Ответ: - 6 градусов.

Задача 3

Награфике,изображенномнарисунке,представленоизменениебиржевой стоимости акций нефтедобывающей компании в первыедве недели сентября. 3 сентября бизнесмен приобрел 10 акций этойкомпании.Шестьизнихонпродал10сентября,а12сентябряпродалостальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этихопераций?

Ответ: 3200 рублей потерял бизнесмен.

§5.Логическиезадачи.Анализутверждений

Задача 1

В городе Z в 2013 году мальчиков родилось больше, чем девочек. Мальчиков чаще всего называли Андрей, а девочек — Мария. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

Среди рождённых в 2013 году в городе Z:

1) девочек с именем Мария больше, чем с именем Светлана.

2) мальчиков с именем Николай больше, чем с именем Аристарх.

3) хотя бы одного из родившихся мальчиков назвали Андреем.

4) мальчиков с именем Андрей больше, чем девочек с именем Мария.

Пояснение.

1) Утверждение о том, что девочек чаще всего называли Мария, означает, что девочек, которых называли другими именами меньше, следовательно, первое утверждение верно.

2) Второе утверждение не следует из приведённых данных.

3) Если мальчиков чаще всего называли Андреями, то, следовательно, родился по крайней мере один мальчик, которого назвали Андреем. Третье утверждение следует из приведённых данных.

4) Четвёртое утверждение не следует из приведённых данных, поскольку невозможно сказать, сколько родившихся мальчиков назвали Андреями, а сколько девочек — Мариями.

Ответ:13.

Задача 2

На зимней олимпиаде сборная Канады завоевала медалей больше, чем сборная

Нидерландов, сборная Беларуси — меньше, чем сборная Нидерландов,

а сборная Швейцарии меньше, чем сборная Канады. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Из названных сборных команда Швейцарии заняла второе место.

2) Сборная Беларуси завоевала меньше медалей, чем сборная Канады.

3) Среди названных сборных точно нет двух,

завоевавших равное количество медалей.

4)Сборная Канады завоевала больше медалей, чем каждая из остальных трёх сборных.

Пояснение.

Ш Н Б

1) Из условия не следует, какая команда заняла более высокое место, Швейцария или Нидерланды.

2) Беларусь завоевала меньше медалей, чем Нидерланды. А Нидерланды заработали меньше медалей, чем Канада. Значит, Беларусь заработала меньше медалей, чем Канада.

3) Нельзя такое утверждать. Возможно, что у Швейцарии и Нидерланд равное количество медалей или у Швейцарии и Беларуси.

4) Верно.

Ответ:24.

Задача 3

Известно, что берёзы — деревья, также известно, что все деревья выделяют кислород. Подсолнухи тоже выделяют кислород. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Все берёзы выделяют кислород

2) Все подсолнухи являются берёзами

3) Некоторые растения, выделяющие кислород, являются берёзами

4) Если растение не выделяет кислород, то оно — не подсолнух

Пояснение.

1) Все деревья выделяют кислород, берёза — дерево, следовательно, она выделяет кислород.

2) Не всё, что выделяет кислород — дерево, тем более берёза.

3) Действительно, если какое-то растение выделяет кислород, оно может оказаться берёзой.

4) Все подсолнухи выделяют кислород, следовательно, растение, не выделяющее кислород, не может являться подсолнухом.

Ответ: 134.

Реши самостоятельно

Задача 1

1. В фирме N работают 50 человек, из них 40 человек знают английский язык, а 20 человек — немецкий. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В фирме N

1) хотя бы три человека знают оба языка,

2) нет ни одного человека, знающего и английский, и немецкий языки,

3) если человек знает немецкий язык, то он знает и английский,

4) не больше 20 человек знают два иностранных языка.

Ответ:1.

Задача 2

В классе учатся 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 человек — кружок по математике. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В этом классе

1) нет ученика, который не посещает ни кружок по истории, ни кружок по математике,

2) найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка,

3) если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике,

4) не найдётся 11 человек, которые посещают оба кружка.

Ответ: 24.

Задача 3

Согласно градостроительным нормам, в домах выше 5 этажей должен быть установлен лифт. Считая, что эти нормы неукоснительно исполняются, выберите утверждения, которые непосредственно из этого следуют.

1) Если в доме нет лифта, то он не выше 5 этажей.

2) Если в доме 3 этажа, то в нём лифта нет.

3) Если в доме больше 5 этажей, то в нём есть лифт.

4) Если в доме есть лифт, то он выше 5 этажей.

Ответ:13.

§6. Сюжетные задачи

Задача 1

В клетку посадили кроликов и фазанов. У

животных 35 голов и 100 ног. Сколько в

клетке кроликов и сколько фазанов?

Решение. Поставим всех животных на

задние лапки. Имеем 35 голов, а лапок,

стоящих на земле – 70. Оставшиеся 30

лапок оказались сверху. Принадлежат

они 15 кроликам.

Ответ: 15 кроликов и 20 фазанов.

Задача 2

Если в каждой байдарке будет сидеть по 2

спортсмена, то на берегу останутся 3

спортсмена. А если в каждой байдарке

будет сидеть по 3 спортсмена, то не хватит

2 спортсменов. Сколько было спортсменов

и сколько байдарок?прямоугольником, а спортсменов — кружками.

Из первой части задачи нам известно, что, если посадить в каждую байдарку по 2 спортсмена, 3 спортсмена останутся на берегу без мест. Представим это при по- мощи рисунка.

Во второй части условия задачи говорится о том, что если в каждую байдарку посадить по 3 спортсмена, то не хватит 2 спортсменов.

Вернемся к предыдущему, где в каждой байдарке сидят по 2 спортсмена, а 3 оста- лись на берегу. Рассадим оставшихся 3 спортсменов к их товарищам — по одному в каждую байдарку см. рисунок. В трех байдарках будет сидеть по 3 спортсмена.

Так как двух спортсменов не хватает, чтобы

в каждой байдарке было по 3 спортсмена (в двух байдарках сидят по 2 спортсмена).

Отсюдаможносделатьвывод:втрехбайдаркахпо3спортсмена,вдвухбайдарках — по 2 спортсмена, т.е. числобайдарок было 3 + 2 = 5, а спортсменов —3-3+2-2=13.

Ответ:было5байдароки13спортсменов

Задача 3.

Торговецпродаеторехидвухсортов:однипо 90 центов,другие по 60 центов закилограмм.Онхочетполучить50килограммовсмесипо72центазакилограмм.Сколькодляэтогопотребуетсяорехов каждого сорта?

Решение.

Запишем условиезадачиввидетаблицы.

Стоимостьсмесииливыручку,которуюхочет получить торговец, можноопределить, зная цену смеси и количествопроданныхорехов:72*50=3600 (руб.).

Получили задачунапредположение.Предположим, что все орехи торговец продает по цене 1-го сорта, тогда

1) 90 ⋅ 50 = 4500 (руб.) – выручил бы торговец;

2) 4500 – 3600 = 900 (руб.) – составила бы переплата; (За счет чего?)

1. 90 – 60 = 30 (руб.) – переплачивал бы торговец за каждый килограмм орехов 2-го сорта;

2. 900 : 30 = 30 (кг) – орехов 2-го сорта продал торговец;

3. 50 - 30=20 (кг) – орехов 1-го сорта продал торговец.

Ответ: 20 (кг) – орехов 1-го сорта, 30 (кг) – орехов 2-го сорта продал торговец

Реши самостоятельно

Задача 1

На детской площадке 8 двух и трехколесных велосипедов. Всего у

них 21 колесо. Сколько двух- и сколько трехколесных велосипедов

на площадке?

Ответ: на площадке 5 трехколесных и 3 двухколесных велосипеда.

Задача 2

Если посадить всех учеников данного класса по одному за партой,

то б учеников останутся без мест, а если посадить по 2 ученика, то

останутся свободными 4 парты и за одной партой будет сидеть 1

ученик. Сколько учеников и сколько парт было в классе?

Ответ: в классе 15 парт и 21 ученик.

Задача 3

Настасья Петровна из сказки Л. Н. Толстого "Три медведя" пригото-

вила на десерт землянику и чернику. В вазе земляники в 3 раза

больше, чем черники. Когда каждый взял по одной землянике и

одной чернике, в вазе осталось земляники в 4 раза больше, чем

черники. Сколько было первоначально в вазе земляники и сколько

черники?

Ответ: в вазе было 9 черник и 27 земляник.

Список литературы.

1. Власова Т.Г. «Предметная неделя в школе» - Ростов – на – Дону, «Феникс»,2007.

2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» - М.: Просвещение, 1989.

3. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры» - М., Просвещение, 1990.

4. Спивак А.В. «Математический праздник» - М.: Бюро Квантум, 2007

5. Галкин Б.В. «Задачи с целыми числами» - М., Просвещение, 2014.

6. Быльцов С. Математические игры, пасьянсы и фокусы. Занимательная математика для всей семьи. — СПб.: Питер, 2010.

7. Быльцов С. Логические головоломки и задачи. Занимательная математика для всей семьи. — СПб.: Питер, 2010.

8. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5—7 кл./А. В. Спивак.— М. : Просвещение, 2002.

9. Выговская В.В. «Сборник практических задач по математике» - М.: ООО «ВАКО», 2012.