Сфера, шар Основные характеристики

Сфера, шар

Основные характеристики

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

• Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки.

r

d

• r – радиус;

• d – диаметр

r

• Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .

Определение сферы

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О).

• Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.

меридиан

• R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

R

О

• О – центр сферы

• D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.

Параллель (экватор)

диаметр

• D = 2R

ШАР

• Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
• Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
• Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ

уравнение окружности имеет вид:

(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2

М

М(х;у ;z ),

C(x 0 ;y 0 ;z 0 )

R

• МС = R , или МС 2 = R 2

C

следовательно уравнение

сферы имеет вид:

(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

r d = r Если d Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d r , то прямая и окружность не имеют общих точек. Прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной к сфере, а общая точка – точкой касания прямой к сфере. " width="640"

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ И ПРЯМОЙ

r

d

d r

d = r

Если d

Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку.

Если d r , то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной к сфере, а общая точка – точкой касания прямой к сфере.

Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 1 случай

• d

C

d

r

М

r = R 2 - d 2

• Сечение шара плоскостью есть круг.

α

• С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной . Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

Взаимное расположение сферы и плоскости

Рассмотрим 2 случай

• d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку.

C (0 ;0; d)

d

α

R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. C (0 ;0; d) d α " width="640"

Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 3 случай

• d R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

C (0 ;0; d)

d

α

Касательная плоскость к сфере

А

r

О

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема:

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере .

10

ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ

• Сферу нельзя развернуть на плоскость .

• Многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней.

• За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани

Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2

т.е.: площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

S шара =4 S круга

ОБЪЕМ ШАРА

R

V шара = 4 / 3 П R 2