Шпаргалки для подготовки к ЕГЭ по математике

log_ab∙log_ba= 1

V =S_o∙h ; S_б.п=P_o∙h; S_п.п = S_б.п+ 2S_o

V =S_o∙h ; S_б.п=P_o∙l; S_п.п = S_б.п+ S_o

l –апофема, высота в боковой грани, проведенная из вершины пирамиды

1.Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8 °С или выше.

1 − 0,81 = 0,19.

2.Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

3.По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

0,3·0,3 = 0,09. 1 − 0,09 = 0,91.

4.В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. 1 − 0,48 = 0,52.

5.При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096. Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.  

По­след­няя ве­ро­ят­ность мень­ше 0,02, по­это­му до­ста­точ­но пяти вы­стре­лов по ми­ше­ни.

6.Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол, вто­рая — 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.

0,45 · 0,03 = 0,0135. 0,55 · 0,01 = 0,0055.

0,0135 + 0,0055 = 0,019.

 7. В клас­се 26 че­ло­век, среди них два близ­не­ца — Ан­дрей и Сер­гей. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят на две груп­пы по 13 че­ло­век в каж­дой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Ан­дрей и Сер­гей ока­жут­ся в одной груп­пе. Пусть один из близ­не­цов на­хо­дит­ся в не­ко­то­рой груп­пе. Вме­сте с ним в груп­пе ока­жут­ся 12 че­ло­век из 25 остав­ших­ся од­но­класс­ни­ков 12 : 25 = 0,48.

8.В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.

Ре­ше­ние.

Для по­го­ды на 4, 5 и 6 июля есть 4 ва­ри­ан­та: ХХО, ХОО, ОХО, ООО 

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

 P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

9.Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,2. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 4 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся.

Ре­ше­ние.

0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ны, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,04 + 0,48 = 0,52.

10.Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.

Ответ 0,75

11. Стре­лок стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха стре­лок де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом).

0,7+(1-0,7) ·0,7=0,91

12.Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Линг­ви­сти­ка», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 70 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на спе­ци­аль­ность «Ком­мер­ция», нужно на­брать не менее 70 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент З. по­лу­чит не менее 70 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,6, по рус­ско­му языку — 0,8, по ино­стран­но­му языку — 0,7 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,5.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что З. смо­жет по­сту­пить хотя бы на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей.

0,6·0,8·(1 –(1-0,7)(1-0,5)) =0,48·(1-0,3·0,5)=0,408

13. На фаб­ри­ке ке­ра­ми­че­ской по­су­ды 10% про­из­ведённых та­ре­лок имеют де­фект. При кон­тро­ле ка­че­ства про­дук­ции вы­яв­ля­ет­ся 80% де­фект­ных та­ре­лок. Осталь­ные та­рел­ки по­сту­па­ют в про­да­жу. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная при по­куп­ке та­рел­ка не имеет де­фек­тов. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

0,1·0,8=0,08, 1-0,08=0,92 0,9 : 0,92=0,98

14.Всем па­ци­ен­там с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит де­ла­ют ана­лиз крови. Если ана­лиз вы­яв­ля­ет ге­па­тит, то ре­зуль­тат ана­ли­за на­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным. У боль­ных ге­па­ти­том па­ци­ен­тов ана­лиз даёт по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,9. Если па­ци­ент не болен ге­па­ти­том, то ана­лиз может дать лож­ный по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,01. Из­вест­но, что 5% па­ци­ен­тов, по­сту­па­ю­щих с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, дей­стви­тель­но боль­ны ге­па­ти­том. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ре­зуль­тат ана­ли­за у па­ци­ен­та, по­сту­пив­ше­го в кли­ни­ку с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, будет по­ло­жи­тель­ным.

0,05·0,9+0,95·0,01 =0,0545

15. У Вити в ко­пил­ке лежит 12 рублёвых, 6 двух­рублёвых, 4 пя­ти­рублёвых и 3 де­ся­ти­рублёвых мо­не­ты. Витя на­у­гад достаёт из ко­пил­ки одну мо­не­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что остав­ша­я­ся в ко­пил­ке сумма со­ста­вит более 70 руб­лей.

Ре­ше­ние.

У Вити в ко­пил­ке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Боль­ше 70 руб­лей оста­нет­ся, если до­стать из ко­пил­ки либо рублёвую, либо двух­рублёвую мо­не­ту. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 18 : 25 = 0,72.

16.В кар­ма­не у Пети было 2 мо­не­ты по 5 руб­лей и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах. Всего 6 монет. Ве­ро­ят­ность того, что Петя взял пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту, затем де­ся­ти­руб­ле­вую, и затем еще одну де­ся­ти­руб­ле­вую (в ука­зан­ном по­ряд­ке) равна 2/6·4/5·3/4=0,2  По­сколь­ку Петя мог до­стать пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту не толь­ко пер­вой, но и вто­рой или тре­тьей, ве­ро­ят­ность до­стать набор из одной пя­ти­руб­ле­вой и двух де­ся­ти­руб­ле­вых монет в 3 раза боль­ше. Тем самым, она равна 0,6.

17. За круг­лый стол на 101 сту­л в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 99 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка, тогда для каж­до­го из остав­ших­ся ребят (в том числе и для вто­рой де­воч­ки ) ве­ро­ят­ность ока­зать­ся на любом из остав­ших­ся сту­льев равна 0,01 . А мест, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи, толь­ко два. Таким об­ра­зом ве­ро­ят­ность, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик равна 2·0,01 = 0,02

18. За круг­лый стол на 17 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 15 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом. 

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка, тогда рядом с ней есть два места, на каж­дое из ко­то­рых пре­тен­ду­ет 16 че­ло­ве­ка, из ко­то­рых толь­ко одна де­воч­ка. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность, что де­воч­ки будут си­деть рядом равна 2·1/16 =1/8 =0,125

Не будут сидеть рядом 1-0,125=0,875

19. Про паука.

1. Произвольный треугольник ,, 
, 
r =,  ; 
a²=b²+c²-2 b∙c ∙cos - теорема косинусов; 
 - теорема синусов.

Угол между биссектрисами углов В и С =90°+0,5угла А.

Угол между высотами = 180°- известный острый угол.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины.

Биссектрисы делят сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

2. Прямоугольный треугольник
   ,= медиане, проведенной из вершины прямого угла

a²+b²=c² т. Пифагора
 h_c² =a_c ∙ b_c ; a² = a_c ∙ с; b² =b_c ∙ c

Sinβ =; cosβ= ; tgβ=
sinβ=cosα; tgβ=ctgα; sin²α+cos²α=1

1+tg²α =

cos тупого внешнего угла= - сos внутреннего угла

tg тупого внешнего угла= - tg внутреннего угла

sin тупого внешнего угла= sin внутреннего угла

В прямоугольном треугольнике угол

1)Между высотой и биссектрисой, проведенной из прямого угла =45^°-меньший острый угол

2)Между высотой и медианой, проведенной из прямого угла =разность острых углов

3) Между медианой и биссектрисой, проведенной из прямого угла =больший острый угол - 45^°

Средняя линия треугольника

равна половине основания.

Отношение площадей подобных фигур = k²

Отношение периметров подобных фигур = k

Коэффициент подобия = отношению сторон, лежащих напротив равных углов

Равносторонний треугольник: 
,, .

R= ; r=

Параллелограмм Сумма соседних углов равна 180

h_a=

Площадь треугольника равна площади параллелограмма

Площадь трапеции равна площади параллелограмма

Ромб: Диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами
.

r =половине высоты

Квадрат ; d =a;

R=; r=0,5a

Трапеция

средняя линия трапеции

В равнобедренной трапеции диагонали и углы при основании равны.

Правильный шестиугольник .

Углы = 120°

Большая диагональ = 2а,

Меньшая диагональ = а; R =a;

Правильный n-угольник

R = ; r = ; r =

Круг и окружность

S =πR² ; c =2 πR

Длина дуги l =

Площадь сектора s =

Длина отрезка

АВ =

Середина отрезка

Векторы

Координаты

Х(х+12)=1(2х-21), х²+12х=2х-21,

х²+10х+21=0, х=-7,х=-3

5х=-35,х=-7

,

- х ≥ 0,

(-х)²=2х+63, х²-2х-63 =0

Х=9, х=-7

Учитывая, что - х ≥ 0 , -7 –корень, а 9 не корень. Ответ: -7

+умножим на3

=+разделим на 2π

Х = +3k.

если k=0, то х=1,25 или х =-1,25,

если k=1,то х=1,25+3=4,25или х=-1,25+3=1,75,

если k=-1,то х=1,25-3=-1,75 или х=-1,25 - 3=-4,25

если k=-2,то х=1-12+7=-4 или х=-1-12+7=-6

Наименьший положительный 1,25

Наибольший отрицательный -1,25

π( х-7)=±π+6πk, x-7=±1+6k, x=±1+6k+7,

если k=0, то х=1+7 =8 или х =-1+7=6,

если k=1,то х=1+6+7=14или х=-1+6+7=12,

если k=-1,то х=1-6+7=2 или х=-1-6+7=0

если k=-2,то х=1-12+7=-4 или х=-1-12+7=-6

Наименьший положительный 2

Наибольший отрицательный -4

π x=-π+4πn, x=-1+4n

если n=0, то х=-1, если n=1, то х=-1+4=3

если n=-1,тох=-1-4=-5

Наименьший положительный 3

Наибольший отрицательный -1

2πx= (-1)ⁿ π+6πn, x=(-1)ⁿ0,5+3n

Если n=0, то х=(-1)⁰0,5+0=0,5

Если n =1,то х=(-1)¹0,5+3=2,5

Если n=-1,то х=(-1)^-10,5-3=-4,5

Наименьший положительный 0,5

Наибольший отрицательный -4,5

Sinx=1, x=+

Sinx=-1, x=-+

Sinx=0, X=πn

Sinx=0,5, x =+, x =+

Sinx=, x =+, x =+

Sinx= , x =+, x =+

cosx=1, x=

cosx=-1, x=+

cosx=0, X=+πn

cosx=, x =±+,

cosx=0,5, x =±+,

cosx= , x =±+

cosx=, x =±+,

cosx=-0,5, x =±+,

cosx= , x =±+

tgx=1, x=+ πn, tgx=,x=+ πn

tgx=, x=+ πn

.

log₅(5-x)=log₅3², 5-x=9, x=-4

Ответ:-4

Log₅(7-x)=log₅(3-x)+log₅5

Log₅(7-x)=Log₅((3-x)5)

7-x=5(3-x), x=2

x-5 =7, т.к. 7²=49, х=12

3^log₃^(5x-5) =5, =5,

5x-5=25,5x=30, x=6

(2⁴)^х-9 = 2^-1, 4(х-9)=-1

Х=8,75

Разделим на 5^3+х

, ,

3+х=1,х=-2

. 5^х-7=5^{- 3}

Х-7=-3, х=4

7-х =, 7-х = 49, х =-42

Х² =, х² =49, х=±7

Х-1 =-2, х=-1

=-8, х-1 =(-8)³,

Х-1=-512, х=-511

4х²+28х+49=4х²-4х+1,

28х+4х=1-49, 32х=-48, х=-1,5

.

Х+8 =0 или 5х+7=7х+5,

Х=-8 или х=1

Х+89=-5, х-7≠0, х=-94